專題07方程與不等式 高中必備知識(shí)點(diǎn)1：二元二次方程組的解法 方程 是一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程,這樣的方程叫做二元二次方程．其中,,叫做這個(gè)方程的二次項(xiàng),,叫做一次項(xiàng),6叫做常數(shù)項(xiàng)．我們看下面的兩個(gè)方程組：   第一個(gè)方程組是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的，第二個(gè)方程組是由兩個(gè)二元二次方程組成的，像這樣的方程組叫做二元二次方程組．下面我們主要來研究由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組的解法．一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組一般可以用代入消元法來解． 典型考題 【典型例題】已知方程組有兩組相等的實(shí)數(shù)解，求的值，并求出此時(shí)方程組的解.【答案】,當(dāng)時(shí) ;當(dāng)時(shí) 【解析】把②代入①后計(jì)算得，∵方程組有兩組相等的實(shí)數(shù)解，∴△＝（12m）2?4（2m2+1）?12＝0，解得：，當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，解得
【變式訓(xùn)練】解方程組：【答案】【解析】，由①得 （x+y）（x-2y）=0，∴x+y=0或x-2y=0，由②得 （x+y）2=1，∴x+y=1或x+y=-1，所以原方程組化為，所以原方程組的解為．
【能力提升】解方程組：【答案】【解析】由②得：所以 ,. 高中必備知識(shí)點(diǎn)2：一元二次不等式的解法 為了方便起見，我們先來研究二次項(xiàng)系數(shù)a＞0時(shí)的一元二次不等式的解．我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，設(shè)△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分別為下列三種情況——有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解和沒有實(shí)數(shù)解，相應(yīng)地，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸分別有兩個(gè)公共點(diǎn)、一個(gè)公共點(diǎn)和沒有公共點(diǎn)(如圖2.3－2所示)，因此，我們可以分下列三種情況討論對(duì)應(yīng)的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）與ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解． （1）當(dāng)Δ＞0時(shí)，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1和x2(x1＜x2)，由圖2.3－2①可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解為             x＜x1，或x＞x2；    不等式ax2＋bx＋c＜0的解為             x1＜x＜x2．    （2）當(dāng)Δ＝0時(shí)，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－，由圖2.3－2②可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解為             x≠－；    不等式ax2＋bx＋c＜0無解． （3）如果△＜0，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸沒有公共點(diǎn)，方程ax2＋bx＋c＝0沒有實(shí)數(shù)根，由圖2.3－2③可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解為一切實(shí)數(shù)；不等式ax2＋bx＋c＜0無解． 今后，我們?cè)诮庖辉尾坏仁綍r(shí)，如果二次項(xiàng)系數(shù)大于零，可以利用上面的結(jié)論直接求解；如果二次項(xiàng)系數(shù)小于零，則可以先在不等式兩邊同乘以－1，將不等式變成二次項(xiàng)系數(shù)大于零的形式，再利用上面的結(jié)論去解不等式． 典型考題 【典型例題】解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4；【答案】(1) .(2) .【解析】(1)原不等式可化為3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤，所以原不等式的解集為.(2)原不等式等價(jià)于???借助于數(shù)軸，如圖所示，原不等式的解集為.
【變式訓(xùn)練】求不等式的解．【答案】或【解析】由題意，不等式，可得或，由不等式組，可得解集為 由不等式組，可得解集為或，所以不等式的解集為或.
【能力提升】解下列不等式：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】（1）由題意，不等式，可化為，所以不不等式的解集為；（2）由題意，可得，所以不等式的解集為；（3）由不等式，可化為，即，所以不等式的解集為或.  專題驗(yàn)收測(cè)試題1．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　?。?/span>A．    B．C．    D．【答案】D【解析】試題分析：解不等式3x＋4≤13，得：x≤3，解不等式﹣x＜1，得：x＞﹣1，則不等式組的解集為﹣1＜x≤3，故選：D．
2． 20位同學(xué)在植樹節(jié)這天共種了52棵樹苗，其中男生每人種3棵，女生每人種2棵，設(shè)男生有x人，女生有y人，根據(jù)題意，列方程組正確的是（ ）A．    B．C．    D．【答案】D【解析】試題分析：要列方程（組），首先要根據(jù)題意找出存在的等量關(guān)系.本題等量關(guān)系為：①男女生共20人；②男女生共植樹節(jié)這天共種了52棵樹苗，其中男生每人種3棵，女生每人種2棵.據(jù)此列出方程組：.故選D．3．解不等式，解題依據(jù)錯(cuò)誤的是（　　）解：①去分母，得5（x+2）＜3（2x﹣1）②去括號(hào)，得5x+10＜6x﹣3③移項(xiàng)，得5x﹣6x＜﹣3﹣10④合并同類項(xiàng)，得﹣x＜﹣13⑤系數(shù)化1，得x＞13A．②去括號(hào)法則        B．③不等式的基本性質(zhì)1C．④合并同類項(xiàng)法則    D．⑤不等式的基本性質(zhì)2【答案】D【解析】由題目中的解答步驟可知，②去括號(hào)法則，故選項(xiàng)A正確，③不等式的基本性質(zhì)1，故選項(xiàng)B正確，④合并同類項(xiàng)法則，故選項(xiàng)C正確，⑤不等式的基本性質(zhì)3，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：D．4．已知溫州至杭州鐵路長為380千米，從溫州到杭州乘“G”列動(dòng)車比乘“D”列動(dòng)車少用20分鐘，“G”列動(dòng)車比“D”列動(dòng)車每小時(shí)多行駛30千米，設(shè)“G”列動(dòng)車速度為每小時(shí)x千米，則可列方程為（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】D【解析】解：設(shè)“G”列動(dòng)車速度為每小時(shí)x千米，則“D”列動(dòng)車速度為每小時(shí)（x﹣30）千米，依題意，得：．故選：D．5．不等式組的整數(shù)解有（　?。?/span>A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】C【解析】解：解不等式①，得x≤2，解不等式②，得x＞﹣3．∴原不等式組的解集為﹣3＜x≤2．又∵x為整數(shù)，∴x＝﹣2，﹣1，0，1，2．故選：C．6．方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（ ）A．4    B．2    C．1    D．0【答案】B【解析】 由①得
原方程組可以轉(zhuǎn)化為 解得
或無解．
故方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是2個(gè)．
故選：B．7．以下說法：①關(guān)于x的方程的解是x=c（c≠0）；    ②方程組正整數(shù)的解有2組；      ③已知關(guān)于x，y的方程組，其中﹣3≤a≤1，當(dāng)a=1時(shí)，方程組的解也是方程x+y=4﹣a的解；其中正確的有（    ）A．②③    B．①②    C．①③    D．①②③【答案】A【解析】①于x的方程x+ ==c+ 的解是x=c或x=（c≠0），此項(xiàng)錯(cuò)誤；②方程組 的正整數(shù)解有2組，方程組，因x、y、z是正整數(shù)，可得x+y≥2，又因23只能分解為23×1方程②變?yōu)椋?/span>x+y）z=23，所以只能是z=1，x+y=23將z=1代入原方程轉(zhuǎn)化為，解得x=2，y=21或x=20，y=3；所以這個(gè)方程組的正整數(shù)解是（2，21，1）、（20，3，1），此項(xiàng)正確；③關(guān)于x，y的方程組 ，其中-3≤a≤1，解得x=1+2a，y=1-a，x+y=2+a，當(dāng)a=1時(shí)，x+y=3，故方程組的解也是方程x+y=4-a=3的解，此項(xiàng)正確．故選A．點(diǎn)睛：此題主要考查了分式方程的解法以及二元二次方程組的解法等知識(shí)，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．
8．二元二次方程組的解是A．    B．C．    D．【答案】C【解析】本題可將選項(xiàng)中的四組答案代入檢驗(yàn)看是否符合二元二次方程組．也可根據(jù)第一個(gè)式子，得出的關(guān)系，代入第二個(gè)式子求解依題意得=3-∴y=（3-=-10-2+3+10=02-3-10=0（-5）（+2）=01=5，2=-2∴方程的解為：，故選C
9．一元二次方程kx2+4x+1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。?/span>A．k＞4 B．k≥4 C．k≤4 D．k≤4且k≠0【答案】D【解析】根據(jù)題意得k≠0且△＝42﹣4k≥0，解得k≤4且k≠0．故選：D．10．一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+2的根的情況是（　?。?/span>A．方程沒有實(shí)數(shù)根B．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．方程的根是1、﹣5和【答案】C【解析】解：∵原方程可化為x2+x﹣7＝0，∴a＝1，b＝1，c＝﹣7，∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣7）＝29＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：C．11．不等式組有3個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是_____．【答案】2＜m≤3【解析】根據(jù)不等式組有3個(gè)整數(shù)解,可得:.故答案為:.12．關(guān)于x的不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，則此不等式組的解集為_____．【答案】﹣1?x＜2．【解析】解：由圖示可看出，從﹣1 出發(fā)向右畫出的線且﹣1 處是實(shí)心圓，表示 x?﹣1；從 2 出發(fā)向左畫出的線且 2 處是空心圓，表示 x＜2，不等式組的解集是指它們的公共部分．所以這個(gè)不等式組的解集是﹣1?x＜2．13．不等式組 的解集是_____．【答案】【解析】解：解不等式2x＋4＞0，得：x＞?2，解不等式x?3（x?2）＞4，得：x＜1，則不等式組的解集為?2＜x＜1，故答案為：?2＜x＜1．14．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是_____．【答案】m≤2【解析】解：由題意知，△＝4﹣4（m﹣1）≥0，∴m≤2，故答案為：m≤2．15．方程x2+2x＝0的解為_____．【答案】0，﹣2．【解析】x2+2x＝0,x（x+2）＝0,∴x＝0或x+2＝0,∴x＝0或﹣2,故本題的答案是0，﹣2．16．設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為_____．【答案】2019【解析】解：根據(jù)題意得：α＋β＝1，α3?2021α?β+1＝α（α2?2020）?（α＋β）+1＝α（α2?2020）?1+1=α（α2?2020），∵α2?α?2019＝0，∴α2?2020＝α?1，把α2?2020＝α?1代入原式得：原式＝α（α?1）＝α2?α＝2019.故答案為：2019.17．已知關(guān)于的一元二次方程，其中為常數(shù).（1）求證：無論為何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；（2）若拋物線軸交于兩點(diǎn)，且，求的值；【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）∵，，∴原方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根（2）解：∵∴∴由題意：方程的兩根為∴，代入上式，得 ，∴，∴，∴.18．（1）用配方法解方程：x2-2x-2=0；（2）已知關(guān)于x的方程（m-2）x2+（m-2）x-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求m的值．【答案】（1）x1=1+，x2=1-；（2）m的值為-2．【解析】解：（1）∵x2-2x-2=0，∴x2-2x=2，則x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3，∴x-1=，則x1=1+，x2=1-；（2）由題意，△=0即（m-2）2+4（m-2）=0，解得m1=2，m2=-2，又由m-2≠0，得m≠2，∴m的值為-2．19．已知關(guān)于x一元二次方程，(1)當(dāng)時(shí)，試解這個(gè)方程；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，求的值.【答案】（1）（2）c=4【解析】解：(1)當(dāng)時(shí)，原方程為，.∴(2)∵，∴∴∴解得： c=4        ∴ c=420．某學(xué)校準(zhǔn)備采購一批茶藝耗材和陶藝耗材.經(jīng)查詢，如果按照標(biāo)價(jià)購買兩種耗材，當(dāng)購買茶藝耗材的數(shù)量是陶藝耗材數(shù)量的2倍時(shí)，購買茶藝耗材共需要18000元，購買陶藝耗材共需要12000元，且一套陶藝耗材單價(jià)比一套茶藝耗材單價(jià)貴150元.（1）求一套茶藝耗材、一套陶藝耗材的標(biāo)價(jià)分別是多少元？（2）學(xué)校計(jì)劃購買相同數(shù)量的茶藝耗材和陶藝耗材.商家告知，因?yàn)橹苣陸c，茶藝耗材的單價(jià)在標(biāo)價(jià)的基礎(chǔ)上降價(jià)2元，陶藝素材的單價(jià)在標(biāo)價(jià)的基礎(chǔ)降價(jià)150元，該校決定增加采購數(shù)量，實(shí)際購買茶藝素材和陶藝素材的數(shù)量在原計(jì)劃基礎(chǔ)上分別增加了2.5%和，結(jié)果在結(jié)算時(shí)發(fā)現(xiàn)，兩種耗材的總價(jià)相等，求的值.【答案】（1）購買一套茶藝耗材需要450元，購買一套陶藝耗材需要600元；（2）的值為95.【解析】（1）設(shè)購買一套茶藝耗材需要元，則購買一套陶藝耗材需要元，根據(jù)題意，得.解方程，得.經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意.答：購買一套茶藝耗材需要450元，購買一套陶藝耗材需要600元.（2）設(shè)今年原計(jì)劃購買茶藝耗材和陶藝素材的數(shù)量均為，由題意得：整理，得解方程，得（舍去）.的值為95.21．某市舉行“行動(dòng)起來，對(duì)抗霧霾”為主題的植樹活動(dòng)，某街道積極響應(yīng)，決定對(duì)該街道進(jìn)行綠化改造，共購進(jìn)甲、乙兩種樹共50棵，已知甲樹每棵800元，乙樹每棵1200元．（1）若購買兩種樹的總金額為56000元，求甲、乙兩種樹各購買了多少棵？（2）若購買甲樹的金額不少于購買乙樹的金額，至少應(yīng)購買甲樹多少棵？【答案】（1）購買了甲樹10棵、乙樹40棵；（2）至少應(yīng)購買甲樹30棵．【解析】解：（1）設(shè)購買了甲樹x棵、乙樹y棵，根據(jù)題意得 解得：答：購買了甲樹10棵、乙樹40棵；（2）設(shè)應(yīng)購買甲樹a棵，根據(jù)題意得：800a≥1200（50﹣a）解得：a≥30答：至少應(yīng)購買甲樹30棵．22．解不等式≥1，并把它的解集表示在數(shù)軸上．【答案】x≤﹣1【解析】解：去分母，得：2（2x﹣1）﹣3（3x﹣1）≥6，去括號(hào)，得：4x﹣2﹣9x+3≥6，移項(xiàng)，得：4x﹣9x≥6+2﹣3，合并同類項(xiàng)，得：﹣5x≥5，系數(shù)化為1，得：x≤﹣1，將不等式的解集表示在數(shù)軸上如下：  

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