?專題02分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法．

高中必備知識(shí)點(diǎn)1：十字相乘法

要點(diǎn)一、十字相乘法
利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.對于二次三項(xiàng)式，若存在 ，則.
要點(diǎn)詮釋：（1）在對分解因式時(shí)，要先從常數(shù)項(xiàng)的正、負(fù)入手，若，
則同號(hào)(若，則異號(hào))，然后依據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)再確定的符號(hào)；
（2）若中的為整數(shù)時(shí)，要先將分解成兩個(gè)整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個(gè)整數(shù)之和能否等于，直到湊對為止.
要點(diǎn)二、首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法
在二次三項(xiàng)式(≠0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即
，常數(shù)項(xiàng)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，把排列如下：

按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式與之積，即
.
要點(diǎn)詮釋：（1）分解思路為“看兩端，湊中間”
（2）二次項(xiàng)系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)
里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上.

典型考題

【典型例題】
閱讀與思考：將式子分解因式．
法一：整式乘法與因式分解是方向相反的變形.
由，；
分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，
所以.
解：.
法二：配方的思想.



.
請仿照上面的方法，解答下列問題：
（1）用兩種方法分解因式：；
（2）任選一種方法分解因式：.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）法一：
,
法二：



,
（2）


.
或






.
【變式訓(xùn)練】
閱讀材料題：在因式分解中，有一類形如x2+（m+n）x+mn的多項(xiàng)式，其常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)因數(shù)的積，而它的一次項(xiàng)系數(shù)恰是這兩個(gè)因數(shù)的和，則我們可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．
例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．
運(yùn)用上述方法分解因式：
（1）x2+6x+8；
（2）x2﹣x﹣6；
（3）x2﹣5xy+6y2；
（4）請你結(jié)合上述的方法，對多項(xiàng)式x3﹣2x2﹣3x進(jìn)行分解因式．
【答案】（1）（2）；（3）（4）.
【解析】
解：；
；
；
．
故答案為：(1)(2)；(3)(4).
【能力提升】
由多項(xiàng)式的乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，將該式從右到左使用，即可得到用“十字相乘法”進(jìn)行因式分解的公式：
x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
實(shí)例　分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)嘗試　分解因式：x2＋6x＋8；
(2)應(yīng)用　請用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
【答案】(1) (x+2)(x＋4)；(2) x＝4或x＝－1.
【解析】
(1)原式=(x+2)(x＋4)；　
(2)x2－3x－4＝(x－4)(x＋1)＝0，所以x－4＝0或x＋1＝0，即x＝4或x＝－1.

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：提取公因式法與分組分解法

1.提取公因式法：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成公因式與另一個(gè)多項(xiàng)式的積的形，這種因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符號(hào)語言：
3.提公因式的步驟：
（1） 確定公因式 （2）提出公因式并確定另一個(gè)因式（依據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式）

4.注意事項(xiàng)：因式分解一定要徹底

典型考題

【典型例題】
閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是 ，共應(yīng)用了 次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，則需應(yīng)用上述方法 次，結(jié)果是 .
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n為正整數(shù)).
【答案】（1）提公因式，兩次；（2）2004次，（x＋1）；(3) (x＋1)
【解析】
（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共應(yīng)用了2次．
故答案為：提公因式法，2次；
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+ x(x+1)2004，
=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+ x(x+1)2003]
?
=
=（1+x）2005，
故分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+ x(x+1)2004，，則需應(yīng)用上述方法2004次，結(jié)果是：（x+1）2005．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2…+x（x+1）n（n為正整數(shù)）的結(jié)果是：（x+1）n+1．
故答案為：（x+1）n+1．
【變式訓(xùn)練】
因式分解：
（1）16a2﹣4b2
（2）x3﹣2x2+x
（3）（a2﹣2b）2﹣（1﹣2b）2
【答案】（1）4（2a+b）（2a﹣b）；（2）x（x﹣1）2；（3）（a2﹣4b+1）（a+1）（a﹣1）．
【解析】
解：（1）原式＝4（4a2﹣b2）
＝4（2a+b）（2a﹣b）；
（2）x3﹣2x2+x
＝x（x2﹣2x+1）
＝x（x﹣1）2；
（3）（a2﹣2b）2﹣（1﹣2b）2
＝（a2﹣2b+1﹣2b）（a2﹣2b﹣1+2b）
＝（a2﹣4b+1）（a+1）（a﹣1）．
【能力提升】
分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5），求的值
【答案】（1）-2b（2a+4b-5）；（2）（n-m）（2n-m）；（3）3y（a-b）[5a-5b+1]；（4）6（n-m）2（m-n-2）；（5）0
【解析】
（1） = -2b（2a+4b-5）；
（2）=（n-m）（2n-m）；
（3）
（4）
（5）

高中必備知識(shí)點(diǎn)3：關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解

若關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、，則二次三項(xiàng)式就可分解為.

典型考題

【典型例題】
因式分解：
【答案】
【解析】
解：原式
?
【變式訓(xùn)練】
分解因式：．
【答案】（x2-x+3）（x+1）（x-2）．
【解析】
原式=（x2-x+3）（x2-x-2）
=（x2-x+3）（x+1）（x-2）．
【能力提升】
閱讀材料：
對于多項(xiàng)式x2＋2ax＋a2可以直接用公式法分解為(x＋a)2的形式．但對于多項(xiàng)式x2＋2ax－3a2就不能直接用公式法了，我們可以根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，在x2＋2ax－3a2中先加上一項(xiàng)a2，再減去a2這項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變．
解題過程如下：
x2＋2ax－3a2
＝x2＋2ax－3a2＋a2－a2(第一步)
＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2(第二步)
＝(x＋a)2－(2a)2(第三步)
＝(x＋3a)(x－a)．(第四步)
參照上述材料，回答下列問題：
(1)上述因式分解的過程，從第二步到第三步，用到了哪種因式分解的方法(　　)
A．提公因式法 B．平方差公式法
C．完全平方公式法 D．沒有因式分解
(2)從第三步到第四步用到的是哪種因式分解的方法：__________；
(3)請你參照上述方法把m2－6mn＋8n2因式分解．
【答案】(1)C；(2)平方差公式法；(3)(m－2n)(m－4n)．
【解析】
(1)C；
(2)平方差公式法；
(3)m2－6mn＋8n2
＝m2－6mn＋8n2＋n2－n2
＝m2－6mn＋9n2－n2
＝(m－3n)2－n2
＝(m－2n)(m－4n)．
專題驗(yàn)收測試題

1．下列分解因式正確的是（　?。?br /> A．m4﹣8m2+64=（m2﹣8）2
B．x4﹣y4=（x2+y2）（x2﹣y2）
C．4a2﹣4a+1=（2a﹣1）2
D．a(chǎn)（x﹣y）﹣b（y﹣x）=（x﹣y）（a﹣b）
【答案】C
【解析】
A. 原式不能合并，錯(cuò)誤；
B. 原式=(x2+y2)(x2?y2)=(x2+y2)(x+y)(x?y)，錯(cuò)誤；
C. 原式=(2a?1)2，正確；
D. 原式=(x?y)(a+b)，錯(cuò)誤.
故答案選C.
2．將b3﹣4b分解因式，所得結(jié)果正確的是（　　）
A．b（b2﹣4） B．b（b﹣4）2
C．b（b﹣2）2 D．b（b+2）（b﹣2）
【答案】D
【解析】
解：b3﹣4b＝b（b2﹣4）＝b（b+2）（b﹣2）．
故選：D．
3．下列各式因式分解正確的是( )
A．a(chǎn)2+4ab+4b2=(a+4b)2 B．2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2
C．3a2-12b2=3(a+4b)(a-4b) D．a(chǎn)(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)
【答案】D
【解析】
a2+4ab+4b2=(a+2b)2，故選項(xiàng)A不正確；
2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2不是因式分解，B不正確；
3a2-12b2=3(a+2b)(a-2b)，故選項(xiàng)C不正確；
a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)是因式分解，D正確，
故選D．
4．下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
A選項(xiàng)：（a2）3=（a2）?（a2）?（a2）=a6，∴A選項(xiàng)的答案不對；
B選項(xiàng)：先默寫完全平方公式；（a-b）2=a2-2ab+b2，∴B選項(xiàng)的答案不對；
C選項(xiàng)：提取公因數(shù)a2b；-3a2b-2a2b=（-2-3）a2b=-5a2b，∴C選項(xiàng)的答案正確；
D選項(xiàng)：提取公因數(shù)a2；-a2b+a2=（-b+1）a2??，∴D選項(xiàng)的答案不對；
故選：C．
5．多項(xiàng)式3x2y﹣6y在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式正確的是（　?。?br /> A． B．3y（x2﹣2）
C．y（3x2﹣6） D．
【答案】A
【解析】
解：3x2y﹣6y
＝3y（x2﹣2）
＝3y（x+）（x﹣）
故選：A．
6．下列變形屬于因式分解的是（　?。?br /> A．4x+x＝5x B．（x+2）2＝x2+4x+4
C．x2+x+1＝x（x+1）+1 D．x2﹣3x＝x（x﹣3）
【答案】D
【解析】
解：A、是整式的計(jì)算，不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)正確．
故選：D．
7．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)把二次三項(xiàng)式x2+x﹣1分解因式正確的是（　?。?br /> A．（x﹣）（x﹣） B．（x﹣）（x+）
C．（x+）（x﹣） D．（x+）（x+）
【答案】D
【解析】
解：令x2+x-1=0，
解得：x1=，x2=，
則x2+x-1=（x+）．（x+）
故選：D．
8．下列分解因式正確的是　　
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解：A、原式不能分解，錯(cuò)誤；
B、原式，錯(cuò)誤；
C、原式 ，正確；
D、原式，錯(cuò)誤．
故選：C．
9．下列各式中，不是多項(xiàng)式2x2﹣4x+2的因式的是（　?。?br /> A．2 B．2（x﹣1） C．（x﹣1）2 D．2（x﹣2）
【答案】D
【解析】
原式＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2。
故選：D．
10．已知a，b，c是△ABC的三邊長，且滿足a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2，則△ABC的形狀是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
解：∵a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，
∴a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0，
∴（a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0，
∴a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，
∴（a-b）（a2+b2-c2）=0，
∴a-b=0或a2+b2-c2=0．
∴a=b或a2+b2=c2．
故△ABC的形狀是等腰三角形或直角三角形.
故選：C．
11．因式分解：＝___.
【答案】
【解析】
a2（a-b）-4（a-b）
=（a-b）（a2-4）
=（a-b）（a-2）（a+2），
故答案為：（a-b）（a-2）（a+2）．
12．分解因式：______．
【答案】
【解析】
解：．
故答案為：．
13．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：xy2﹣3x＝_____．
【答案】x（y+）（y﹣）
【解析】
解：xy2﹣3x
＝x（y2﹣3）
＝x[y2﹣]
＝x（y+）（y﹣），
故填：x（y+）（y﹣），
14．分解因式：2a3b﹣8ab＝_____．
【答案】2ab(a+2)(a﹣2)
【解析】
解：原式＝2ab(a2﹣4)＝2ab(a+2)(a﹣2)，
故答案為：2ab(a+2)(a﹣2)．
15．把多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果是__________．
【答案】
【解析】
==
故答案為：
16．分解因式：ab2﹣2a2b+a2＝___．
【答案】a（b2﹣2ab+a）．
【解析】
原式＝a（b2﹣2ab+a）．故答案為：a（b2﹣2ab+a）．
17．閱讀下列材料，解決問題：
12345678987654321這個(gè)數(shù)有這樣一個(gè)特點(diǎn)：各數(shù)位上的數(shù)字從左到右逐漸增大（由1到9，是連續(xù)的自然數(shù)），到數(shù)9時(shí)，達(dá)到頂峰，以后又逐漸減?。ㄓ?到1），它活像一只橄欖，我們不妨稱它為橄欖數(shù)．記第一個(gè)橄欖數(shù)為a1＝1，第二個(gè)橄欖數(shù)為a2＝121，第三個(gè)橄欖數(shù)為a3＝12321……有趣的是橄欖數(shù)還是一個(gè)平方數(shù)，如1＝12，121＝112，12321＝1112，1234321＝11112……而且，橄欖數(shù)可以變形成如下對稱式：


……
根據(jù)以上材料，回答下列問題
（1）11111112＝　 ?。粚?23454321變形為對稱式：123454321＝　 ?。?br /> （2）一個(gè)兩位數(shù)（十位大于個(gè)位），交換其十位與個(gè)位上的數(shù)字，得到一個(gè)新的兩位數(shù)，將原數(shù)和新數(shù)相加，就能得到橄欖數(shù)121，求這個(gè)兩位數(shù)．
（3）證明任意兩個(gè)橄欖數(shù)am，an的各數(shù)位之和的差能被m﹣n整除（m＝1，2…9，n＝1，2…9，m＞n）
【答案】（1）；（2）65，74，83，92；（3）任意兩個(gè)橄欖數(shù)am，an的各數(shù)位之和的差能被m﹣n整除．
【解析】
（1）根據(jù)題中給出的定義，直接可得：
11111112＝1234567654321，123454321＝；
（2）設(shè)十位數(shù)字是x，個(gè)位數(shù)字是y，x＞y，
10x+y+10y+x＝11（x+y）＝121，
∴x+y＝11，
∴這個(gè)兩位數(shù)是65，74，83，92；
（3）am的各數(shù)位之和1+2+3+…+m+（m﹣1）+…+2+1＝＝m2，
an的各數(shù)位之和1+2+3+…+m+（m﹣1）+…+2+1＝＝n2，
∴am，an的各數(shù)位之和的差為m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），
∵m＞n，
∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）能被m﹣n整除，
∴任意兩個(gè)橄欖數(shù)am，an的各數(shù)位之和的差能被m﹣n整除．
18．如果x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5），求3A﹣B的值．
【答案】21.
【解析】
解：x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5）＝x2+2x﹣15，得
A＝2，B＝﹣15．
3A﹣B＝3×2+15＝21．
故答案為：21．
19．閱讀例題，回答問題：
例題：已知二次三項(xiàng)式：x2﹣4x+m有一個(gè)因式是x+3，求另一個(gè)因式以及m的值．
解：設(shè)另一個(gè)因式為x+n，得x2﹣4x+m＝(x+3)(x+n)，則x2﹣4x+m＝x2+(n+3)x+3n．
∴
∴
∴另一個(gè)因式為x﹣7，m＝21．
仿照以上方法解答下面的問題：
已知二次三項(xiàng)式2x2+3x+k有一個(gè)因式是2x﹣5，求另一個(gè)因式以及k的值．
【答案】另一個(gè)因式為(x+4)，k的值為20．
【解析】
解：設(shè)另一個(gè)因式為(x+n)，得2x2+3x﹣k＝(2x﹣5)(x+n)＝2x2+(2n﹣5)x﹣5n，
則
解得：n＝4，k＝20，
故另一個(gè)因式為(x+4)，k的值為20．
20．仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：
例題，已知二次三項(xiàng)式x2－4x＋m有一個(gè)因式是(x＋3)，求另一個(gè)因式以及m的值．
解：設(shè)另一個(gè)因式為(x＋n)，得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
則x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n.
∴，
解得n＝－7，m＝－21，
∴另一個(gè)因式為(x－7)，m的值為－21.
問題：仿照以上方法解答下面問題：
已知二次三項(xiàng)式3x2＋5x－m有一個(gè)因式是(3x－1)，求另一個(gè)因式以及m的值．
【答案】另一個(gè)因式為(x＋2)，m的值為2.
【解析】
解：設(shè)另一個(gè)因式為(x＋n)，
則3x2＋5x－m＝(3x－1)(x＋n)，
則3x2＋5x－m＝3x2＋(3n－1)x－n，
∴，
解得n＝2，m＝2，
∴另一個(gè)因式為(x＋2)，m的值為2.
21．閱讀下列材料，解答下列問題：
材料1．把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，也叫分解因式．如果把整式的乘法看成一個(gè)變形過程，那么多項(xiàng)式的因式分解就是它的逆過程．
公式法（平方差公式、完全平方公式）是因式分解的一種基本方法．如對于二次三項(xiàng)式a2+2ab+b2，可以逆用乘法公式將它分解成（a+b）2的形式，我們稱a2+2ab+b2為完全平方式．但是對于一般的二次三項(xiàng)式，就不能直接應(yīng)用完全平方了，我們可以在二次三項(xiàng)式中先加上一項(xiàng)，使其配成完全平方式，再減去這項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，于是有：
x2+2ax﹣3a2
＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+3a）（x﹣a）
材料2．因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：將“x+y”看成一個(gè)整體，令x+y＝A，則
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再將“A”還原，得：原式＝（x+y+1）2．
上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：
（1）根據(jù)材料1，把c2﹣6c+8分解因式；
（2）結(jié)合材料1和材料2完成下面小題：
①分解因式：（a﹣b）2+2（a﹣b）+1；
②分解因式：（m+n）（m+n﹣4）+3．
【答案】（1）(c-4)(c-2)；（2）①（a-b+1）2；②（m+n-1）（m+n-3）.
【解析】
（1）c2-6c+8
=c2-6c+32-32+8
=（c-3）2-1
=（c-3+1）（c-3+1）
=(c-4)(c-2)；
（2）①（a-b）2+2（a-b）+1
設(shè)a-b=t，
則原式=t2+2t+1=（t+1）2，
則（a-b）2+2（a-b）+1=（a-b+1）2；
②（m+n）（m+n-4）+3
設(shè)m+n=t，
則t（t-4）+3
=t2-4t+3
=t2-4t+22-22+3
=（t-2）2-1
=（t-2+1）（t-2-1）
=（t-1）（t-3），
則（m+n）（m+n-4）+3=（m+n-1）（m+n-3）．
22．已知x4+y4+2x2y2﹣2x2﹣2y2﹣15=0，求x2+y2的值．
【答案】x2+y2=5．
【解析】
∵x4+y4+2x2y2﹣2x2﹣2y2﹣15=0，
（x2+y2）﹣2（x2+y2）﹣15=0
（x2+y2﹣5）（x2+y2+3）=0
∴x2+y2﹣5=0，x2+y2+3=0，
∴x2+y2=5，x2+y2=﹣3（不合題意，舍去），
故x2+y2=5．

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