專題3.8 《圖形的平移和旋轉(zhuǎn)》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解并運(yùn)用平移的性質(zhì)解決實(shí)際問題；2、理解并掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三要素并能解決一些較綜合的有關(guān)旋轉(zhuǎn)問題；3、理解中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系，并在平面直角坐標(biāo)系中加以運(yùn)用。【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平移的基本性質(zhì)：1、經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行且相等； 平移變換不改變圖形的形狀、大小和方向。2、平移的要素:確定一個(gè)平移運(yùn)動(dòng)的條件是平移的方向和距離。要點(diǎn)二、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)1、性質(zhì)(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等（OA= OA′）；　　(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；　　(3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等(△ABC≌△).2、三個(gè)要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.要點(diǎn)三、中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形1.中心對(duì)稱：　把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心．
　　這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)．2.中心對(duì)稱圖形：　把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．【典型例題】類型一、平移及平移性質(zhì)1．（2020·長沙市中雅培粹學(xué)校七年級(jí)月考）如圖，面積為12cm2的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移的距離是邊BC長的2倍，則圖中四邊形ACED的面積為（　?。?/span>A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．無法確定 【答案】B【解析】由題意可知根據(jù)平移的性質(zhì)可以知道四邊形ACED的面積是三個(gè)△ABC的面積，依此計(jì)算即可．∵平移的距離是邊BC長的兩倍，∴BC=CE=EF，∴四邊形ACED的面積是三個(gè)△ABC的面積；∴四邊形ACED的面積=12×3=36cm2．考點(diǎn)：平移的性質(zhì).舉一反三　【變式1】（2020·欽州市第四中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，把三角板的斜邊緊靠直尺平移，一個(gè)頂點(diǎn)從刻度“5”平移到刻度“10”，則頂點(diǎn)C平移的距離CC＇＝____.【答案】5解：∵把三角板的斜邊緊靠直尺平移，一個(gè)頂點(diǎn)從刻度“5”平移到刻度“10”，∴三角板向右平移了5個(gè)單位，∴頂點(diǎn)C平移的距離CC′=5．故答案為5．【點(diǎn)撥】本題考查平移的性質(zhì)，簡單題目．【變式2】（2020·甘肅天水市·八年級(jí)期末）將直線向上平移一個(gè)單位長度得到的一次函數(shù)的解析式為_______________.【答案】解：由平移的規(guī)律知，得到的一次函數(shù)的解析式為.【變式3】（2019·全國八年級(jí)單元測試）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，∠B與∠C互余, 將AB，CD分別平移到EF和EG的位置，則△EFG為________三角形，若AD=2cm，BC=8cm，則FG=____________．       【答案】直角    6    【解析】利用平移的性質(zhì)可以知∠B+∠C=∠EFG+∠EGF，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理在△EFG中求得∠FEG=90°，則可得出△EFG的形狀，根據(jù)平移的性質(zhì)得BF＝AE，CG＝DE，由此即可求得FG的長.解：∵AB，CD分別平移到EF和EG的位置后，∠B的對(duì)應(yīng)角是∠EFG，∠C的對(duì)應(yīng)角是∠EGF，又∵∠B與∠C互余，∴∠EFG與∠EGF互余，∴在△EFG中，∠FEG=90°（三角形內(nèi)角和定理），∴△EFG為Rt△EFG，∵AB平移的長度AE=BF，CD平移的長度DE=CG，∴FG的長度為BC-CG-BF=BC-（AE+ED）=8-2=6cm，故答案為直角，6cm.【點(diǎn)撥】本題考查了平移的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行且相等．熟練掌握是解題的關(guān)鍵.類型二、旋轉(zhuǎn)及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)2.（2019·全國八年級(jí)單元測試）如圖把正方形繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，至少要旋轉(zhuǎn)________度后與原來的圖形重合．【答案】90【分析】根據(jù)正方形是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)角及旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義作答即可．解：正方形是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，根據(jù)正方形的性質(zhì)兩對(duì)角線相互垂直，所以正方形要繞它的中心至少旋轉(zhuǎn)90°，才能與原來的圖形重合，故答案為：90.【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的概念：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角．舉一反三　【變式】（2020·廣東茂名市·八年級(jí)期中）如圖，AC是正方形ABCD的對(duì)角線，△ABC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△AEF的位置．(1)指出它的旋轉(zhuǎn)中心；(2)說出它的旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角是多少度；(3)分別寫出點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．【答案】(1)A;(2) 旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，旋轉(zhuǎn)角是45度；(3) A，E，F.【解析】試題分析：(1)因?yàn)?/span>△ABC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△AEF的位置,則A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,于是可判斷旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A; (2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解; (3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解.解：（1）它的旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A；（2）它的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，旋轉(zhuǎn)角是45度；（3）點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A，E，F.類型三、對(duì)稱中心及性質(zhì)3、（2020·全國九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知三角形ABC與三角形成中心對(duì)稱，找出它們的對(duì)稱中心O．【分析】連接兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，交點(diǎn)即為所求的對(duì)稱中心O．解：連接BB′，找BB′中點(diǎn)O或者連接BB′、CC′，交點(diǎn)為對(duì)稱中心O．如圖所示：．【點(diǎn)撥】此題考查中心對(duì)稱圖形的對(duì)稱中心確定方法，中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)：中心對(duì)稱圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線經(jīng)過對(duì)稱中心，，掌握中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三　【變式】（2019·山東日照市·九年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0,1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是_______.【答案】(0,-1)【分析】關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)即可解得.解：∵關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)∴點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,-1)故填：(0,-1).【點(diǎn)撥】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù). 類型四、綜合訓(xùn)練4、（2019·江蘇省南通市北城中學(xué)八年級(jí)月考）已知△ABC是等邊三角形，將一塊含有30°角的直角三角尺DEF按如圖所示放置，讓三角尺在BC所在的直線上向右平移．如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)A恰好落在三角尺的斜邊DF上．(1)利用圖①證明：EF＝2BC．(2)在三角尺的平移過程中，在圖②中線段AH＝BE是否始終成立(假定AB，AC與三角尺的斜邊的交點(diǎn)分別為G，H)？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）成立，證明見解析．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得∠ACB=60°，AC=BC．結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，得∠CAF=30°，則CF=AC，從而證明結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中的證明方法，得到CH=CF．根據(jù)（1）中的結(jié)論，知BE+CF=AC，從而證明結(jié)論．解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC．∵∠F=30°，∴∠CAF=60°－30°=30°，∴∠CAF=∠F，∴CF=AC，∴CF=AC=BC，∴EF=2BC．（2）成立．證明如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC．∵∠F=30°，∴∠CHF=60°－30°=30°，∴∠CHF=∠F，∴CH=CF．∵EF=2BC，∴BE＋CF=BC．又∵AH＋CH=AC，AC=BC，∴AH=BE．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及等腰三角形的判定及性質(zhì)．證明EF=2BC是解題的關(guān)鍵．5、（2019·全國八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖,在Rt△ACB中,四邊形DECF為正方形,回答下列問題.(1)簡述圖1經(jīng)過怎樣的變換可形成圖2?(2)若AD=3,BD=4,求△ADE與△BDF的面積之和.【答案】（1）把△ADE繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A1DF；（2）6.【分析】（1）觀察圖形，發(fā)現(xiàn)DA旋轉(zhuǎn)到DA1，DE旋轉(zhuǎn)到DF，而∠EDF=90°，由旋轉(zhuǎn)的定義即可描述由圖（1）變成圖（2）的形成過程；（2）由圖形的旋轉(zhuǎn)可知，圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90°，即∠EDF=∠ADA1=90°，可得∠A1DB=90°，△ADE和△BDF面積的和即為△A1DB的面積．解：(1)由題意可得,把△ADE繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A1DF.(2)由圖及(1)知S△ADE+S△BDF=,根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知AD=A1D,∠ADE=∠A1DF,又∵∠ADE+∠FDB=90°,∴∠A1DF+∠FDB=90°,即∠A1DB=90°.∴在Rt△A1DB中,A1D=AD=3,BD=4,A1D×BD=6,∴△ADE與△BDF面積之和為6.【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，（1）熟記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)并確定出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵，（2）通過旋轉(zhuǎn)將兩個(gè)圖形“移”到同一個(gè)圖形中去，便于計(jì)算面積．6、（2018·山東泰安市·七年級(jí)期末）已知：如圖，在中，，以為邊向形外作等邊三角形，把繞著點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到，若，，求的度數(shù)與的長.【答案】，AD=5【分析】只要證明A、B、D、C四點(diǎn)共圓，即可推出∠BAD=∠BCD =60°，然后證明A、C、E三點(diǎn)共線，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，推出AD=AE=AC+CE=AC+AB=2+3=5．解：∵的，以為邊向形外作等邊，∴.∴，，，四點(diǎn)共圓，∴，，又∵，∴，∴，即，，共線.∵把繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到位置且，∴，∴.【點(diǎn)撥】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角形的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是充分利用旋轉(zhuǎn)不變性解決問題，本題的突破點(diǎn)是證明A、C、E共線，△AED是等邊三角形即可．7、（2020·福建福州市·九年級(jí)期中）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△A1B1C1；通過作圖，你發(fā)現(xiàn)了△ABC中任意一點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱后的點(diǎn)坐標(biāo)為          ．（2）已知點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，n），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，－3），則點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P中心對(duì)稱的點(diǎn)N的坐標(biāo)為          ．【答案】（1）畫圖見解析,（-x，-y），（2）（-m +4，-n -6）【分析】（1）依據(jù)中心對(duì)稱畫圖，即可得到△A1B1C1；根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的坐標(biāo)變化規(guī)律，可得坐標(biāo)；（2）將P點(diǎn)平移到原點(diǎn)，利用（1）的結(jié)論，求出N點(diǎn)坐標(biāo)．解：（1）△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△A1B1C1如圖所示，（x，y）關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱后的點(diǎn)坐標(biāo)為（-x，-y）（2）將點(diǎn)P（2，－3）平移到原點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M坐標(biāo)變?yōu)?/span>M1（m-2，n+3），M1（m-2，n+3）關(guān)于原點(diǎn)（即現(xiàn)在的點(diǎn)P）對(duì)稱點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（-m+2，-n-3），再將點(diǎn)P平移回原來的位置，點(diǎn)M2的坐標(biāo)變?yōu)椋?/span>-m+4，-n-6），即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-m+4，-n-6）【點(diǎn)撥】本題考查了中心對(duì)稱的畫法以及關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，通過平移點(diǎn)P，把關(guān)于任意一點(diǎn)成中心對(duì)稱的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的問題是解決問題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．

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