?專題18.12 《平行四邊形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（專項(xiàng)練習(xí)）
一、單選題
1．關(guān)于?ABCD的敘述，正確的是（　?。?br /> A．若AB⊥BC，則?ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，則?ABCD是正方形
C．若AC=BD，則?ABCD是矩形 D．若AB=AD，則?ABCD是正方形
2．如圖，在矩形ABCD中(AD＞AB)，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足為點(diǎn)F，在下列結(jié)論中，不一定正確的是( )

A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD
C．AB＝AF D．BE＝AD﹣DF
3．在四邊形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，從以上選擇兩個(gè)條件使四邊形ABCD為平行四邊形的選法共有（　　）
A．3種 B．4種 C．5種 D．6種
4．如圖，在△ABC 中，點(diǎn) D 是邊 BC 上的點(diǎn)（與 B、C 兩點(diǎn)不重合），過點(diǎn) D作 DE∥AC，DF∥AB，分別交 AB、AC 于 E、F 兩點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）

A．若 AD 平分∠BAC，則四邊形 AEDF 是菱形
B．若 BD＝CD，則四邊形 AEDF 是菱形
C．若 AD 垂直平分 BC，則四邊形 AEDF 是矩形
D．若 AD⊥BC，則四邊形 AEDF 是矩形
5．菱形的周長為8cm，高為1cm，則該菱形兩鄰角度數(shù)比為（ ）
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
6．如圖，菱形ABCD的周長為24cm，對角線AC、BD相交于O點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，連接OE，則線段OE的長等于( )

A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm
7．如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P為AB 邊上一動(dòng)點(diǎn)，以PA，PC為邊作□PAQC，則對角線PQ長度的最小值為( )

A．6 B．8 C．2 D．4
8．如圖，□ABCD中，∠C＝108°，BE平分∠ABC，則∠AEB等于（ ）

A．18° B．36° C．72° D．108°
9．如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，∠CAD＝20°，則∠DHO的度數(shù)是（　?。?br />
A．20° B．25° C．30° D．40°
10．正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是 ( )
A．對角線相等 B．對角線互相垂直平分
C．四條邊相等 D．對角線平分一組對角
11．如圖是一個(gè)邊長為15 cm的活動(dòng)菱形衣帽架，若墻上釘子間的距離AB＝BC＝15 cm，那么∠1的度數(shù)為(　　)

A．45°
B．60°
C．75°
D．90°
12．如圖，依次連接一個(gè)邊長為1的正方形各邊的中點(diǎn)，得到第二個(gè)正方形，再依次連接第二個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)，得到第三個(gè)正方形，按此方法繼續(xù)下去，則第四個(gè)正方形的面積是（ ）

A． B． C． D．
13．在□ABCD中，AB=10，BC=14，E、F分別為邊BC、AD上的點(diǎn)，若四邊形AECF為正方形，則AE的長為（ ）
A．7 B．4或10 C．5或9 D．6或8
14．如圖，A、P是直線m上的任意兩個(gè)點(diǎn)，B、C是直線n上的兩個(gè)定點(diǎn)，且直線m∥n．則下列說法正確的是（ ）

A．AC=BP B．△ABC的周長等于△BCP的周長
C．△ABC的面積等于△ABP的面積 D．△ABC的面積等于△PBC的面積
15．如圖，E，F(xiàn)分別是?ABCD的邊AD、BC上的點(diǎn)，EF=6，∠DEF=60°，將四邊形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于點(diǎn)G，則△GEF的周長為（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24
16．如圖，將矩形ABCD沿GH折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)Q處，點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，若∠AGE=32°，則∠GHC等于（　?。?br />
A．112° B．110° C．108° D．106°
17．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的點(diǎn)，AE=CF，連接EF，BF，EF與對角線AC交于點(diǎn)O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，F(xiàn)C=2，則AB的長為（　?。?br />
A．8 B．8 C．4 D．6


二、填空題
18．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，CE是邊AB上的中線，如果CD=BE，∠B=40°，那么∠BCE=_____度．

19．如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個(gè)正方形，再以對角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去，第n個(gè)正方形的邊長為_____．

20．如圖，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，連接DC并延長到點(diǎn)E，使CE＝14CD，過點(diǎn)B作BF∥DE交AE的延長線于點(diǎn)F，若BF＝10，則AB的長為____．

21．如圖，在?ABCD中，AB＝3，BC＝5，以點(diǎn)B的圓心，以任意長為半徑作弧，分別交BA、BC于點(diǎn)P、Q，再分別以P、Q為圓心，以大于PQ的長為半徑作弧，兩弧在∠ABC內(nèi)交于點(diǎn)M，連接BM并延長交AD于點(diǎn)E，則DE的長為_____．

22．在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，如果AC=14，BD=8，AB=x，那么的取值范圍是__________．
23．如圖，在△MBN 中，已知：BM＝6，BN＝7，MN＝10，點(diǎn) A C，D 分別是 MB，NB，MN 的中點(diǎn)，則四邊形 ABCD 的周長 是_____．

24．如圖，在中，已知點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，且，則陰影部分的面積______.

25．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD定點(diǎn)A、B在y軸、x軸上，當(dāng)B在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在y軸運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝2，BC＝1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為__________．

26．如圖，在中，，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，于，于，為中點(diǎn)，則的取值范圍是________．

27．如圖，以菱形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作四邊形，再以各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作四邊形，…，如此下去，得到四邊形，若對角線長分別為和，請用含、的代數(shù)式表示四邊形的周長________．

28．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四邊形ABCD的面積是18，則DP的長是_____．

29．矩形的一邊長是3.6㎝, 兩條對角線的夾角為60o,則矩形對角線長是___________.

三、解答題
30．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以線段AB為邊向外作等邊△ABD，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，連接CE并延長交線段AD于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形BCFD為平行四邊形；
（2）若AB＝6，求平行四邊形BCFD的面積．


31． 將平行四邊形紙片按如圖方式折疊，使點(diǎn)與重合，點(diǎn) 落到處，折痕為．
（1）求證：；
（2）連結(jié)，判斷四邊形是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論．



32．如圖將矩形ABCD沿對角線AC對折,使△ABC落在△ACE的位置,且CE與AD相交于點(diǎn)F,求證:EF=DF.




32． 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．
（1）求證：CE＝AD；
（2）當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；
（3）若D為AB中點(diǎn)，則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由．






34．如圖，在長方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/秒的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒：
（1）PC＝　 　cm．（用t的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ABP≌△DCP？
（3）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以vcm/秒的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣v的值，使得△ABP與△PQC全等？若存在，請求出v的值；若不存在，請說明理由．



參考答案
1．C
【解析】
選項(xiàng)C中，滿足矩形的判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形，所以選C.
2．B
【解析】
A．由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．
又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故A正確；
B．∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故B錯(cuò)誤；
C．由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故C正確；
D．由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故D正確；
故選B．
3．B
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法即可找到所有組合方式：（1）兩組對邊平行①②；（2）兩組對邊相等③④；（3）一組對邊平行且相等①③或②④，所以有四種組合．
【詳解】（1）①②，利用兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形判定；
（2）③④，利用兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形判定；
（3）①③或②④，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定；
共4種組合方法，
故選B．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的判定方法，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵.平行四邊形的判定方法共有五種，在四邊形中如果有：1、四邊形的兩組對邊分別平行；2、一組對邊平行且相等；3、兩組對邊分別相等；4、對角線互相平分；5、兩組對角分別相等．則四邊形是平行四邊形．
4．A
【分析】
由矩形的判定和菱形的判定即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：A選項(xiàng)：若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是菱形；正確；
B選項(xiàng)：若BD=CD，則四邊形AEDF是平行四邊形，不一定是菱形；錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：若AD垂直平分BC，則四邊形AEDF是菱形，不一定是矩形；錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：若AD⊥BC，則四邊形AEDF是平行四邊形，不一定是矩形；錯(cuò)誤；
故選A．
【點(diǎn)撥】
本題考查了矩形的判定、菱形的判定；熟記菱形和矩形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．
5．C
【分析】
菱形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形的性質(zhì).
【詳解】
如圖所示，根據(jù)已知可得到菱形的邊長為2cm，從而可得到高所對的角為30°，相鄰的角為150°，則該菱形兩鄰角度數(shù)比為5：1，故選C.

6．A
【詳解】
解：∵菱形ABCD的周長為24cm，
∴AB=24÷4=6cm，
∵對角線AC、BD相交于O點(diǎn)，
∴OB=OD，∵E是AD的中點(diǎn)，∴OE是△ABD的中位線，
∴OE=AB=×6=3cm．
故選A．
【點(diǎn)撥】
本題考查菱形的性質(zhì)．
7．D
【解析】
試題解析：∵四邊形APCQ是平行四邊形，

∴AO=CO，OP=OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴過O作OP′⊥AB與P′，

∴△AP′O是等腰直角三角形，


∴PQ的最小值
故選D.
8．B
【分析】
首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出∠ABC的度數(shù)，又由BE平分∠ABC，得出∠ABE=∠CBE，∠AEB和∠CBE是內(nèi)錯(cuò)角，相等，即可得出∠AEB.
【詳解】
解：∵□ABCD中，∠C＝108°，
∴∠ABC=180°-108°=72°
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=36°
又∵∠AEB=∠CBE
∴∠AEB=36°
故答案為B.
【點(diǎn)撥】
此題主要考查利用平行四邊形的性質(zhì)求角的度數(shù)，熟練掌握即可解題.
9．A
【分析】
先根據(jù)菱形的性質(zhì)得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，則利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以O(shè)H為Rt△DHB的斜邊DB上的中線，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性質(zhì)得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度數(shù).
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH為Rt△DHB的斜邊DB上的中線，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠1＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO＝90°，
∴∠1＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故選A．

【點(diǎn)撥】
本題考查菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．
10．A
【分析】
根據(jù)正方形和菱形的性質(zhì)可以判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確．
【詳解】
解：正方形的對角線相等，菱形的對角線不相等，故A符合題意；
正方形和菱形的對角線都互相垂直平分，故B不符合題意；
正方形和菱形的四條邊都相等，故C不符合題意；
正方形和菱形的對角線都平分一組對角，故D不符合題意，
故選：A．
【點(diǎn)撥】
本題考查正方形和菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握基本性質(zhì)．
11．B
【解析】
【分析】
如圖，根據(jù)已知可得△ABD是等邊三角形，從而可求得∠1的度數(shù)為60°．
【詳解】
如圖，∵菱形的邊長為AD=15 cm，
又AB＝BC＝15 cm，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠1＝60°，
故選B.

【點(diǎn)撥】
本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
12．A
【解析】
【分析】
由題可以發(fā)現(xiàn)，后面新得到的正方形是剛得到的正方形的面積的一半，因而得到第n個(gè)正方形的面積表達(dá)式即可解答．
【詳解】
解：可以發(fā)現(xiàn)，后面新得到的正方形是剛得到的正方形的面積的一半，所以第n個(gè)正方形的面積可表示為 ，第4個(gè)為＝．
故選A.
【點(diǎn)撥】
本題是一道找規(guī)律的題目，得到第n個(gè)正方形的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．
13．D
【解析】
試題分析：如圖設(shè)AE=x則BE=14-x
因?yàn)樗倪呅蜛ECF為正方形 所以∠AEC=∠AEB=90°
在△ABE中，有勾股定理可得解得x=6或8．
故選D．

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)、勾股定理．

14．D
【分析】
根據(jù)平行線之間的距離及三角形的面積即可得出答案．
【詳解】
解：∵A、P是直線m上的任意兩個(gè)點(diǎn)，B、C是直線n上的兩個(gè)定點(diǎn)，且直線m∥n，
根據(jù)平行線之間的距離相等可得：△ABC與△PBC是同底等高的三角形，
故△ABC的面積等于△PBC的面積．
故選D．
【點(diǎn)撥】
本題考查平行線之間的距離；三角形的面積．
15．C
【分析】
由折疊得：∠DEF=∠D′EF=60°，在由平行四邊形的對邊平行，得出內(nèi)錯(cuò)角相等，得出△GEF是等邊三角形，已知邊長求出周長即可．
【詳解】
解：∵∠DEF=60°，∴由翻折可知∠DEF=∠D′EF =60°，∴∠AEG=60°，
∵平行四邊形ABCD中，AD//BC，∴∠EGF=∠AEG=60°，∠EFG=∠DEF=60°，
∴∠FEG=∠EGF=∠EFG＝60°，∴△EFG是個(gè)等邊三角形，
∴△GEF的周長=3EF=3×6=18，
故選：C
【點(diǎn)撥】
考查平行四邊形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，得到△GEF是等邊三角形，是解決問題的關(guān)鍵．
16．D
【解析】
分析：由折疊可得：∠DGH=∠DGE=74°，再根據(jù)AD∥BC，即可得到∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．
詳解：∵∠AGE=32°，
∴∠DGE=148°，
由折疊可得：∠DGH=∠DGE=74°．
∵AD∥BC，
∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．
故選D．
點(diǎn)撥：本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
17．D
【分析】
連接OB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BO⊥EF，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OA=OB，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠BAC=∠ABO，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC，再利用勾股定理列式計(jì)算即可求出AB．
【詳解】
解：如圖，連接OB，

∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∴∠FCA=30°，
∴∠FBC=30°，
∵FC=2，
∴BC=2，
∴AC=2BC=4，
∴AB=＝＝6，
故選D．
【點(diǎn)撥】
本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，綜合題，但難度不大，（2）作輔助線并求出∠BAC=30°是解題的關(guān)鍵．
18．20．
【分析】
連接ED，再加上AD⊥BC,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，很容易可以推出△ECD為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角，以及外角性質(zhì)即可求出∠BCE的度數(shù).
【詳解】


如圖，連接ED，
∵AD⊥BC，
∴△ABD是直角三角形，
∵CE是邊AB上的中線，
∴ED= AB=BE，
∴∠EDB=∠B=40°，
又∵CD=BE，
∴ED= CD，
∴∠DEC=∠DCE，
∵∠EDB是△DEC的外角，
∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠DCE=40°,
∴∠DCE=∠EDB=20°，
∵∠DCE即∠BCE，
∴∠BCE=20°.
【點(diǎn)撥】
本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
19．（）n﹣1
【詳解】
解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC=；
同理可求：AE=，HE=，…，
∴第n個(gè)正方形的邊長an=．
故答案為．
20．8
【詳解】
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，BF∥DE，∴DE是△ABF的中位線．∵BF=10，∴DE=12BF=5．∵CE=14CD，∴54CD=5，解得CD=4．∵△ABC是直角三角形，∴AB=2CD=8．
故答案為8．

21．2．
【分析】
根據(jù)作圖過程可得得BE平分∠ABC；再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可證明∠AEB＝∠CBE，證出AE＝AB＝3，即可得出DE的長．
【詳解】
根據(jù)作圖的方法得：BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2；
故答案為：2．
【點(diǎn)撥】
此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證出AE＝AB是解決問題的關(guān)鍵．
22．3＜x＜11
【分析】
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)易知OA＝7，OB＝4，根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定范圍．
【詳解】
∵ABCD是平行四邊形，AC＝14，BD＝8，
∴OA＝AC＝7，OB＝BD＝4，
∴7?4＜x＜7＋4，即3＜x＜11．
故答案為：3＜x＜11．

【點(diǎn)撥】
此題考查了平行四邊形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系定理，有關(guān)“對角線范圍”的題，應(yīng)聯(lián)系“三角形兩邊之和、差與第三邊關(guān)系”知識(shí)點(diǎn)來解決．
23．13
【分析】
根據(jù)中位線性質(zhì)可以推出CD∥AB，AD∥BC，可得四邊形ABCD為平行四邊形，由中點(diǎn)可得四邊形ABCD的周長
【詳解】
∵點(diǎn)A，C，D分別是MB，NB，MN的中點(diǎn)，
∴CD∥AB，AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC.
∵BM＝6，BN＝7，點(diǎn)A，C分別是MB，NB的中點(diǎn)，
∴AB=3，BC=3.5，
∴四邊形ABCD的周長=（AB+BC）×2=（3+3.5）×2=13.
故答案為13
【點(diǎn)撥】
本題考查了中位線的性質(zhì)，以及平行四邊形的判定及性質(zhì)，掌握中位線的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
24．.
【分析】
根據(jù)AD為△ABC中線可知S△ABD=S△ACD，又E為AD中點(diǎn)，故，S△BEC=S△ABC，根據(jù)BF為△BEC中線，可知.
【詳解】
由題中E、D為中點(diǎn)可知
，S△BEC=S△ABC
又為的中線，
∴.
【點(diǎn)撥】
本題考查了三角形中線的性質(zhì)，牢固掌握并會(huì)運(yùn)用即可解題.
25．＋1
【分析】
取AB的中點(diǎn)E,連接OD,OE,DE,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OE=AB,利用勾股定理列式求出DE,然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得OD過點(diǎn)E時(shí)最大.
【詳解】
解：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接OD、OE、DE，

∵∠AOB＝90°，AB＝2，
∴OE＝AE＝AB＝1，
∵BC＝1，四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，
∴DE＝＝＝，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OD＜OE＋DE，
∴當(dāng)OD過點(diǎn)E時(shí)最大，最大值為＋1.
【點(diǎn)撥】
本題主要考查矩形的性質(zhì)及三角形三邊的關(guān)系，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
26．
【解析】
【分析】
首先根據(jù)矩形的判定定理得出四邊形AEPF為矩形，根據(jù)矩形對角線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出AP的最小值和最大值，從而得出答案．
【詳解】
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°， ∴四邊形AEPF為矩形， ∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，
∴AM=AP， 當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)AC的值最大，
∴AP=， AP的最大值為12， ∴．
【點(diǎn)撥】
本題主要考查的是矩形的判定定理與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的高線的計(jì)算法則，屬于中等難度題型．將AM轉(zhuǎn)化為矩形對角線的一半是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵．
27．
【解析】
【分析】
根據(jù)圖形，四邊形A1B1C1D1的長為，寬為，四邊形A2B2C2D2是菱形，邊長為四邊形A3B3C3D3的長為，寬為，四邊形A4B4C4D4是菱形，邊長為
依此類推，A2n-1B2n-1C2n-1D2n-1長為，寬為，四邊形A2nB2nC2nD2n是菱形，邊長為 四邊形是矩形，計(jì)算周長即可．
【詳解】
結(jié)合圖形,腳碼為奇數(shù)時(shí),四邊形A2n?1B2n?1C2n?1D2n?1是矩形,長為寬為
腳碼為偶數(shù)時(shí),四邊形A2nB2nC2nD2n是菱形,邊長為
∴四邊形A2010B2010C2010D2010是菱形,邊長為
周長為,即
∴四邊形是矩形, 長為寬為
∴四邊形的周長為：
故答案為：
【點(diǎn)撥】
考查菱形的性質(zhì), 矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練運(yùn)用菱形和矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
28．
【解析】
過點(diǎn)D作DE⊥DP交BC的延長線于E，先判斷出四邊形DPBE是矩形，再根據(jù)等角的余角相等求出∠ADP=∠CDE，再利用“角角邊”證明△ADP和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=DP，然后判斷出四邊形DPBE是正方形，再根據(jù)正方形的面積公式解答即可．
解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥DP交BC的延長線于E，

∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴四邊形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD=90°，
∴∠APD=∠E=90°，
在△ADP和△CDE中，
∠ADP=∠CDE，∠APD=∠E，AD=CD，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE=DP，四邊形ABCD的面積=四邊形DPBE的面積=18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP=．
故答案為3．
“點(diǎn)撥”本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和正方形是解題的關(guān)鍵．
29．7.2cm或cm
【解析】
①邊長3.6cm為短邊時(shí)，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴OA=OB，
∵兩對角線的夾角為60°，
∴△AOB為等邊三角形，
∴OA=OB=AB=3.6cm，
∴AC=BD=2OA=7.2cm；
②邊長3.6cm為長邊時(shí)，
∵四邊形ABCD為矩形
∴OA=OB，
∵兩對角線的夾角為60°，
∴△AOB為等邊三角形，
∴OA=OB=AB，BD=2OB，∠ABD=60°，
∴OB=AB= ，
∴BD＝；

故答案是：7.2cm或cm．
30．（1）證明見解析；（2）9．
【分析】
(1)在Rt△ABC 中，E為AB的中點(diǎn)，則CEAB，BEAB，得到∠BCE＝∠EBC＝60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE＝∠BCE＝60°，又∠D＝60°，得∠AFE＝∠D＝60°，所以FC∥BD，又因?yàn)椤螧AD＝∠ABC＝60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，由此即可得四邊形BCFD是平行四邊形；
(2)在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解決問題.
【詳解】
(1)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝60°，
在等邊△ABD中，∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°，
∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，
又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC，
在△ABC中，∠ACB＝90°，E為AB的中點(diǎn)，
∴CEAB，BEAB，
∴CE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BCE＝∠EBC＝60°，
又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE＝∠BCE＝60°，
又∵∠D＝60°，∴∠AFE＝∠D＝60°，∴FC∥BD，
又∵∠BAD＝∠ABC＝60°，∴AD∥BC，即FD∥BC，
∴四邊形BCFD是平行四邊形；
(2)在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝6，
∴BCAB＝3，AC==3，
∴S平行四邊形BCFD＝3．
【點(diǎn)撥】
本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題.
31．（1）證明見解析；（2）四邊形AECF是菱形．證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)我們可以得到∠B=∠D′，AB=AD′，∠1=∠3，從而利用ASA判定△ABE≌△AD′F；
（2）四邊形AECF是菱形，我們可以運(yùn)用菱形的判定，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形來進(jìn)行驗(yàn)證．
【詳解】
解:（1）由折疊可知：∠D=∠D′，CD=AD′，
∠C=∠D′AE．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD．
∴∠B=∠D′，AB=AD′，∠D′AE=∠BAD，
即∠1+∠2=∠2+∠3．
∴∠1=∠3．
在△ABE和△AD′F中
∵
∴△ABE≌△AD′F（ASA）．

（2）四邊形AECF是菱形．
證明：由折疊可知：AE=EC，∠4=∠5．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∴∠5=∠6．
∴∠4=∠6．
∴AF=AE．
∵AE=EC，
∴AF=EC．
又∵AF∥EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
又∵AF=AE，
∴平行四邊形AECF是菱形．
考點(diǎn)：1.全等三角形的判定；2.菱形的判定．
32．見解析
【分析】
先由四邊形為矩形，得出AE=CD，∠E=∠D，再由對頂角相等，即可證明△AEF≌△CDF即可．
【詳解】
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠E，AE=CD，
又∵∠AFE=∠CFD，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF(AAS)，
∴EF=DF.
33．（1）見解析；（2）四邊形BECD是菱形，理由見解析；（3）當(dāng)∠A＝45°時(shí)，四邊形BECD是正方形，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)兩組對邊平行，證明四邊形ADEC是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CE＝AD；
（2）先根據(jù)一組對邊平行且相等，證明四邊形BECD是平行四邊形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明CD＝BD，從而證明四邊形BECD是菱形；
（3）當(dāng)∠A＝45°時(shí)，四邊形BECD是正方形，證明是等腰直角三角形，再利用“三線合一”的性質(zhì)證明CD⊥AB，從而證明四邊形BECD是正方形．
（1）證明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵M(jìn)N∥AB，即CE∥AD，
∴四邊形ADEC是平行四邊形，
∴CE＝AD；
（2）解：四邊形BECD是菱形，
理由是：∵D為AB中點(diǎn)，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四邊形BECD是平行四邊形，
∵∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，
∴CD＝BD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∴四邊形BECD是菱形；
（3）當(dāng)∠A＝45°時(shí)，四邊形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D為BA中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四邊形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即當(dāng)∠A＝45°時(shí)，四邊形BECD是正方形．
【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練利用這些性質(zhì)和判定進(jìn)行證明．
34．（1）(10﹣2t)；（2）t＝2.5；（3）2.4或2
【分析】（1）根據(jù)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度可得BP的長，再利用BC﹣BP即可得到CP的長；
（2）當(dāng)t＝2.5時(shí)，△ABP≌△DCP，根據(jù)三角形全等的條件可得當(dāng)BP＝CP時(shí)，再加上AB＝DC，∠B＝∠C可證明△ABP≌△DCP；
（3）此題主要分兩種情況①當(dāng)BA＝CQ，PB＝PC時(shí)，再由∠B＝∠C，可得△ABP≌△QCP；②當(dāng)BP＝CQ，AB＝PC時(shí)，再由∠B＝∠C，可得△ABP≌△PCQ，然后分別計(jì)算出t的值，進(jìn)而得到v的值．
解：（1）點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/秒的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，BP＝2t，
則PC＝（10﹣2t）cm；
故答案為：（10﹣2t）；
（2）當(dāng)t＝2.5時(shí)，△ABP≌△DCP，
∵當(dāng)t＝2.5時(shí)，BP＝2.5×2＝5，
∴PC＝10﹣5＝5，
∵在△ABP和△DCP中，
，
∴△ABP≌△DCP（SAS）；
（3）①如圖1，當(dāng)BA＝CQ，PB＝PC時(shí)，再由∠B＝∠C，可得△ABP≌△QCP，

∵PB＝PC，
∴BP＝PC＝BC＝5，
2t＝5，
解得：t＝2.5，
BA＝CQ＝6，
v×2.5＝6，
解得：v＝2.4（秒）．
②如圖2，當(dāng)BP＝CQ，AB＝PC時(shí)，再由∠B＝∠C，可得△ABP≌△PCQ，
∵AB＝6，
∴PC＝6，
∴BP＝10﹣6＝4，
2t＝4，
解得：t＝2，
CQ＝BP＝4，
2v＝4，
解得：v＝2；
綜上所述：當(dāng)v＝2.4秒或2秒時(shí)△ABP與△PQC全等．
【點(diǎn)撥】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形全等的條件，找準(zhǔn)對應(yīng)邊．

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