?專(zhuān)題10圓

高中必備知識(shí)點(diǎn)1：直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)有直線和圓心為且半徑為的圓，怎樣判斷直線和圓的位置關(guān)系？

觀察圖3.3-1，不難發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系為：當(dāng)圓心到直線的距離時(shí)，直線和圓相離，如圓與直線；當(dāng)圓心到直線的距離時(shí)，直線和圓相切，如圓與直線；當(dāng)圓心到直線的距離時(shí)，直線和圓相交，如圓與直線.

在直線與圓相交時(shí)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B.若直線經(jīng)過(guò)圓心，則AB為直徑；若直線不經(jīng)過(guò)圓心，如圖3.3-2，連結(jié)圓心和弦的中點(diǎn)的線段垂直于這條弦.且在中，為圓的半徑，為圓心到直線的距離，為弦長(zhǎng)的一半，根據(jù)勾股定理，有.

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，如圖3.3-3，為圓的切線，可得，，且在中，.

如圖3.3-4，為圓的切線，為圓的割線，我們可以證得，因而.

典型考題

【典型例題】
在同一平面直角坐標(biāo)系中有5個(gè)點(diǎn)：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2．﹣2）．

（1）畫(huà)出△ABC的外接圓⊙P，并指出點(diǎn)D與⊙P相的位置關(guān)系；
（2）E點(diǎn)是y軸上的一點(diǎn)，若直線DE與⊙P相切，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【答案】（1）見(jiàn)解析，點(diǎn)D在⊙P上；（2）E（0，﹣3）．
【解析】
（1）如圖所示：

△ABC外接圓的圓心為（﹣1，0），點(diǎn)D在⊙P上；
（2）連接PD，
∵直線DE與⊙P相切，
∴PD⊥PE，
利用網(wǎng)格過(guò)點(diǎn)D做直線的DF⊥PD，則F（﹣6，0），
設(shè)過(guò)點(diǎn)D，E的直線解析式為：y＝kx+b，
∵D（﹣2，﹣2），F(xiàn)（﹣6，0），
∴，
解得：，
∴直線DE解析式為：y＝﹣x﹣3，
∴x＝0時(shí)，y＝﹣3，
∴E（0，﹣3）．

【變式訓(xùn)練】
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于P、Q兩點(diǎn)給出如下定義：若點(diǎn)P到x、y軸的距離中的最大值等于點(diǎn)Q到x、y軸的距離中的最大值，則稱(chēng)P、Q兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，如圖中的P、Q兩點(diǎn)即為“等距點(diǎn)”．

（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，1）
①在點(diǎn)E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”是　 ?。?br /> ②若點(diǎn)B在直線y＝x+6上，且A、B兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為　 　；
（2）直線l：y＝kx﹣3（k＞0）與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D．
①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直線l上的兩點(diǎn)，且T1、T2為“等距點(diǎn)”，求k的值；
②當(dāng)k＝1時(shí)，半徑為r的⊙O上存在一點(diǎn)M，線段CD上存在一點(diǎn)N，使得M、N兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，直接寫(xiě)出r的取值范圍．
【答案】（1）①E、F；②（﹣3，3）；（2）①k的值為1或2；②≤r≤3．
【解析】
（1）①∵點(diǎn)A（﹣3，1）到x、y軸的距離中最大值為3，
∴與A點(diǎn)是“等距點(diǎn)”的點(diǎn)是E、F．
②點(diǎn)B在直線y＝x+6上，當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)中到x、y軸距離其中至少有一個(gè)為3的點(diǎn)有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），
這些點(diǎn)中與A符合“等距點(diǎn)”的是（﹣3，3）．
故答案為①E、F；②（﹣3，3）；
（2）∵T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直線l上的兩點(diǎn)，
∴t1＝﹣k﹣3，t＝4k﹣3．
∵k＞0，
∴|﹣k﹣3|＝k+3＞3，4k﹣3＞﹣3．
依據(jù)“等距點(diǎn)”定義可得：
當(dāng)﹣3＜4k﹣3＜4時(shí)，k+3＝4，解得k＝1；
當(dāng)4k﹣3≥4時(shí)，k+3＝4k﹣3，解得k＝2．
綜上所述，k的值為1或2．
②∵k＝1，
∴y＝x﹣3與坐標(biāo)軸交點(diǎn)C（0，﹣3）、D（3，0），線段CD＝3．
N點(diǎn)在CD上，則N點(diǎn)到x、y軸的距離最大值中最小數(shù)為，
若半徑為r的⊙O上存在一點(diǎn)M與N是“等距點(diǎn)”，則r最小值為，
r的最大值為CD長(zhǎng)度3．
所以r的取值范圍為≤r≤3．
故答案為E、F；（﹣3，3）

【能力提升】
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)．
請(qǐng)?jiān)趫D中作出經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的，并寫(xiě)出圓心M的坐標(biāo)；
，試判斷直線BD與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

【答案】如圖所示見(jiàn)解析，圓心M的坐標(biāo)為 直線BD與相切，理由見(jiàn)解析.
【解析】
如圖所示，即為所求．

由圖知，圓心M的坐標(biāo)為；
連接MB，DB，DM，
，
，
是直角三角形，
，
即，
直線BD與相切．


高中必備知識(shí)點(diǎn)2：點(diǎn)的軌跡
在幾何中，點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)按照某個(gè)條件運(yùn)動(dòng)形成的圖形，它是符合某個(gè)條件的所有點(diǎn)組成的.例如，把長(zhǎng)度為的線段的一個(gè)端點(diǎn)固定，另一個(gè)端點(diǎn)繞這個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周就得到一個(gè)圓，這個(gè)圓上的每一個(gè)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離都等于；同時(shí)，到定點(diǎn)的距離等于的所有點(diǎn)都在這個(gè)圓上.這個(gè)圓就叫做到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡.
我們把符合某一條件的所有的點(diǎn)組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡.這里含有兩層意思：（1）圖形是由符合條件的那些點(diǎn)組成的，就是說(shuō)，圖形上的任何一點(diǎn)都滿足條件；（2）圖形包含了符合條件的所有的點(diǎn)，就是說(shuō)，符合條件的任何一點(diǎn)都在圖形上.
下面，我們討論一些常見(jiàn)的平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡.
從上面對(duì)圓的討論，可以得出：
到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓.
我們學(xué)過(guò)，線段垂直平分線上的每一點(diǎn)，和線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過(guò)來(lái)，和線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，都在這條線段的垂直平分線上.所以有下面的軌跡：
和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線.
由角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個(gè)軌跡：
到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線.

典型考題

【典型例題】
如圖，點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出，并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)的軌跡長(zhǎng).
【答案】（1）圖形見(jiàn)解析, ；(2)5π.
【解析】
解：（1）如圖所示，即為所求出；；
（2）連接，
∵，
∴旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)的軌跡長(zhǎng).


【變式訓(xùn)練】
閱讀理解：在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是P（x1，y1）、
Q（x2，y2），則P、Q這兩點(diǎn)間的距離為|PQ|=．如P（1，2），Q（3，4），則|PQ|==2．
對(duì)于某種幾何圖形給出如下定義：符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)形成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡．如平面內(nèi)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線．
解決問(wèn)題：如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+交y軸于點(diǎn)A，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作直線l平行于x軸．
（1）到點(diǎn)A的距離等于線段AB長(zhǎng)度的點(diǎn)的軌跡是　 　；
（2）若動(dòng)點(diǎn)C（x，y）滿足到直線l的距離等于線段CA的長(zhǎng)度，求動(dòng)點(diǎn)C軌跡的函數(shù)表達(dá)式；
問(wèn)題拓展：（3）若（2）中的動(dòng)點(diǎn)C的軌跡與直線y=kx+交于E、F兩點(diǎn)，分別過(guò)E、F作直線l的垂線，垂足分別是M、N，求證：①EF是△AMN外接圓的切線；②為定值．

【答案】（1）x2+（y﹣）2=1；（2）動(dòng)點(diǎn)C軌跡的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=x2；（3）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析.
【解析】
（1）設(shè)到點(diǎn)A的距離等于線段AB長(zhǎng)度的點(diǎn)D坐標(biāo)為（x，y），
∴AD2=x2+（y﹣）2，
∵直線y=kx+交y軸于點(diǎn)A，
∴A（0，），
∵點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B，
∴B（0，﹣），
∴AB=1，
∵點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離等于線段AB長(zhǎng)度，
∴x2+（y﹣）2=1，
故答案為：x2+（y﹣）2=1；
（2）∵過(guò)點(diǎn)B作直線l平行于x軸，
∴直線l的解析式為y=﹣，
∵C（x，y），A（0，），
∴AC2=x2+（y﹣）2，點(diǎn)C到直線l的距離為：（y+），
∵動(dòng)點(diǎn)C（x，y）滿足到直線l的距離等于線段CA的長(zhǎng)度，
∴x2+（y﹣）2=（y+）2，
∴動(dòng)點(diǎn)C軌跡的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=x2；
（3）①如圖，
設(shè)點(diǎn)E（m，a）點(diǎn)F（n，b），
∵動(dòng)點(diǎn)C的軌跡與直線y=kx+交于E、F兩點(diǎn)，
∴，
∴x2﹣2kx﹣1=0，
∴m+n=2k，mn=﹣1，
∵過(guò)E、F作直線l的垂線，垂足分別是M、N，
∴M（m，﹣），N（n，﹣），
∵A（0，），
∴AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=（m+n）2﹣2mn+2=4k2+4，
MN2=（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=4k2+4，
∴AM2+AN2=MN2，
∴△AMN是直角三角形，MN為斜邊，
取MN的中點(diǎn)Q，
∴點(diǎn)Q是△AMN的外接圓的圓心，
∴Q（k，﹣），
∵A（0，），
∴直線AQ的解析式為y=﹣x+，
∵直線EF的解析式為y=kx+，
∴AQ⊥EF，
∴EF是△AMN外接圓的切線；
②∵點(diǎn)E（m，a）點(diǎn)F（n，b）在直線y=kx+上，
∴a=mk+，b=nk+，
∵M(jìn)E，NF，EF是△AMN的外接圓的切線，
∴AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，
∴=2，
即：為定值，定值為2．


【能力提升】
在數(shù)學(xué)上，我們把符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)所形成的圖形叫做滿足該條件的點(diǎn)的軌跡．例如：動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足（m，m﹣1），所有符合該條件的點(diǎn)組成的圖象在平面直角坐標(biāo)系xOy中就是一次函數(shù)y=x﹣1的圖象．即點(diǎn)P的軌跡就是直線y=x﹣1．
（1）若m、n滿足等式mn﹣m=6，則（m，n﹣1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中的軌跡是　 　；
（2）若點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)A（0，1）的距離與到直線y=﹣1的距離相等，求點(diǎn)P的軌跡；
（3）若拋物線y=上有兩動(dòng)點(diǎn)M、N滿足MN=a（a為常數(shù)，且a≥4），設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q到x軸的最短距離．
【答案】（1）；（2）y=x2；（3）點(diǎn)Q到x軸的最短距離為1．
【解析】
（1）設(shè)m=x，n﹣1=y，
∵mn﹣m=6，
∴m（n﹣1）=6，
∴xy=6，
∴
∴（m，n﹣1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中的軌跡是
故答案為：；
（2）∴點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)A（0，1），
∴點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)A（0，1）的距離的平方為x2+（y﹣1）2，
∵點(diǎn)P（x，y）到直線y=﹣1的距離的平方為（y+1）2，
∵點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)A（0，1）的距離與到直線y=﹣1的距離相等，
∴x2+（y﹣1）2=（y+1）2，
∴
（3）設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），
∴線段MN的中點(diǎn)為Q的縱坐標(biāo)為
∴
∴x2﹣4kx﹣4b=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，
∴
∴

∴

∴點(diǎn)Q到x軸的最短距離為1．
專(zhuān)題驗(yàn)收測(cè)試題
1．四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∠A、∠B、∠C、∠D的度數(shù)比可能是（　　）
A．1：3：2：4 B．7：5：10：8 C．13：1：5：17 D．1：2：3：4
【答案】C
【解析】
解：A、1+2≠3+4，所以A選項(xiàng)不正確；
B、7+10≠5+8，所以B選項(xiàng)不正確；
C、13+5＝1+17，所以C選項(xiàng)正確；
D、1+3≠2+4，所以D選項(xiàng)不正確．
故選：C．
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心是（2，a），半徑為2，直線y＝﹣x與⊙P相交于A、B兩點(diǎn)，若弦AB的長(zhǎng)為2，則a的值是（　?。?br />
A．﹣2 B．﹣2+ C．﹣2﹣ D．﹣2﹣
【答案】D
【解析】
解：設(shè)⊙P與y軸相切于點(diǎn)C，連接PC，則有PC⊥OC．
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，a），
∴PC＝2．
①若點(diǎn)P在直線y＝x上方，如圖1，
連接CP并延長(zhǎng)交直線y＝x于點(diǎn)E，則有CE＝OC．
∵CE⊥OC，CE＝OC，
∴∠COE＝∠CEO＝45°．
過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，
由垂徑定理可得：AD＝BD＝AB＝．
在Rt△ADP中，
PD＝＝1．
在Rt△PDE中，
sin∠PED＝，
解得：PE＝．
∴OC＝CE＝CP+PE＝2+．
∴a＝﹣2﹣．

3．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，以點(diǎn)D為圓心，AD為半徑畫(huà)，再以BC為直徑畫(huà)半圓，若陰影部分①的面積為S1，陰影部分②的面積為S2，則圖中S2﹣S1的值為（　　）

A．﹣4 B． +4 C．﹣2 D． +2
【答案】A
【解析】
解：由圖形可知，扇形ADC的面積+半圓BC的面積+陰影部分①的面積﹣正方形ABCD的面積＝陰影部分②的面積，
∴S2﹣S1＝扇形ADC的面積+半圓BC的面積﹣正方形ABCD的面積

，
故選：A．
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），⊙O的半徑為1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P在直線AB上，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，則切線長(zhǎng)PQ的最小值為（　?。?br />
A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】
解：連接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切線，
∴OQ⊥PQ；
根據(jù)勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∵當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線段PQ最短；
又∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴OA＝OB＝3，
∴AB＝ ＝6，
∴OP＝AB＝3，
∴PQ＝ ＝2．
故選：B

5．以O(shè)為中心點(diǎn)的量角器與直角三角板ABC如圖所示擺放，直角頂點(diǎn)B在零刻度線所在直線DE上，且量角器與三角板只有一個(gè)公共點(diǎn)P，若點(diǎn)P的讀數(shù)為35°，則∠CBD的度數(shù)是（　?。?br />
A．55° B．45° C．35° D．25
【答案】C
【解析】
∵AB是⊙O的切線，∴∠OPB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴OP∥BC，∴∠CBD＝∠POB＝35°，故選：C．
6．如圖，⊙O與直線l1相離，圓心O到直線l1的距離OB＝2，OA＝4，將直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到的直線l2剛好與⊙O相切于點(diǎn)C，則OC＝( )

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
解：在Rt△ABO中，sin∠OAB＝＝＝，
∴∠OAB＝60°，
∵直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到的直線l2剛好與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴∠CAB＝30°，OC⊥AC，
∴∠OAC＝60°﹣30°＝30°，
在Rt△OAC中，OC＝OA＝2．
故選：B．
7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O（0，0），A（2，0），B（0，2），C（﹣2，0）．將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）得到△OA′B′（（其中點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A′的位置），設(shè)直線AA′與直線BB′相交于點(diǎn)P，則線段CP長(zhǎng)的最小值是（　　）
A．2 B．2 C．2 D．2
【答案】B
【解析】
∵△OAB是直角三角形，
點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∵A（2，0），B（0，），
∴AB＝4，AB的中點(diǎn)為（1，），
∵C（﹣2，0），
∴CP的最小值為﹣2；
故選：B．
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是以C（﹣，）為圓心，1為半徑的⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知A（﹣1，0），B（1，0），連接PA，PB，則PA2+PB2的最小值是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】
設(shè)P（x，y），
∵PA2＝（x+1）2+y2，PB2＝（x﹣1）2+y2，
∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2，
∵OP2＝x2+y2，
∴PA2+PB2＝2OP2+2，
當(dāng)點(diǎn)P處于OC與圓的交點(diǎn)上時(shí)，OP取得最值，
∴OP的最小值為CO﹣CP＝3﹣1＝2，
∴PA2+PB2最小值為2×22+2＝10．
故選：C．
9．如圖，OA在x軸上，OB在y軸上，OA＝4，OB＝3，點(diǎn)C在邊OA上，AC＝1，⊙P的圓心P在線段BC上，且⊙P與邊AB，AO都相切．若反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)圓心P，則k的值是（　?。?br />
A． B． C． D．﹣2
【答案】A
【解析】
解：作PM⊥AB于M，PN⊥x軸于N，如圖，設(shè)⊙P的半徑為r，
∵⊙P與邊AB，AO都相切，
∴PM＝PN＝r，
∵OA＝4，OB＝3，AC＝1，
∴AB＝5，
∵S△PAB+S△PAC＝S△ABC，
∴?5r+?r?1＝?3?1，解得r＝，
∴BN＝，
∵OB＝OC，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
∴NC＝NB＝，
∴ON＝3﹣＝，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣），
把P（，﹣）代入y＝得k＝×（﹣）＝﹣．
故選：A．

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)(0，2)，∠AOC＝45°，∠ACO＝30°，則OC的長(zhǎng)為(　　)

A．+ B．﹣ C．2+ D．2+
【答案】A
【解析】
連接BC，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥CO于D，

∵∠AOC＝45°，
∴∠BOD＝45°，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)(0，2)，
∴OB＝2，
∴BD＝OD＝，
∵A，O，B，C四點(diǎn)共圓，
∴∠CAO+∠CBO＝180°，
∵∠AOC＝45°，∠ACO＝30°，
∴∠CAO＝105°，
∴∠CBO＝75°，
∴∠CBD＝30°，
∴CD＝，
∴CO＝+，
故選：A．
11．和平中學(xué)自行車(chē)停車(chē)棚頂部的剖面如圖所示，已知AB＝16m，半徑OA＝10m，高度CD為_(kāi)___m．

【答案】4．
【解析】
解：∵CD⊥AB，AB＝16，
∴AD＝DB＝8，
在Rt△OAD中，AB＝16m，半徑OA＝10m，
∴OD＝＝6，
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（m）．
故答案為：4．
12．如圖，扇形紙扇完全打開(kāi)后，外側(cè)兩竹條AB，AC夾角為150°，AB的長(zhǎng)為18cm，BD的長(zhǎng)為9cm，則的長(zhǎng)為_(kāi)____cm．

【答案】
【解析】
解：∵AB=18,BD=9,
∴
13．閱讀以下作圖過(guò)程：
第一步：在數(shù)軸上，點(diǎn)O表示數(shù)0，點(diǎn)A表示數(shù)1，點(diǎn)B表示數(shù)5，以AB為直徑作半圓（如圖）；
第二步：以B點(diǎn)為圓心，1為半徑作弧交半圓于點(diǎn)C（如圖）；
第三步：以A點(diǎn)為圓心，AC為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)M．
請(qǐng)你在下面的數(shù)軸中完成第三步的畫(huà)圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法），并寫(xiě)出點(diǎn)M表示的數(shù)為_(kāi)_______．

【答案】作圖見(jiàn)解析，
【解析】解：如圖，點(diǎn)M即為所求．連接AC、BC．由題意知：AB=4，BC=1．∵AB為圓的直徑，∴∠ACB=90°，則AM=AC===，∴點(diǎn)M表示的數(shù)為.故答案為： ．

點(diǎn)睛：本題主要考查作圖﹣尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握尺規(guī)作圖和圓周角定理及勾股定理．
14．圓內(nèi)接正六邊形的一條邊所對(duì)的圓心角的度數(shù)為_(kāi)_______．
【答案】60°
【解析】根據(jù)正多邊形的圓心角公式: ,所以正六邊形的圓心角是60°,故答案為: 60°.
15．整數(shù)m滿足，若以m值為直角三角形的斜邊長(zhǎng)，則該直角三角形外接圓半徑為_(kāi)____．
【答案】1或
【解析】
解：由題意得，m﹣2≥0，5﹣m≥0，m﹣3≠0，m﹣4≠0，
解得，2≤m≤5，m≠3，m≠4，
則整數(shù)m＝2或5，
∴該直角三角形外接圓的直徑為2或5，
∴該直角三角形外接圓半徑為1或，
故答案為：1或．
16．如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），直線AB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)．則B點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)______．

【答案】
【解析】
解：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，
∵⊙O的半徑為2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），即OC＝2，
∴AC是圓的切線．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），
∴OA＝＝4，
∵BO＝2，AO＝4，∠ABO＝90°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝4，OC＝2，
∴sin∠OAC＝，
∴∠OAC＝30°，
∴∠AOC＝60°，即∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠AOC＝60°，
∴OD＝1，BD＝，即B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，）．

17．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，且對(duì)角線AC為直徑，AD＝BC，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC，垂足為E，DG分別與AB，⊙O及CB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F、G、M．
（1）求證：四邊形ABCD為矩形；
（2）若N為MF中點(diǎn)，求證：NB是⊙O的切線；
（3）若F為GE中點(diǎn)，且DE＝6，求⊙O的半徑．

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）⊙O的半徑是．
【解析】
解：（1）∵AC為⊙O直徑，
∴∠ADC＝∠CBA＝90°，
在Rt△ADC與Rt△CBA中，，
∴Rt△ADC≌Rt△CBA，
∴CD＝AB，
∵AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠CBA＝90°，
∴四邊形ABCD是矩形；
（2）連接OB，
∵∠MBF＝∠ABC＝90°，
∴NB＝MF＝NF，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OA，
∴∠5＝∠4，
∵DG⊥AC，
∴∠AEF＝90°，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠5＝90°，
∴OB⊥NB，
∴NB是⊙O的切線；
（3）∵AC為⊙O直徑，AC⊥DG，
∴DE＝GE＝6，
∵F為GE中點(diǎn)，
∴EF＝GF＝3，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠FAE+∠DAE＝90°，
∵∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠FAE＝∠ADE，
∵∠AEF＝∠DEA＝90°，
∴△AEF∽△DEA，
∴，
∴AE＝3，
連接OD，設(shè)⊙O的半徑為r，
∴OA＝OD＝r，OE＝r﹣3，
∵OE2+DE2＝OD2，
∴（r﹣3）2+62＝r2，
∴r＝，
∴⊙O的半徑是．

18．如圖，A、B是⊙O上的兩個(gè)定點(diǎn)，P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A、B重合）、我們稱(chēng)∠APB是⊙O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角．
（1）已知∠APB是⊙O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角，
①若AB是⊙O的直徑，則∠APB＝　 　°；
②若⊙O的半徑是1，AB＝，求∠APB的度數(shù)；
（2）已知O2是⊙O1外一點(diǎn)，以O(shè)2為圓心作一個(gè)圓與⊙O1相交于A、B兩點(diǎn)，∠APB是⊙O1上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角，直線PA、PB分別交⊙O2于M、N（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)N與點(diǎn)B均不重合），連接AN，試探索∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系．

【答案】（1）①90°；②45°或90°；（2）詳見(jiàn)解析.
【解析】
解：（1）①若AB是⊙O的直徑，則∠APB＝90．
②如圖，連接AB、OA、OB．
在△AOB中，
∵OA＝OB＝1．AB＝，
∴OA2+OB2＝AB2．
∴∠AOB＝90°．
當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧上時(shí)，∠APB＝∠AOB＝45°；
當(dāng)點(diǎn)P在劣弧上時(shí)，∠AP′B＝（360°﹣∠AOB）＝135°
（2）根據(jù)點(diǎn)P在⊙O1上的位置分為以下四種情況．

第一種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖①
∵∠MAN＝∠APB+∠ANB，
∴∠APB＝∠MAN﹣∠ANB；
第二種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)N在點(diǎn)P與點(diǎn)B之間，如圖②．
∵∠MAN＝∠APB+∠ANP＝∠APB+（180°﹣∠ANB），
∴∠APB＝∠MAN+∠ANB﹣180°；
第三種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)M在點(diǎn)P與點(diǎn)A之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖③．
∵∠APB+∠ANB+∠MAN＝180°，
∴∠APB＝180°﹣∠MAN﹣∠ANB，
第四種情況：點(diǎn)P在⊙O2內(nèi)，如圖④，
∠APB＝∠MAN+∠ANB．

19．如圖，BE是⊙O的直徑，點(diǎn)A和點(diǎn)D是⊙O上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，
(1)若∠ADE＝28°，求∠C的度數(shù)；
(2)若AC＝6，CE＝3，求⊙O半徑的長(zhǎng)．

【答案】(1)∠C＝34°；(2)⊙O半徑的長(zhǎng)是．
【解析】
解：(1)如圖，連接OA，
∵∠ADE＝28°，
∴由圓周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝56°，
∵AC切⊙O于A，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣56°﹣90°＝34°；

(2)設(shè)OA＝OE＝r，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，
即r2+62＝(r+3)2，
解得：r＝，
答：⊙O半徑的長(zhǎng)是．
20．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB為直徑作半圓，分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，連結(jié)DE．
(1)求證：BD＝DE；
(2)若AB＝13，BC＝10，求CE的長(zhǎng)．

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)CE＝．
【解析】
解：(1)連接AD，DE，
∵AB為半圓的直徑，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴=,
∴BD＝DE；
(2)∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝5，
∵∠CDE＝∠BAC，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴＝，
∴CE＝．

21．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的任意兩點(diǎn)M，N，給出如下定義：點(diǎn)M與點(diǎn)N的“折線距離”為：．

例如：若點(diǎn)M(-1，1)，點(diǎn)N(2，-2)，則點(diǎn)M與點(diǎn)N的“折線距離”為：．根據(jù)以上定義，解決下列問(wèn)題：
（1）已知點(diǎn)P(3，-2)．
①若點(diǎn)A(-2，-1)，則d(P，A)= ；
②若點(diǎn)B(b，2)，且d(P，B)=5，則b= ；
③已知點(diǎn)C（m,n）是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且d(P，C)

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