專題18.11 《平行四邊形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識(shí)講解）-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題18.11 《平行四邊形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它們之間的關(guān)系.2. 探索并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的有關(guān)性質(zhì)和常用判別方法, 并能運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算.3. 掌握三角形中位線定理.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平行四邊形1．定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2．性質(zhì)：（1）對(duì)邊平行且相等；        （2）對(duì)角相等；鄰角互補(bǔ)；        （3）對(duì)角線互相平分；        （4）中心對(duì)稱圖形.3．面積：4．判定：邊：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；            （2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；            （3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．         角：（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；            （5）任意兩組鄰角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形．    邊與角：（6）一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；     對(duì)角線：（7）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.要點(diǎn)詮釋：平行線的性質(zhì)：（1）平行線間的距離都相等；（2）等底等高的平行四邊形面積相等.要點(diǎn)二、矩形1．定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四個(gè)角都是直角；（3）對(duì)角線互相平分且相等；        （4）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：４．判定：（1) 有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.         （2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.        （3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.要點(diǎn)詮釋：由矩形得直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）直角三角形中，30度角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半．要點(diǎn)三、菱形1. 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；         （2）四條邊相等；         （3）兩條對(duì)角線互相平分且垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；（4）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：4．判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊相等的四邊形是菱形.要點(diǎn)四、正方形1. 定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.2．性質(zhì)：（1）對(duì)邊平行；        （2）四個(gè)角都是直角；（3）四條邊都相等；（4）對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線平分對(duì)角；（5) 兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；（6）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)＝×對(duì)角線×對(duì)角線4．判定：（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（3）對(duì)角線相等的菱形是正方形；（4）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；（5）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形.【典型例題】類型一、平行四邊形 1 如圖，平行四邊形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，且BE=DF，連接EF交BD于O．（1）求證：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延長(zhǎng)EF交AD的延長(zhǎng)線于G，當(dāng)FG=1時(shí)，求AE的長(zhǎng)．【答案與解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和AAS證明△OBE≌△ODF，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；
（2）證出AE=GE，再證明DG=DO，得出OF=FG=1，即可得出結(jié)果．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，
∴∠OBE=∠ODF．
在△OBE與△ODF中，

∴△OBE≌△ODF（AAS）．
∴BO=DO．
（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC，
∴∠GEA=∠GFD=90°．
∵∠A=45°，
∴∠G=∠A=45°．
∴AE=GE
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠GDO=90°．
∴∠GOD=∠G=45°．
∴DG=DO，
∴OF=FG=1，
由（1）可知，OE=OF=1，
∴GE=OE+OF+FG=3，
∴AE=3．【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題（1）的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】已知在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，且AD=DE．連接AC交DE于點(diǎn)F，作DG⊥AC于點(diǎn)G．（1）如圖1，若，AF=，求DG的長(zhǎng)；（2）如圖2，作EM⊥AC于點(diǎn)M，連接DM，求證：AM﹣EM=2DG．【答案與解析】（1）設(shè)EF=x，DF=2x，則DE=EF+DF=3x=AD，根據(jù)勾股定理求出x，在△ADF中，根據(jù)三角形面積公式求出即可；（2）過(guò)D點(diǎn)作DK⊥DM交AC于點(diǎn)K，求出為等腰直角三角形，求出MK=2DG即可．（1）解：設(shè)EF=x，， DF=2x，則DE=EF+DF=3x=AD在Rt中，AD2+DF2=AF2，，∵x＞0，∴x=1，∴EF=1，DF=2，AD=3，∴由三角形面積公式得：即（2）證明：過(guò)D點(diǎn)作DK⊥DM交AC于點(diǎn)K，∵∠1+∠KDF=90°，∠2+∠KDF=90°，∴∠1=∠2，∵∠3+∠4=90°，∠5+∠EFM=90°，又∵∠4=∠EFM，∴∠3=∠5，在△ADK和△EDM中，∴（ASA），∴DK=DM，AK=EM，∴為等腰直角三角形，∵DG⊥AC，∴MK=2DG，∴AM﹣EM=AM﹣AK=MK=2DG．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．2、如圖，已知，在中，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BE的平行線與線段ED的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，連結(jié)AE．（1）求證：AF＝CE．（2）連結(jié)CF，交邊AB于點(diǎn)G，如果CF⊥AB，求證：．【答案與解析】（1）先根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得證；（2）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可得證．（1）證明：點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，，，，在和中，，，；（2）解：由（1）知，，，四邊形AECF是平行四邊形，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】已知：如圖，在中，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，交邊于點(diǎn)．連接，．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）若，求證：四邊形是矩形．【答案與解析】（1）根據(jù)題意可得到，從而再證明即可得出結(jié)論；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可以得到，，再根據(jù)推出，從而得到即可得出結(jié)論．（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，即，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵四邊形是平行四邊形，又∵，∴當(dāng)時(shí)，則有，∴，，∴四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定，熟練掌握基本的性質(zhì)定理以及判定方法是解題關(guān)鍵．類型二、矩形 3、如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿著對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在處，交AD于點(diǎn)E．（1）試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．（2）若，，求AE的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，又因?yàn)?/span>，可知，即推出，所以，為等腰三角形．（2）設(shè)，則，在中根據(jù)勾股定理列出等式，解出x即可．【答案與解析】（1）是等腰三角形，理由如下：由折疊得：，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．（2）解：設(shè)，則，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴在中，，即，解得：，∴．【總結(jié)升華】本題考查翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定以及勾股定理．根據(jù)翻折的性質(zhì)間接證明出是解答本題的關(guān)鍵．【變式】把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，折痕為EF．若AB ＝ 3，BC ＝ 5，則重疊部分△DEF的面積是__________．【答案】5.1.提示：由題意可知BF＝DF，設(shè)FC＝，DF＝5－，在Rt△DFC中，，解得＝，BF＝DE＝3.4，則＝×3.4×3＝5.1.類型三、菱形 4．如圖，在菱形中，為對(duì)角線上一點(diǎn)，且，連接．（1）求證：．（2）當(dāng)于點(diǎn)，時(shí)，求菱形的邊長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)SAS證明△ADE≌△CDE，從而得到AE＝CE，再根據(jù)AE＝DE，再得出結(jié)論；（2）連接AC交BD于H，由菱形的性質(zhì)可得AB=AD，AC⊥BD，BH=DH，AH=CH，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求∠DAE=∠ADE=∠ABD=30°，利用直角三角形的性質(zhì)可求解即可．（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝DC，∠ADE＝∠CDE，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝CD，又∵AE=DE，∴；（2）解：如圖，連接AC交BD于H，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，BH=DH，AH=CH，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AE═ED=1，
∴∠DAE=∠EDA，
∴∠DAE=∠ADE=∠ABD，
∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD=180°，
∴∠DAE=∠ADE=∠ABD=30°，
∴BE=2AE=2，
∴BD=BE+DE=3，
∴BH=DH=，
∵∠ABD=30°，AH⊥BD，
∴AB=2AH，BH= AH，
∴AH=，AB=2AH=，
∴菱形的邊長(zhǎng)為．【點(diǎn)撥】考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用其性質(zhì)．舉一反三：【變式】如圖，四邊形ABCD是菱形，CE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于F，求證：CE=DF．證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD，BA∥CD，
∵CE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于F，
∴∠CEB=∠CFD=90°，
∵BA//CD，，
∴∠B=∠DCF，
在△BEC和△CFD中，
，
∴△BEC≌△CFD（AAS），
∴CE=DF．【點(diǎn)撥】此題考查了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．熟記菱形的各種性質(zhì)是證題的關(guān)鍵．類型四、正方形5、如圖，四邊形是正方形，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，，．求證：四邊形是正方形．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正方形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【答案與解析】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠FDC＝∠DCF＝45°，∵∠E＝90°，ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，∴四邊形DFCE是矩形，∵DE＝CE，∴四邊形DFCE是正方形．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG．觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】AE⊥CG，證明見(jiàn)解析．【思路點(diǎn)撥】由于四邊形ABCD是正方形，那么AD=CD，∠ADC=90°，同理DG=DE，∠GDE=90°，可知∠ADC=∠GDE，再根據(jù)等式性質(zhì)可得∠CDG=∠ADE，利用SAS可證△CDG≌△ADE，于是∠CGD=∠AED，由于∠GDE=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠2+∠AED=90°，而∠1=∠2，根據(jù)等式性質(zhì)可得∠1+∠CGD=∠2+∠AED=90°，易證AE⊥CG．解：猜想：AE⊥CG，證明如下：如圖，設(shè)AE與CG的交點(diǎn)為點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，同理DG=DE，∠GDE=90°，∴∠ADC=∠GDE，∴∠ADC+∠ADG=∠GDE+∠ADG，∴∠CDG=∠ADE，在和中，，∴，∴∠CGD=∠AED，∵∠GDE=90°，∴∠2+∠AED=90°，∵∠1=∠2，∴∠1+∠CGD=∠2+∠AED=90°，∴∠GHE=90°，∴AE⊥CG．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確找出兩個(gè)全等三角形是解題關(guān)鍵．【變式2】如圖，四邊形ABCD是正方形，M是邊BC上一點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，AE平分∠DAM．（1）∠AMB=2∠MAE；（2）求證：AM=AD+MC；（3）若AD=4，求AM的長(zhǎng)．
【分析】（1）由AD∥BC，得，∠DAM＝∠AMB；又因AE平分∠DAM，得∠MAE＝∠DAM，等量代換得∠AMB＝2∠MAE；
（2）因AE平分∠DAM，得ED＝EF，AD＝AF，CD的中點(diǎn)，可證明Rt△EFM≌Rt△ECM，易得FM＝CM；即可證明AM＝AD＋MC；
（3）由（2）和AD＝4，在Rt△ABM中，由勾股定理可求得AM的長(zhǎng)．解：（1）∵AD∥BC，∴∠DAM＝∠AMB，
∵AE平分∠DAM，
∴∠MAE＝∠DAM，
∴∠AMB＝2∠MAE；
（2）如圖2所示：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AM交AM于點(diǎn)F，連接EM．

∵AE平分∠DAM，DE⊥AD，DF⊥AM，
∴ED＝EF，
又∵E是CD的中點(diǎn)，
∴ED＝EC，
∴EF＝EC，AD＝AF
在Rt△EFM和Rt△ECM中，
∴Rt△EFM≌Rt△ECM（HL）
∴FM＝MC，
又∵AM＝AF＋FM，
∴AM＝AD＋MC；
（3）設(shè)MC＝a，則FM＝a，
∵AD＝AF＝AB＝BC，
∴AD＝AF＝AB＝BC＝a，
∴AM＝AF＋FM＝4＋a，
又∵BC＝BM＋MC，
∴BM＝4?a，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：
AM2＝AB2＋BM2
∴（4＋a）2＝（4?a）2＋42
解得：a＝1，
∴AM＝4＋a＝4＋1＝5．
【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用，重點(diǎn)掌握判定兩個(gè)三角形全等的方法，難點(diǎn)是作垂線，構(gòu)建角平分線和兩個(gè)三角形全等，以及證明不在同一條直線上的兩條線段的和等于另一條線段方法是將該兩條線段轉(zhuǎn)換到同一條直線上．

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