?專題3.11 平移和旋轉(zhuǎn)-幾何變換（綜合提升篇）（專項練習(xí)）
一、單選題
1．如圖，兩個直角三角形重疊在一起，將沿AB方向平移得到，，，下列結(jié)論：①；②；③：④；⑤陰影部分的面積為．其中正確的是（ ）

A．①②③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
2．如圖，在長方形中，，第一次平移將長方形沿方向向右平移4個單位長度，得到長方形，第二次平移將長方形沿方向向右平移4個單位長度，得到長方形，……，第n次平移將長方形沿方向向右平移4個單位長度，得到長方形（）.若的長為45，則（ ）

A．10 B．11 C．16 D．9
3．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，將四邊形ABCD沿AB方向平移得到四邊形A'B'C'D'，BC與C'D'相交于點E，若BC＝8，CE＝3，C'E＝2，則陰影部分的面積為（　?。?br />
A．12+2 B．13 C．2+6 D．26
4．如圖，點D為等邊三角形ABC內(nèi)的一點，DA＝5，DB＝4，DC＝3，將線段AD以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD′，下列結(jié)論：①點D與點D′的距離為5；②△ACD′可以由△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到；③點D到CD′的距離為3；④S四邊形ADCD′＝6＋，其中正確的有（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5．如圖，等腰的直角頂點為，且軸，等腰中，，將與組成的圖形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標為（ ）

A． B． C． D．
6．如圖，等邊三角形ABC的邊長是2，E是△ABC對稱軸CD上一個動點，連接EB，將線段BE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，連接EF，則在點E運動過程中，△BEF周長的最小值是（　?。?br />
A．3 B． C． D．
7．如圖，在中，將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．若點恰好落在BC邊上，且，，則的度數(shù)為（ ）．

A．72° B．108° C．144° D．156
8．如圖，點是的邊的中點，且與關(guān)于直線對稱，若，，則點到線段的距離為（ ）

A． B． C． D．
9．如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點的坐標為，點的坐標為，點在第二象限，直線與軸、軸分別交于點、．將菱形沿軸向右平移個單位，當(dāng)點落在上時，則為（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．如圖，O是正內(nèi)一點，，，．將線段以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A．點O與的距離為4 B．
C．S四邊形AOBO′ D．


二、填空題
11．如圖，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝40°，∠C＝60°，點D在邊OA上，將圖中的△COD繞點O按每秒10°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，在第________秒時，邊CD恰好與邊AB平行．

12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C，M、M′分別是AB、A′B′的中點，若AC＝4，BC＝2，則線段MM′的長為____．

13．如圖，矩形邊，，沿折疊，使點與點重合，點的對應(yīng)點為，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．記旋轉(zhuǎn)過程中的三角形為，在旋轉(zhuǎn)過程中設(shè)直線與射線、射線分別交于點、，當(dāng)時，則的長為_______．

14．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，CB=12cm，AB=13cm，將△ABC沿直線CB向右平移3cm得到△DEF，DF交AB于點G，則點C到直線DE的距離為______cm．

15．如圖，△ABC的邊長AB =3 cm，BC=4 cm，AC=2 cm，將△ABC沿BC方向平移a cm（a＜4 cm），得到△DEF，連接AD，則陰影部分的周長為_______cm．

16．如圖，在平面直角坐標系中，點，，，將線段向右平移，則在平移過程中，的最小值是__．

17． 如圖，在平面直角坐標系中，已知長方形ABCD的頂點坐標：A（-4，-4），B（12，6），D（-8，2），則C點坐標為______．

18．如圖，等邊三角形的頂點A（1，1）、B（3，1），規(guī)定把等邊△ABC“先沿x軸翻折，再向左平移1個單位”為一次變換，如果這樣連續(xù)經(jīng)過2020次變換后，等邊△ABC的頂點C的坐標為___________．

19．如圖，在△ABC中，，將△ABC以每秒2cm的速度沿所在直線向右平移，所得圖形對應(yīng)為△DEF，設(shè)平移時間為t秒，若要使成立，則的值為_____秒．

20．如圖，直線y=2x+2與x、y軸分別交于A、B兩點，以O(shè)B為邊在y軸左側(cè)作等邊△OBC，將△OBC沿y軸上下平移，使點C的對應(yīng)點C′ 恰好落在直線AB上，則點C′的坐標為____．

三、解答題
21．如圖，已知P是正方形ABCD內(nèi)一點，PA＝1，PB＝2，PC＝3，以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP按順時針方向旋轉(zhuǎn)使點A與點C重合，這時P點旋轉(zhuǎn)到G點．
（1）請畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，說出此時△ABP以點B為旋轉(zhuǎn)中心最少旋轉(zhuǎn)了多少度；
（2）求出PG的長度；
（3）請你猜想△PGC的形狀，并說明理由；
（4）請你計算∠BGC的角度．



22．如圖1，圖2中，正方形ABCD的邊長為6，點P從點B出發(fā)沿邊BC—CD以每秒2個單位長的速度向點D勻速運動，以BP為邊作等邊三角形BPQ，使點Q在正方形ABCD內(nèi)或邊上，當(dāng)點Q恰好運動到AD邊上時，點P停止運動．設(shè)運動時間為t秒（t≥0）．
（1）當(dāng)t＝2時，點Q到BC的距離＝_____；
（2）當(dāng)點P在BC邊上運動時，求CQ的最小值及此時t的值；
（3）若點Q在AD邊上時，如圖2，求出t的值；
（4）直接寫出點Q運動路線的長．




23．問題提出：
（1）如圖1，在四邊形中，已知：，，，的面積為8，求邊上的高．
問題探究
（2）如圖2在（1）的條件下，點是邊上一點，且，，連接，求的面積
問題解決
（3）如圖3，在（1）的條件下，點是邊上任意一點，連接、，若，的面積是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；請說明理由．




24．在平面直角坐標中，邊長為2的正方形的兩頂點、分別在軸、軸的正半軸上，點在原點.現(xiàn)將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點一次落在直線上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，邊交直線于點，邊交軸于點（如圖）.
（1）求邊在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；
（2）旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)和平行時，求正方形旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；
（3）設(shè)的周長為，在旋轉(zhuǎn)正方形的過程中，值是否有變化？請證明你的結(jié)論.

25．在平面直角坐標系中，O為原點，點A（﹣2，0），點B（0，2），點E，點F分別為OA，OB的中點．若正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE′D′F′，記旋轉(zhuǎn)角為α．
（1）如圖②，當(dāng)α=135°時，求AE′，BF′的長；
（2）如圖③，當(dāng)0°﹤α﹤180°時， AE′和BF′有什么位置關(guān)系；
（3）若直線AE′與直線BF′相交于點P，求點P的縱坐標的最大值（直接寫出結(jié)果即可）．




26．中，，為高線，點在邊上，且，連接，，與邊相交于點．
（1）如圖1，當(dāng)時，求證：

（2）如圖2，當(dāng)時，則線段、的數(shù)量關(guān)系為 ；

（3）如圖3，在（2）的條件下，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后邊所在的直線與邊相交于點，邊所在的直線與邊相交于點，與高線相交于點，若，且，求線段H的長．

27．如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于，兩點．點為線段上的一個動點，過點作軸于點，作軸與點，求矩形的最大面積，并求此時點的坐標．


參考答案
1．A
【分析】
根據(jù)平移的性質(zhì)可直接判斷①②③，根據(jù)平行線的性質(zhì)可判斷④，陰影部分的面積=S梯形BEFH，于是可判斷⑤，進而可得答案．
【詳解】
解：因為將沿AB方向平移得到，
所以，，DF∥AC，故①②正確；
所以，故④正確；
∵AC∥DF，點H是BC的中點，
則有點D為DE的中點，
則BD=AD=CH=2cm故③正確；
因為，，
所以BH=2cm，
又因為BE=2cm，
所以陰影部分的面積=S△ABC－S△DBH= S△DEF－S△DBH=S梯形BEFH=，故⑤正確；
綜上，正確的結(jié)論是①②③④⑤．
故選：A．
【點撥】
本題考查了平移的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題目，正確理解題意、熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．A
【分析】
每次平移4個單位，次平移個單位，再加上的長度即可找出規(guī)律．
【詳解】
∵每次平移4個單位，次平移個單位
又∵
∴
∴
解得：
故答案選：A
【點撥】
本題考查圖形平移的規(guī)律，掌握平移方式是解題關(guān)鍵．
3．B
【分析】
利用平移的性質(zhì)得到B′C′＝BC＝8，BC∥B′C′，CD∥C′D′，S梯形ABCD＝S梯形A′B′C′D′，然后根據(jù)S陰影部分＝S梯形BB′C′E進行計算．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD沿AB方向平移得到四邊形A'B'C'D'，
∴B′C′＝BC＝8，BC∥B′C′，CD∥C′D′，S梯形ABCD＝S梯形A′B′C′D′，
∴C′D′⊥BE，
∴S陰影部分＝S梯形BB′C′E＝（8﹣3+8）×2＝13．
故選：B．
【點撥】
本題考查了平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點．連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等．
4．D
【分析】
連接DD′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AD′，∠DAD′=60°，可判斷△ADD′為等邊三角形，則DD′=5，可對①進行判斷；由△ABC為等邊三角形得到AB=AC，∠BAC=60°，則把△ABD逆時針旋轉(zhuǎn)60°后， AB與AC重合，AD與AD′重合，于是可對②進行判斷；再根據(jù)勾股定理的逆定理得到△DD′C為直角三角形，則可對③④進行判斷；由于四邊形ADCD′的面積=△ADD′的面積+△D′DC的面積，利用等邊三角形的面積公式和直角三角形面積公式計算后可對⑤進行判斷．
【詳解】
解：連接DD′，如圖，


∵線段AD以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD′，
∴AD=AD′，∠DAD′=60°，
∴△ADD′為等邊三角形，
∴DD′=5，所以①正確；
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴把△ABD逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，AB與AC重合，AD與AD′重合，
∴△ACD′可以由△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，所以②正確；
∴D′C=DB=4，
∵DC=3，
∴在△DD′C中，DC2+D′C2=DD′2，
∴△DD′C為直角三角形，
∴∠DCD′=90°，
∴DC⊥CD′，
∴點D到CD′的距離為3，所以③正確；
∵四邊形ADCD′的面積=S△ADD′+S△D′DC=，所以④正確．
故選D．
【點撥】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．
5．A
【分析】
先求出OD的長，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)確定C點坐標，根據(jù)題意可得經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)后點C回到初始位置，由于2021=4×505+1，所以第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C到達第一次旋轉(zhuǎn)時的位置，由此求解．
【詳解】
解：由題意可得：，
∴C點坐標為（-9，3）
∵將與組成的圖形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)
∴經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)后，點C回到初始位置，
∵2021=4×505+1，
∴第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C到達第一次旋轉(zhuǎn)時的位置，即
故選：A

【點撥】
本題考查了坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是找出C點坐標變化的規(guī)律．
6．C
【分析】
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE＝BF，∠EBF＝60°，可證△BEF是等邊三角形，則當(dāng)BE取最小值時，則△BEF的周長有最小值，由垂線段最短可求解．
【詳解】
解：∵將線段BE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，
∴BE＝BF，∠EBF＝60°，
∴△BEF是等邊三角形，
∴△BEF的周長＝3BE，
∴當(dāng)BE取最小值時，則△BEF的周長有最小值，
∵等邊三角形ABC的邊長是2，CD為對稱軸，
∴AD＝BD＝，CD⊥AB，
∵E是△ABC對稱軸CD上一個動點，
∴BE⊥CD時，BE有最小值為，
∴△BEF周長的最小值為3，
故選：C．
【點撥】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，最短路徑問題，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
7．B
【分析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得等腰三角形B，再根據(jù)，求出∠和∠B即可．
【詳解】
解：∵繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選B．
【點撥】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練利用等腰三角形的性質(zhì)求出相應(yīng)角的度數(shù)．
8．D
【分析】
通過折疊的性質(zhì)可證明△CDE為等邊三角形，進而可證明∠ADE=120°，即AD//CE，根據(jù)同底等高的三角形面積相等可得，作EF⊥BC，AG⊥BC，根據(jù)勾股定理可求得EF，AG，AC，再依據(jù)面積公式可求得點到線段的距離．
【詳解】
解：∵是的邊的中點，
∴CD=BD，
由折疊的性質(zhì)可得DE=BD，∠ADE=∠ADB，
∵，
∴，
∴△CDE為等邊三角形，
∴∠DEC=∠CDE=60°，
∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=∠ADB-∠ADC=180°-2∠ADC=60°,
∴∠ADC=60°，∠ADE=120°，
∴∠ADE+∠CED=180°，
∴AD//CE，
∴，
作EF⊥BC，AG⊥BC，分別交BC于G、F，

∴∠DAG=90°-∠ADG=30°，∠DEF=90°-∠EDF=30°，
∴，
∴，，
∴，,
∴,
設(shè)到線段的距離為，則
，解得，
故選：D．
【點撥】
本題考查折疊的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，含30°角的直角三角形．能正確作出輔助線求得AC的長度是解題關(guān)鍵．本題中還需正確構(gòu)造輔助線理解同底等高的三角形面積相等．
9．C
【分析】
根據(jù)菱形的對稱線互相垂直平分表示出點A的坐標，再根據(jù)直線解析式求出點A移到到MN上時x的值，從而求出m.
【詳解】
解：∵菱形的頂點的坐標為，點的坐標為
∴點A的坐標為(-1,4)
∵菱形ABCD沿x軸向右平移m個單位，當(dāng)點A落在MN上時,點A縱坐標沒有變,
∴當(dāng)y=4時，即=4
∴x=2
∴點A向右移動2-(-1)=3個單位，即菱形沿軸向右平移3個單位
故選：C..
【點撥】
本題考查菱形的性質(zhì).
10．D
【分析】
證明△BO′A≌△BOC，得△OBO′是等邊三角形，根據(jù)勾股定理逆定理可得△AOO′是直角三角形，進而可判斷．
【詳解】
解：如圖，連接OO′，

由題意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
又∵OB＝O′B，AB＝BC，
∴△BO′A≌△BOC，
又∵∠OBO′＝60°，
∴△OBO′是等邊三角形，
∴OO′＝OB＝4．
故A正確；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A＝5．
在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，
故B正確；
S四邊形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′═×3×4+×42＝6+4，
故C正確；
如圖2

將△AOC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)60°到△ABO'位置，
同理可得S△AOC+S△AOB=6+，
故D錯誤；
故選D．
【點撥】
此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
11．10或28
【分析】
作出圖形，分①兩三角形在點O的同側(cè)時，設(shè)CD與OB相交于點E，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠CEO=∠B，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式求出∠DOE，然后求出旋轉(zhuǎn)角∠AOD，再根據(jù)每秒旋轉(zhuǎn)10°列式計算即可得解；②兩三角形在點O的異側(cè)時，延長BO與CD相交于點E，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠CEO=∠B，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式求出∠DOE，然后求出旋轉(zhuǎn)角度數(shù)，再根據(jù)每秒旋轉(zhuǎn)10°列式計算即可得解．
【詳解】
解：①兩三角形在點O的同側(cè)時，如圖1，設(shè)CD與OB相交于點E，
∵AB∥CD，
∴∠CEO=∠B=40°，
∵∠C=60°，∠COD=90°，
∴∠D=90°-60°=30°，
∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，
∴旋轉(zhuǎn)角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°，
∵每秒旋轉(zhuǎn)10°，
∴時間為100°÷10°=10秒；

②兩三角形在點O的異側(cè)時，如圖2，延長BO與CD相交于點E，
∵AB∥CD，
∴∠CEO=∠B=40°，
∵∠C=60°，∠COD=90°，
∴∠D=90°-60°=30°，
∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，
∴旋轉(zhuǎn)角為270°+10°=280°，
∵每秒旋轉(zhuǎn)10°，
∴時間為280°÷10°=28秒；
綜上所述，在第10或28秒時，邊CD恰好與邊AB平行．

故答案為10或28．
【點撥】
本題考查了平行線的判定，平行線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．
12．
【解析】
試題分析：根據(jù)勾股定理可求得AB=A′B′=，根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性，可知∠MCM′=90°，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知CM=AB= ，CM′=，所以再次根據(jù)勾股定理可求得MN=.
故答案為：
點撥：此題主要考查了直角三角形斜邊上的中線，解題時先根據(jù)勾股定理求出斜邊的長，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和直角三角形的斜邊上的中線求出CM、CM′，然后根據(jù)勾股定理可求解.
13．
【分析】
設(shè)AE=x=FC=FG，則BE=ED=8-x，根據(jù)勾股定理可得：x=，進而確定BE、EF的長，再由折疊性質(zhì)可得∠BEF=∠DEF=∠BFE和∠DEF=∠NME=∠F'，可證四邊形BEMF'為平行四邊形，進而得到平行四邊形BEMF'為菱形，由菱形的性質(zhì)可得EM=BE,最后由即可解答．
【詳解】
解：如圖：AE=x=FC=FG，則，
在中，有，即，
解得，
，，
由折疊的性質(zhì)得，
，
，
，，
四邊形為平行四邊形，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
，
平行四邊形為菱形，
，
．

【點撥】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定等知識；考查知識點多，增加了試題的難度，其中證得四邊形BEMF'是菱形是解答本題的關(guān)鍵．
14．
【分析】
根據(jù)平移前后圖形的大小和形狀不變，添加輔助線構(gòu)造梯形，利用面積相等來計算出答案．
【詳解】
解：如圖，連接AD、CD，作CH⊥DE于H，

依題意可得AD=BE=3cm，
∵梯形ACED的面積，
∴，
解得；
故答案為：．
【點撥】
本題考查的是圖形的平移和點到直線的距離，注意圖形平移前后的形狀和大小不變，以及平移前后對應(yīng)點的連線相等．
15．9
【分析】
根據(jù)平移的特點，可直接得出AC、DE、AD的長，利用EC=BC－BE可得出EC的長，進而得出陰影部分周長．
【詳解】
∵AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，將△ABC沿BC方向平移acm
∴DE=AB=3cm，BE=acm
∴EC=BC－BE=(4－a)cm
∴陰影部分周長=2+3+(4－a)+a=9cm
故答案為：9
【點撥】
本題考查平移的特點，解題關(guān)鍵是利用平移的性質(zhì)，得出EC=BC－BE．
16．
【分析】
過點C作直線， 作B關(guān)于的對稱點E，連接AE，將直線AE向右平移至過C點得到直線DF，連接，過點 做 軸交軸于，則的最小值為DF的長度．
【詳解】

如圖：過點C作直線，作B點關(guān)于的對稱點E，連接AE，將直線AE向右平移至過C點得到直線DF，連接，過點 做 軸交軸于
∵平移后A點對應(yīng)點為D點，B點對應(yīng)點為G點，根據(jù)對稱性：
∴
∴的最小值為DF的長度
∵點，，，根據(jù)對稱性知
∴
∴
∴的最小值為．
【點撥】
掌握根據(jù)對稱性轉(zhuǎn)化線段長度解決問題．兩點之間，線段最短使我們解決最值問題常用的思路．
17．（8，12）
【分析】
設(shè)點C的坐標為(x，y)，根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等，利用中點公式列式計算即可得解．
【詳解】
解：設(shè)點C的坐標為(x，y)，
根據(jù)矩形的性質(zhì)，AC、BD的中點為矩形的中心，
所以，=，
=，
解得x=8，y=12，
所以，點C的坐標為(8，12)．
故答案為：(8，12)．
【點撥】
本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，主要利用了矩形的對角線互相平分且相等的性質(zhì)，以及中點公式．
18．(-2018,)
【分析】
先求出C點坐標，然后求出點C翻轉(zhuǎn)、平移一次后得到的結(jié)果，再求出點翻轉(zhuǎn)、平移一次后得到的結(jié)果，…找出規(guī)律，最后算出翻轉(zhuǎn)2020次得到的結(jié)果.
【詳解】
由題意，可利用勾股定理求出等邊三角形的高為，得到C點坐標為，翻轉(zhuǎn)，平移一次為
翻轉(zhuǎn)，平移兩次為，
翻轉(zhuǎn)，平移三次為
…
故C點翻轉(zhuǎn)，平移n次的坐標為
當(dāng)n=2020時，，故答案為(-2018,)
【點撥】
本題考查了坐標與圖形變化-平移，等邊三角形的性質(zhì)，讀懂題目信息，確定出連續(xù)2020次這樣的變換得到三角形在x軸上方是解題的關(guān)鍵．
19．2或6.
【解析】
【分析】
分兩種情況：（1）當(dāng)點E在C的左邊時；（2）當(dāng)點E在C的右邊時.畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)平移的性質(zhì)，可得AD=BE，再根據(jù)AD=2CE，可得方程，解方程即可求解．
【詳解】
解：分兩種情況：
（1）當(dāng)點E在C的左邊時，如圖

根據(jù)圖形可得：線段BE和AD的長度即是平移的距離，
則AD=BE，
設(shè)AD=2tcm，則CE=tcm，依題意有
2t+t=6，
解得t=2．
（2）當(dāng)點E在C的右邊時，如圖

根據(jù)圖形可得：線段BE和AD的長度即是平移的距離，
則AD=BE，
設(shè)AD=2tcm，則CE=tcm，依題意有
2t-t=6，
解得t=6．
故答案為2或6．
【點撥】
本題考查了平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解平移的方向，由圖形判斷平移的方向和距離．注意分類討論．
20．(-3，-6+2)
【解析】
∵ ，∴當(dāng)x=0時，y=；當(dāng)y=0時，x=，∴點A（，0），點B（0，），∵△OBC是等邊三角形，OB=，∴點C到OB的距離是：×sin60°==3，將x=﹣3代入，得y=，∴點C′的坐標為（﹣3，），故答案為（﹣3，）．
點撥：本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、等邊三角形的性質(zhì)、坐標與圖形變化﹣平移，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用等邊三角形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)解答．
21．（1）△ABP以點B為旋轉(zhuǎn)中心最少旋轉(zhuǎn)了90度；（2）2；（3）△PCG是直角三角形；（4）135°
【解析】
【分析】
（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出BP=BG，進而利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）利用勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論；
（4）先求出∠BGP=45°，再求出∠PGC=90°，即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：（1）如圖，
由旋轉(zhuǎn)知，旋轉(zhuǎn)角為∠ABC＝90°，
∴△ABP以點B為旋轉(zhuǎn)中心最少旋轉(zhuǎn)了90度；
（2）連接PG，由旋轉(zhuǎn)知，BP＝BG，∠PBG＝∠ABC＝90°，
∵BP＝2，
∴BG＝BP＝2，
∴PG＝BP＝2；
（3）由旋轉(zhuǎn)知，CG＝AP＝1，
由（2）知，PG＝2，
∵PC＝3，
∴PG2+CG2＝8+1＝9，PC2＝9，
∴PG2+CG2＝PC2，
∴△PCG是直角三角形；
（4）由（2）知，BP＝BG，∠PBG＝90°，
∴∠BGP＝45°，
由（3）知，△PCG是直角三角形，
∴∠PGC＝90°，
∴∠BGC＝∠BGP+∠PGC＝135°．

【點撥】
四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理及逆定理，求出PG是解本題的關(guān)鍵．
22．（1） ；（2）t=,CQ=3;(3) ;(4)
【分析】
過點作用三角函數(shù)的知識即可求出點Q到BC的距離，
點P在BC邊上運動時，有，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時，CQ最小，作圖，求解即可.
若點Q在AD邊上，則證明Rt△BAQ≌Rt△BCP，
根據(jù)列出方程求解即可.
點Q運動路線的長等于點運動的路線長：
【詳解】
如圖：
過點作

當(dāng)時，
是等邊三角形，


故答案為
點P在BC邊上運動時，有，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時，CQ最小，
如圖，在直角三角形BCQ中，，


∴
∴
∴
（3）若點Q在AD邊上，則
∵
∴Rt△BAQ≌Rt△BCP（HL）,
∴
∴
∵，且由勾股定理可得，
∴
解得：（不合題意，舍去），
∴.
（4）點Q運動路線的長等于點運動的路線長：

【點撥】
本題考查幾何圖形中的動點問題，需要熟練運用三角函數(shù)、全等三角形、勾股定理相關(guān)知識.
23．（1）4；（2）；（3）存在，最小值為
【分析】
（1）作BC邊上的高AM，利用三角形面積公式即可求解；
（2）延長DA，過B點作BF⊥DA于點F，作BH⊥AE于點H，易得四邊形BCDF為矩形，在（1）的條件下BC=CD=4，則BCDF為正方形，由，結(jié)合∠FAB=∠CBA可得∠FAB=∠EAB，從而推出BF=BH=4，易證Rt△BCE≌Rt△BHE，所以EH=CE=2，設(shè)AD＝a，則AF=AH=4-a，在Rt△ADE中利用勾股定理建立方程可求出a，最后根據(jù)S△ABE=即可求解；
（3）輔助線同（2），設(shè)AD=a，CE=m，則DE=4-m，同（2）可得出m與a的關(guān)系式，設(shè)△ABE的面積為y，由y=得到m與y的關(guān)系式，再求y的最小值即可．
【詳解】
（1）如圖所示，作BC邊上的高AM，

∵S△ABC=
∴
即BC邊上的高為4；
（2）如圖所示，延長DA，過B點作BF⊥DA于點F，作BH⊥AE于點H，

∵，
∴∠BCD=∠D=90°=∠F
∴四邊形BCDF為矩形，
又∵BC=CD=4
∴四邊形BCDF為正方形，
∴DF=BF=BC=4，
又∵AD∥BC
∴∠FAB=∠CBA
又∵∠EAB=∠CBA
∴∠FAB=∠EAB
∵BF⊥AF，BH⊥AE
∴BH=BF=4，
在Rt△BCE和Rt△BHE中，
∵BE=BE，BH=BC=4
∴Rt△BCE≌Rt△BHE（HL）
∴EH=CE=2
同理可證Rt△BAF≌Rt△BAH（HL）
∴AF=AH
設(shè)AD=a，則AF=AH=4-a
在Rt△ADE中，AD=a，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a
由勾股定理得AD2+DE2=AE2，即
解得
∴AE=6-a=
S△ABE=
（3）存在，
如圖所示，延長DA，過B點作BF⊥DA于點F，作BH⊥AE于點H，

同（2）可得CE=EH，AF=AH，
設(shè)AD=a，CE=EH=m，則DE=4-m，AF=AH=4-a
在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即
整理得
∴AE=AH+HE=
設(shè)△ABE的面積為y，
則y=
∴
整理得：
∵方程必有實數(shù)根
∴
整理得
∴（注：利用求根公式進行因式分解）
又∵面積y≥0
∴
即△ABE的面積最小值為．
【點撥】
本題考查四邊形綜合問題，正確作出輔助線，得出AB平分∠FAC，利用角平分線的性質(zhì)定理得到BF=BH，結(jié)合勾股定理求出AE是解決（2）題的關(guān)鍵，（3）題中利用一元二次方程的判別式求最值是解題的關(guān)鍵．
24．（1）π/2（2）22.5°(3)周長不會變化，證明見解析
【解析】
試題分析：（1）根據(jù)扇形的面積公式來求得邊OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；
（2）解決本題需利用全等，根據(jù)正方形一個內(nèi)角的度數(shù)求出∠AOM的度數(shù)；
（3）利用全等把△MBN的各邊整理到成與正方形的邊長有關(guān)的式子．
試題解析：（1）∵A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉(zhuǎn)，直線y=x與y軸的夾角是45°，
∴OA旋轉(zhuǎn)了45°．
∴OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為．
（2）∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．
又∵BA=BC，∴AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．
∴∠AOM=∠CON=（∠AOC-∠MON）=（90°-45°）=22.5°．
∴旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時，正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為45°-22.5°=22.5°．
（3）在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值無變化．
證明：延長BA交y軸于E點，
則∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
∴△OAE≌△OCN．
∴OE=ON，AE=CN．
又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，
∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．
∴在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值無變化．
考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
25．（1）AE′,BF′的長都等于；
（2）AE′⊥BF′；
（3）點P的縱坐標的最大值為+12.
【解析】
試題分析：（1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的長（2）運用全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)就可解決問題．（3）首先找到使點P的縱坐標最大時點P的位置（點P與點D′重合時），然后運用勾股定理及30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識即可求出點P的縱坐標的最大值．
試題解析：(Ⅰ)當(dāng)α=90°時,點E′與點F重合，如圖①。

∵點A(?2,0)點B(0,2)，
∴OA=OB=2.
∵點E，點F分別為OA，OB的中點，
∴OE=OF=1
∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，
∴OE′=OE=1,OF′=OF=1.
在Rt△AE′O中，
AE′===.
在Rt△BOF′中，
BF′===.
∴AE′,BF′的長都等于.
(Ⅱ)當(dāng)α=135°時,如圖②。

∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)135°所得，
∴∠AOE′=∠BOF′=135°.
在△AOE′和△BOF′中，
，
∴△AOE′≌△BOF′(SAS).
∴AE′=BF′,且∠OAE′=∠OBF′.
∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，
∴∠CPB=∠AOC=90°
∴AE′⊥BF′.
(Ⅲ)∵∠BPA=∠BOA=90°，
∴點P、B. A.?O四點共圓，
∴當(dāng)點P在劣弧OB上運動時，點P的縱坐標隨著∠PAO的增大而增大。

∵OE′=1，
∴點E′在以點O為圓心,1為半徑的圓O上運動,
∴當(dāng)AP與O相切時,∠E′AO(即∠PAO)最大，
此時∠AE′O=90°,點D′與點P重合，點P的縱坐標達到最大。
過點P作PH⊥x軸，垂足為H，如圖③所示。
∵∠AE′O=90°,E′O=1，AO=2，
∴∠E′AO=30°,AE′=.
∴AP=+1.
∵∠AHP=90°,∠PAH=30°，
∴PH=AP=.
∴點P的縱坐標的最大值為.
點撥：本題是在圖形旋轉(zhuǎn)過程中，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形外角的性質(zhì)、30°角所對的直角邊等于斜邊的一般等知識，而找到使點P的縱坐標最大時點P的位置是解決最后一個問題的關(guān)鍵.
26．（1）證明見解析；（2）當(dāng)時，；（3）2
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)tan∠BAC=1=tan45°，得出△ABC為等腰直角三角形，再過E點作EK⊥BC，EK與CD相交于點K，得出∠GKE=45°=∠B，再根據(jù)∠GEK+∠KEF=90°=∠KEF+∠BEF，得出△GEK∽△FEB，從而證出，即可得出EF=2EG；
（2）根據(jù)（1）的證明過程，同理可證出當(dāng)tan∠BAC=2時，得出EF=EG；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，先設(shè)AC=3k，得出BC＝6k，EC＝EC＝2k，再過點E作EM⊥BC，EM與CD的延長線相交于點M，得出△AGC∽△EGM，得出，再過點G作GN∥EH，與AH相交于點N，得出△ANG∽△AHE，得出NH的值，同理得出△GEM∽△FEB，得出EF=EG．同理可證EF′=EG′，∠FEF'=∠GEG'，得出△GEG'≌△FEF'，即可證出的值，再根據(jù)HG′∥NG，同理可證，得出EC=CH，得出△HCE是等腰直角三角形，在△HG'C中，求出CW的值，從而得出G′H?的值．
【詳解】
（1）證明：在中， ，
，
，
．
為等腰直角三角形，
，
，
過點作，與相交于點，

，
，
，
，
，
；
（2）根據(jù)（1）的證明，同理可證：
當(dāng)時，；
（3）在中， ，，
則，
設(shè)，則BC＝6k，則，
過點作，與的延長線相交于點， ，
．
在與中，
，
,，
，

過點作，與相交于點，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
同理可證, ，
，
，
．
，同理可證，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
在中，過點作，垂足是，

設(shè)，則HW＝x，則，
，，
，
，
．
【點撥】
此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)得到它們的比值進行計算即可．
27．矩形面積最大，
【分析】
先利用，兩點的坐標計算直線AB的解析式，然后表示C點坐標為，根據(jù)C點坐標表示矩形的最大面積，該表達式為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大面積根據(jù)此時m的值求C坐標.
【詳解】
∵直線與軸、軸分別交于，兩點，
∴設(shè)直線解析式為：，
，
解得：，
∴直線解析式為：；
設(shè)點，其中，
，
，
當(dāng)時，矩形面積最大，
此時．
【點撥】本題考查求一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)的應(yīng)用——動點問題.熟練掌握用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是解決（1）的關(guān)鍵；（2）會將二次函數(shù)一般式化為頂點式，并根據(jù)當(dāng)a小于0時，二次函數(shù)在頂點處取得最大值，求矩形最大面積是解決此題的關(guān)鍵.

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