?專題08 相似形

高中必備知識(shí)點(diǎn)1：平行線分線段成比例定理

在解決幾何問(wèn)題時(shí)，我們常涉及到一些線段的長(zhǎng)度、長(zhǎng)度比的問(wèn)題.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中，我們發(fā)現(xiàn)平行線常能產(chǎn)生一些重要的長(zhǎng)度比.
在一張方格紙上，我們作平行線（如圖3.1-1），直線交于點(diǎn)，，另作直線交于點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)
我們將這個(gè)結(jié)論一般化，歸納出平行線分線段成比例定理：
三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
如圖，，有.當(dāng)然，也可以得出.在運(yùn)用該定理解決問(wèn)題的過(guò)程中，我們一定要注意線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是“對(duì)應(yīng)”線段成比例.


典型考題

【典型例題】
已知：∠1＝∠2，EG平分∠AEC．

（1）如圖①，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°．求證：AB∥CD；
（2）如圖②，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，當(dāng)∠NCE＝　 　°時(shí)，AB∥CD；
（3）如圖②，請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠MAE、∠FEG、∠NCE之間滿足什么關(guān)系時(shí)，AB∥CD；
（4）如圖③，請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠MAE、∠FEG、∠NCE之間滿足什么關(guān)系時(shí)，AB∥CD．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)∠NCE＝80°時(shí)，AB∥CD；（3）當(dāng)2∠FEG+∠NCE＝∠MAE時(shí)AB∥CD；
（4）當(dāng)∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°時(shí)，AB∥CD.
【解析】
（1）∵∠1＝∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE＝∠AEF＝45°，且∠FEG＝15°
∴∠AEG＝60°
∵EG平分∠AEC
∴∠AEG＝∠CEG＝60°
∴∠CEF＝75°
∵∠ECN＝75°
∴∠FEC＝∠ECN
∴EF∥CD且AB∥EF
∴AB∥CD
（2）∵∠1＝∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE+∠FEA＝180°且∠MAE＝140°
∴∠AEF＝40°
∵∠FEG＝30°
∴∠AEG＝70°
∵EG平分∠AEC
∴∠GEC＝∠AEG＝70°
∴∠FEC＝100°
∵AB∥CD，AB∥EF
∴EF∥CD
∴∠NCE+∠FEC＝180°
∴∠NCE＝80°
∴當(dāng)∠NCE＝80°時(shí)，AB∥CD
（3）∵∠1＝∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE+∠FEA＝180°
∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，
∴∠AEG＝∠FEA+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG
∵EG平分∠AEC
∴∠GEC＝∠AEG
∴∠FEC＝∠GEC+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG
∵AB∥CD，AB∥EF
∴EF∥CD
∴∠FEC+∠NCE＝180°
∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝180°
∴2∠FEG+∠NCE＝∠MAE
∴當(dāng)2∠FEG+∠NCE＝∠MAE時(shí)AB∥CD
（4）∠1＝∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE+∠FEA＝180°
∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，
∴∠AEG＝∠FEG﹣∠FEA＝∠FEG﹣180°+∠MAE
∵EG平分∠AEC
∴∠GEC＝∠AEG
∴∠FEC＝∠FEA+2∠AEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG﹣360°+2∠MAE＝∠MAE+2∠FEG﹣180°
∵AB∥CD，AB∥EF
∴EF∥CD
∴∠FEC+∠NCE＝180°
∴∠MAE+2∠FEG﹣180°+∠NCE＝180°
∴∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°
∴當(dāng)∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°時(shí)，AB∥CD

【變式訓(xùn)練】
已知，如圖，∠1＝∠2，DC∥FE，DE∥AC，
求證：FE平分∠BED.

【答案】詳見(jiàn)解析
【解析】
∵DC∥FE，∴∠1＝∠3，∠CDE＝∠4，
∵DE∥AC，∴∠2＝∠CDE，
∴∠2＝∠4，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴EF是∠BED的平分線

【能力提升】
如圖，已知AD⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，垂足分別為D，G.且∠1＝∠2，猜想：DE與AC有怎樣的關(guān)系？說(shuō)明理由．

【答案】DE∥AC．理由見(jiàn)解析.
【解析】
DE∥AC．理由如下：
∵AD⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，
∴∠ADG=∠FGC=90°，
∴AD∥FG，
∴∠1=∠CAD，
∵∠1=∠2，
∴∠CAD=∠2，
∴DE∥AC．


高中必備知識(shí)點(diǎn)2：平行線分線段成比例定理的推論

推論1：平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
推論2：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.
在中，為的平分線，求證：.

證明 過(guò)C作CE//AD，交BA延長(zhǎng)線于E，

AD平分
由知

.
上述試題的結(jié)論也稱為角平分線性質(zhì)定理，可敘述為角平分線分對(duì)邊成比例（等于該角的兩邊之比）.

典型考題

【典型例題】
請(qǐng)閱讀下面材料，并回答所提出的問(wèn)題．三角形內(nèi)角平分線定理：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．
已知：如圖，△ABC中， AD是角平分線．
求證：．

證明：過(guò)C作CE∥DA，交BA的延長(zhǎng)線于E．
∴． ①
AD是角平分線，
∴ ．
．
． ②
又，
． ③
．
（1）上述證明過(guò)程中，步驟①②③處的理由是什么？（寫(xiě)出兩條即可）
（2）用三角形內(nèi)角平分線定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分線，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的長(zhǎng)；

（3）我們知道如果兩個(gè)三角形的高相等，那么它們面積的比就等于底的比．請(qǐng)你通過(guò)研究△ABD和△ACD面積的比來(lái)證明三角形內(nèi)角平分線定理．
【答案】（1）①平行線的性質(zhì)定理；②等腰三角形的判定定理；③平行線分線段成比例定理；（2）cm．（3）證明見(jiàn)解析．
【解析】
（1）證明過(guò)程中用到的定理有：
①平行線的性質(zhì)定理；
②等腰三角形的判定定理；
③平行線分線段成比例定理；
（2）∵AD是角平分線，
∴，
又∵AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，
∴，
∴BD=（cm）．
（3）∵△ABD和△ACD的高相等，
可得：△ABD和△ACD面積的比=，
可得：．

【變式訓(xùn)練】
如圖，PB和PC是△ABC的兩條外角平分線。
①求證：∠BPC=90°-∠BAC．
②根據(jù)第①問(wèn)的結(jié)論猜想：三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類屬于什么三角形？

【答案】①證明見(jiàn)解析②銳角三角形
【解析】
①證明：∵PB和PC是△ABC的兩條外角平分線，
∴∠P=180°?(∠PBC+∠PCB)=180°? (∠CBD+∠BCE)=180°? (∠A+∠ACB+∠BCE)=180°? (∠A+180°)=90°?∠A；
②根據(jù)①的結(jié)論，知三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形的三個(gè)角都是銳角，
三個(gè)角都是銳角的三角形是銳角三角形，故該三角形是銳角三角形。

【能力提升】
在直角三角形△中，的角平分線交于點(diǎn),交于點(diǎn),取,連接.
求證：⑴; ⑵.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.
【解析】
⑴. ∵
∴
∴
⑵

證明：作DH⊥AB于H，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝∠DHB＝90°，
∴CE∥DH，
∴∠1＝∠2，
又∵∠ACB＝90°,AD平分∠BAC,
∴DH＝DC，∠3＝∠4，
∵∠5＝∠6＝90°?∠3，
∠7＝90°－∠4，
∴∠5＝∠7，
∴CD＝CF，
∴DH＝CF，
∵BG＝CD，
∴BG＋GD＝CD＋GD，
即BD＝GC，
在△BHD和△GFC中

∴△BHD≌△GFC，
∴∠BHD＝∠GFC＝90°，
∴∠GFC＝∠BEC＝90°，
∴FG∥AB.

高中必備知識(shí)點(diǎn)3：射影定理
我們把下面試題的結(jié)論稱為射影定理：
如圖,在直角三角形ABC中，為直角，.
求證：（1），；
（2）

證明 （1）在與中，，
∽，
同理可證得.
（2）在與中，，
∽，

典型考題

【典型例題】
如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC，O是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△OBD是等腰直角三角形，OB＝BD．
（1）求證：∠AOB＝∠CDB；
（2）若△COD是等腰三角形，∠AOC＝140°，求∠AOB的度數(shù)．

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）∠AOB的度數(shù)為110°或95°或125°．
【解析】
（1）∵△ABC和△OBD是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，OB＝BD，∠ABC＝∠OBD＝90°，
∵∠ABO+∠OBC＝∠CBD+∠OBC，
∴∠ABO＝∠CBD，
在△ABO和△CBD中
，
∴△ABO≌△CBD（SAS），
∴∠AOB＝∠CDB；
（2）設(shè)∠AOB的度數(shù)為x，則∠CDB＝x，∠CDO＝x﹣45°，
∠COD＝∠COB﹣∠DOB＝360°﹣140°﹣x﹣45°＝175°﹣x，
∠OCD＝180°﹣∠CDO﹣∠COD＝50°，
①當(dāng)∠CDO＝∠COD時(shí)，x﹣45°＝175°﹣x，解得：x＝110°，
②當(dāng)∠CDO＝∠OCD時(shí)，x﹣45°＝50°，解得：x＝95°，
③當(dāng)∠COD＝∠OCD時(shí)，175°﹣x＝50°，解得：x＝125°，
故∠AOB的度數(shù)為110°或95°或125°．

【變式訓(xùn)練】
如圖所示，和都是等腰直角三角形，的頂點(diǎn)在的斜邊上，若，求的值．

【答案】
【解析】
如圖,連結(jié)BD

∵△ACB與△ECD都是等腰直角三角形
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，EC=DC,AC=BC,AC+BC=AB
∴2AC=AB∠ECD-ACD=∠ACB-∠ACD
∴∠ACE=∠BCD.
在△AEC和△BDC中,

∴△AEC≌△BDC(SAS)
∴AE=BD,∠E=∠BDC.
∴∠BDC=45°
∴∠BDC+∠ADC=90°
即∠ADB=90°
∴AD+BD=AB
∴AD+AE-=2AC
又∵
∴AD= 3AE
∴10AE=2AC
∴
故答案是:

【能力提升】
如圖，AD⊥BC，垂足為D．如果CD＝1，AD＝2，BD＝4，
(1)求出AC、AB的長(zhǎng)度；
(2)△ABC是直角三角形嗎？證明你的結(jié)論．

【答案】(1)AC=，AB=2；(2)△ABC是直角三角形，理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵CD＝1，AD＝2，BD＝4，∴AC＝，AB＝，=2(寫(xiě)成不算錯(cuò))
(2)∵AC＝，AB＝2，BC＝CD+BD＝5，
∴AC2+AB2＝BC2=25，∴∠BAC=90°，即△ABC是直角三角形.

專題驗(yàn)收測(cè)試題
1．如圖，點(diǎn)A、B、C在半徑為9的⊙O上，OA∥BC，∠OAB=70°，則弧AC的長(zhǎng)為（　　）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
解：連接OB，

∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=70°，
∴∠AOB=40°，
∵OA∥BC，
∴∠OBC=∠AOB=40°，
∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC=40°，
∴∠BOC=100°，
∴∠AOC=100°+40°=140°，
∴弧AC的長(zhǎng)=，
故選：C．
2．如圖，已知a∥b，點(diǎn)A在直線a上，點(diǎn)B、C在直線b上，∠1＝120°，∠2＝50°，則∠3為（　　）

A．70° B．60° C．45° D．30°
【答案】A
【解析】
解：∵a∥b，∠1＝120°，
∴∠ACD＝120°，
∵∠2＝50°，
∴∠3＝120°﹣50°＝70°，
故選：A．
3．給出下列說(shuō)法：
（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；
（2）不相等的兩個(gè)角不是同位角；
（3）平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交；
（4）從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做該點(diǎn)到直線的距離；
（5）過(guò)一點(diǎn)作已知直線的平行線，有且只有一條。
其中真命題的有（ ）
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
【答案】B
【解析】根據(jù)兩平行線被第三條直線所截，同位角相等，故（1）不正確；
同位角不一定相等，只有在兩直線平行時(shí)，同位角相等，故（2）不正確；
平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交，故（3）正確；
從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做該點(diǎn)到直線的距離，故（4）不正確；
過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，有且只有一條，故（5）不正確.
故選：B.
4．下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．過(guò)任意一點(diǎn)可作已知直線的一條平行線
B．在同一平面內(nèi)兩條不相交的直線是平行線
C．在同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)只能畫(huà)一條直線與已知直線垂直
D．直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短
【答案】A
【解析】平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故A不正確；
在同一平面內(nèi)兩條不相交的直線是平行線，這是平行線的概念，故B正確；
在同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)只能畫(huà)一條直線與已知直線垂直，故C正確；
直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短，故D正確；
故選：A.
5．如圖，a∥b，點(diǎn)B在直線b上，且AB⊥BC，若∠1=36°，則∠2的大小為（　?。?br />
A．34° B．54° C．56° D．66°
【答案】B
【解析】
分析：根據(jù)a∥b求出∠3的度數(shù)，然后根據(jù)平角的定義求出∠2的度數(shù)．
詳解：∵a∥b， ∴∠3=∠1=36°， ∵∠ABC=90°， ∴∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°－36°=54°，故選B．

點(diǎn)睛：本題主要考查的是平行線的性質(zhì)以及平角的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型．明白平行線的性質(zhì)是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵．
6．如圖，將一副三角板和一張對(duì)邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個(gè)三角板的一直角邊重合，含角直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含角的三角板的一個(gè)頂點(diǎn)在紙條的另一邊，則的度數(shù)是（ ）

A．14° B．15° C．20° D．30°
【答案】B
【解析】過(guò)A點(diǎn)作AB∥a，利用平行線的性質(zhì)得AB∥b，所以∠1=∠2，∠3=∠4=30°，加上∠2+∠3=45°，易得∠1=15°．
詳解：如圖，過(guò)A點(diǎn)作AB∥a，
∴∠1=∠2，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠3=∠4=30°，
而∠2+∠3=45°，
∴∠2=15°，
∴∠1=15°．
故選：B．

點(diǎn)睛：本題考查了平行線的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
7．如圖，直線a，b被直線c所截，下列條件中，不能判定a∥b（　?。?br />
A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180° C．∠5=∠4 D．∠1=∠3
【答案】D
【解析】如圖
，
作，
，
，
，
故答案為：．
12．將一個(gè)直角三角板和一把直尺如圖放置，如果∠α＝43°，則∠β的度數(shù)是__________．

【答案】47°
【解析】
首先過(guò)點(diǎn)C作CH∥DE交AB于H，即可得CH∥DE∥FG，然后利用兩直線平行，同位角相等與余角的性質(zhì)，即可求得∠β的度數(shù)．
解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH∥DE交AB于H

根據(jù)題意得：∠ACB=90°，DE∥FG，
∴CH∥DE∥FG，
∴∠BCH=∠α=43°，
∴∠HCA=90°-∠BCH=47°，
∴∠β=∠HCA=47°．
考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)
點(diǎn)評(píng)：此題難度不大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，掌握兩直線平行，同位角相等定理的應(yīng)用．
13．如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)MN分別在AB，AC上，∠C=80°，按如圖方式沿著MN折疊，使FN∥CD，此時(shí)量得∠FMN=40°，則∠B的度數(shù)是_____．

【答案】100°
【解析】
∵FN∥DC，
∴∠BNF=∠C=80°，
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN=∠FMN=40°，
∠BNM=∠BNF=×80°=40°，
在△BMN中，∠B=180°﹣（∠BMN+∠BNM）=180°﹣（40°+40°）=180°﹣80°=100°．
故答案為：100°．
14．如圖，四邊形中， ，則____________.

【答案】70°
【解析】∵AD//BC，∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=110°，∴180°-110°＝70°，
故答案為：70°.
15．如圖，∠AOB的一邊OA為平面鏡，∠AOB=37°45′，在OB邊上有一點(diǎn)E，從點(diǎn)E射出一束光線經(jīng)平面鏡反射后，反射光線DC恰好與OB平行，則∠DEB的度數(shù)是_____．

【答案】75°30′（或75.5°）
【解析】
∵CD∥OB，
∴∠ADC=∠AOB，
∵∠EDO=∠CDA，
∴∠EDO=∠AOB=37°45′，
∴∠DEB=∠AOB+∠EDO=2×37°45′=75°30′（或75.5°），
故答案為：75°30′（或75.5°）．
16．某同學(xué)在研究傳統(tǒng)文化“抖空竹”時(shí)有一個(gè)發(fā)現(xiàn)：他把它抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題．如圖所示，已知AB∥CD，∠BAE=87，∠DCE=121，則∠E的度數(shù)是______．

【答案】34°
【解析】
分析: 延長(zhǎng)DC交AE于F，依據(jù)AB∥CD，∠BAE=87°，可得∠CFE=87°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠E=∠DCE-∠CFE．
詳解: 如圖，延長(zhǎng)DC交AE于F，

∵AB∥CD，∠BAE=87°,
∴∠CFE=87°，
又∵∠DCE=121°，
∴∠E=∠DCE-∠CFE=121°-87°=34°，
故答案為：34°.
點(diǎn)睛: 本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，同位角相等.
17．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，ABCD為長(zhǎng)方形，其中點(diǎn)A、C坐標(biāo)分別為（﹣4，2）、（1，﹣4），且AD∥x軸，交y軸于M點(diǎn)，AB交x軸于N．
（1）求B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)方形ABCD的面積；
（2）一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)（不與A點(diǎn)重合），以個(gè)單位/秒的速度沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接MP、OP，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠AMP、∠MPO、∠PON之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使三角形AMP的面積等于長(zhǎng)方形面積的？若存在，求t的值并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）（﹣4，﹣4），D（1，2），面積為30；（2）∠MPO=∠AMP+∠PON或∠MPO=∠AMP﹣∠PON；（3）存在，t=10， P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，﹣3）．
【解析】
（1）∵點(diǎn)A、C坐標(biāo)分別為（﹣4，2）、（1，﹣4），
∴B（﹣4，﹣4），D（1，2），
長(zhǎng)方形ABCD的面積=（1+4）×（2+4）=30；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AN上時(shí)，作PQ∥AM，如圖，
∵AM∥ON，∴AM∥PQ∥ON，∴∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，
∴∠QPM+∠QPO=∠AMP+∠PON，即∠MPO=∠AMP+∠PON；

當(dāng)點(diǎn)P在線段NB上時(shí)，作PQ∥AM，如圖，
∵AM∥ON，∴AM∥PQ∥ON，∴∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，
∴∠QPM-∠QPO=∠AMP-∠PON，即∠MPO=∠AMP-∠PON；

（3）存在，
∵AM=4，AP=t，∴S△AMP=×4×t=t，
∵三角形AMP的面積等于長(zhǎng)方形面積的，
∴t=30×=10，∴AP=×10=5，
∵AN=2，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，﹣3）．
18．如圖，直線AB//CD，BC平分∠ABD，∠1=54°，求∠2的度數(shù).

【答案】72°
【解析】
∵ AB//CD，∠1=54°，
∴ ∠ABC=∠1=54°，
∵ BC平分∠ABD，
∴ ∠ABD=2∠ABC =2×54°=108°，
∵ AB//CD，
∴ ∠ABD+∠CDB=180°，
∴ ∠CDB=180°-∠ABD=72°，
∵ ∠2=∠CDB，
∴ ∠2=72°.
19．如圖，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在線段CD上，EF?與AC相交于點(diǎn)G，∠BDA+∠CEG=180°．
（1）AD與EF平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若點(diǎn)H在FE的延長(zhǎng)線上，且∠EDH=∠C，則∠F與∠H相等嗎，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】見(jiàn)解析
【解析】
（1）AD∥EF．
理由如下：∵∠BDA+∠CEG=180°，∠ADB+∠ADE=180°，∠FEB+∠CEF=180°
∴∠ADE+∠FEB=180°，∴AD∥EF；
（2）∠F=∠H，理由是：
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．
∵∠EDH=∠C，∴HD∥AC，∴∠H=∠CGH．
∵AD∥EF，∴∠CAD=∠CGH，∴∠BAD=∠F，∴∠H=∠F．
點(diǎn)睛：本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道比較好的題目，難度適中．
20．已知：如圖，∠1=∠2，∠3=∠E．求證：AD∥BE．

【答案】證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】123由∠1=∠2，得BD∥CE，所以∠4=∠E，又∠3=∠E，所以∠3=∠4，可得AD∥BE.
【詳解】證明：∵∠1=∠2，
又∵∠3=∠E，
∴BD∥CE，
∴∠3=∠4，
∴∠4=∠E，
∴AD∥BE.
21．如圖，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，求證：∠BDC＋∠DGF＝180°．

【答案】見(jiàn)解析
【解析】
若證∠BDC+∠DGF=180°，則可證GF、CD兩直線平行，利用圖形結(jié)合已知條件能證明．
試題解析：解：∵∠1=∠ACB，∴DE∥BC，∴∠2=∠DCF．
∵∠2=∠3，∴∠3=∠DCF，∴CD∥FG，∴∠BDC+∠DGF=180°．
22．如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O．已知∠BOD=75°，OE把∠AOC分成兩個(gè)角，且∠AOE=∠EOC
（1）求∠AOE的度數(shù)；
（2）將射線OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)°（0°＜α＜360°）到OF．
①如圖2，當(dāng)OF平分∠BOE時(shí)，求∠DOF的度數(shù)；
②若∠AOF=120°時(shí)，直接寫(xiě)出的度數(shù).

【答案】（1）∠AOE=30°（2）①∠DOF=150° ②
【解析】（1）根據(jù)對(duì)頂角相等求出∠BAOC的度數(shù)，設(shè)∠AOE=2x，根據(jù)題意列出方程，解方程即可；
（2）①根據(jù)角平分線的定義求出∠BOF的度數(shù)即可；
②根據(jù)∠AOF=120°畫(huà)出圖形，根據(jù)角的和與差即可求解．
解：（1）∵∠AOE=∠EOC，
∴設(shè)∠AOE=2x，則∠EOC=3x，
∴∠AOC=5x，
∵∠AOC=∠BOD=75°，
∴5x=75°，
解得：x=15°，
則2x=30°，
∴∠AOE=30°；
（2）①∵∠AOE=30°，
∴∠BOE=180°?∠AOE=150°，
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOF=75°，
∵∠BOD=75°，
∴∠DOF=150°，
②有兩種情況：
當(dāng)射線OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OF1時(shí)，
＝120°－30°＝90°，
當(dāng)射線OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OF2時(shí)，
＝360°－120°－30°＝210°，
故答案為：


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