?專題 18.12 平行四邊形幾何模型專題-角平分線（專項練習(xí)）
一、單選題
1．如圖，在平行四邊形中，，平分交邊于點E，且，則的長為（ ）

A．2 B．6 C． D．3
2．如圖，在?ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點E，若BF＝6，AB＝5，則AE的長為（　?。?br />
A．4 B．6 C．8 D．10
3．在平行四邊形中，的角平分線與邊所在直線交于點，若，，則平行四邊形的周長為（ ）
A．22 B．16 C．22或18 D．24或16
4．已知四邊形是平行四邊形，以點為圓心作弧，分別交，于點，再分別以，為圓心，以大于為半徑作弧，交于點，射線，交于點，若，，則的長為（ ）

A．1 B． C． D．2
5．□ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E， 且∠ADC＝60°，AB＝BC，連接OE．

有下列結(jié)論：①∠CAD=30°； ②S□ABCD = AB·AC ； ③OB=AB； ④OE=AB．其中成立的有（ ）．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6．如圖，在平行四邊形中，已知，，平分交邊于點，則等于（ ）

A． B． C． D．
7．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AF交CD于點E，交BC的延長線于點F．連接BE，若BE⊥AF，EF=2，，則的長為（ ）

A． B． C． D．
8．如圖在中，的角平分線交于，若，，則平行四邊形的周長為（ ）

A． B． C． D．
9．在平行四邊形ABCD中，∠A的平分線把BC邊分成長度是3和4的兩部分，則平行四邊形ABCD周長是（ ）
A．22 B．18 C．22或20 D．18或22
10．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，∠ABE=∠AEB，AE∥DF，DC是∠ADF的角平分線．下列說法正確的是（　?。?br /> ①BE=CF ②AE是∠DAB的角平分線 ③∠DAE+∠DCF=120°．

A．① B．①② C．①②③ D．都不正確
11．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ADC的角平分線交邊AB于點E，連接CE，若∠ADE＝25°，∠BCE＝15°，則∠BEC的度數(shù)為（ ）

A．115° B．120° C．125° D．130°


二、填空題
12．如圖，在ABCD中，已知AD＝36，AB＝24，∠BAD的角平分線AE交BC邊于點E，則CE的長為_____．

13．如圖，是的中位線，平分，交于，若，，則__________．

14．如圖，在平行四邊形中，，平分交于點，交于點，則∠1＝______度．

15．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝6，以點B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交BA、BC于點P、Q，再分別以P、Q為圓心，以大于PQ的長為半徑作弧，兩弧在∠ABC內(nèi)交于點M，連接BM并延長交AD于點E，則DE的長為________．

16．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的角平分線交AD于點E，交CD的延長線于點F，則DE＝______cm．

17．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AD＝6，AB＝4，∠BAD的角平分線AE交BC邊于點E，則CE的長為________．

18．如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD交BC于點E，連接AC．若AB＝AE，∠EAC＝20°，則∠ACD的度數(shù)為 ______．

19．如圖，D是ABC的邊BC的中點，AE平分∠BAC，BE⊥AE于點E，且AB＝10cm，DE＝2cm，則AC的長為___cm．

20．在中，AE平分，交CD邊于E，，，則的周長為________．
21．在平行四邊形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于點F，CE平分∠BCD，交AD于點E，AB=6，EF=2，則BC的長為_____．
22．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=8，∠ABC的角平分線交AD于E，F(xiàn)在AE上，且AF=3，BE與CF交于點G，則EFG與BCG面積之比是_____．

23．平行四邊形ABCD中，∠ABC的角平分線BE將邊AD分成長度為5cm和6cm的兩部分，則平行四邊形ABCD的周長為_____cm．
24．在平行四邊形ABCD中，AD=13，BAD和ADC的角平分線分別交BC于E，F(xiàn)，且EF=6，則平行四邊形的周長是____________________
25．如圖，在平行四邊形中，，，和的角平分線分別交于點E和F，若，則____________

26．如圖，點是平行四邊形邊上一點，將沿直線翻折，點的對應(yīng)點恰好落在的角平分線上，若，，，則______，______．

三、解答題
27．已知：如圖所示，在平行四邊形ABCD中DE、BF分別是∠ADC和∠ABC的角平分線，交AB、CD于點E、F
（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求平行四邊形ABCD的面積．




28．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E．
（1）求證：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，連接AC、DE，求證：點C是線段BE的中點．



29．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是BC上一點，∠DAE的角平分線AF交CD于點G，交BC的延長線于點F，連接EG，△AGE的面積為S．
（1）求證：AE＝EF；
（2）若EG⊥AF，試探究線段AE，EC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，若∠AEG＝∠AGD，AB＝12，AD＝9，求S的值．

30．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AD＞AB．
（1）作∠BCD的角平分線交AD于點E，在BC上截取CF＝CD（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）所作的圖形中，連接EF，猜想四邊形CDEF的形狀，并證明你的結(jié)論．

































參考答案
1．D
【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AB=DC，AD∥BC，推出∠DEC=∠BCE，求出∠DEC=∠DCE，推出DE=DC=AB，得出AD=2DE即可．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC=AB，
∵AD=2AB=2CD，CD=DE，
∴AD=2DE，
∴AE=DE=3，
∴DC=AB=DE=3，
故選D．
【點撥】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，角平分線定義，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出DE=AE=DC．
2．C
【分析】先證△ABO≌△AFO得到OB的長度，再用勾股定理求AO的長，再證△AOF≌△EOB，從而得到AE=2AO，即可求得AE的長．
【詳解】
解：設(shè)AG與BF交點為O，如圖所示：
∵AB=AF,AG平分∠BAD，AO=AO,
∴△ABO≌△AFO,
∴BO=FO，∠AOB=∠AOF=90o，
∵BF＝6
∴BO=FO=BF＝3
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
，
在?ABCD中，AF∥BE,
∴∠FAO=∠BEO
又∵BO=FO，∠AOB=∠AOF
∴△AOF≌△EOB,
∴AO=EO,
∴AE=2AO=8，

故選C．
【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理及用尺規(guī)作圖的方法畫角平分線．
3．C
【分析】分兩種情況討論，當(dāng)在邊上時，當(dāng)在直線上時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得，，，推出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)的出，推出，求出，再根據(jù)平行四邊形周長求出結(jié)論即可．
【詳解】
解：如圖，當(dāng)在邊上時，

平行四邊形，
，，，
，
的角平分線與邊所在直線交于點，
，
，
又，
，
，
，
平行四邊形的周長是：，
如圖，當(dāng)在直線上時，

同理可得：
平行四邊形的周長是：，
故選：
【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的角平分線，等腰三角形的判定等知識，綜合運用這些知識進行計算是解題的關(guān)鍵．
4．D
【分析】利用基本作圖得到，在根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，接著證明，則，過點D作于M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到,然后利用含的直角三角形三邊的關(guān)系即可得．
【詳解】
解：由作圖的方法可得AH平分，
∴，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
如圖所示，過點D作于M，

∴，
∴,
∴，
故選D．
【點撥】本題考查了角平分線，平行四邊形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記角平分線，平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．
5．C
【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根據(jù)AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等邊三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正確；由于AC⊥AB，得到S?ABCD=AB?AC，故②正確，根據(jù)AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③錯誤；根據(jù)三角形的中位線定理得到OE=AB，故④正確．
【詳解】
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等邊三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=BC，
∴AE=BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正確；
∵AC⊥AB，
∴S?ABCD=AB?AC，故②正確，
∵AB=BC，OB=BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③錯誤；
∵CE=BE，CO=OA，
∴OE=AB，
故④正確．
故①②④正確，共3個．
故選C
【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的面積公式，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．
6．B
【分析】由平行四邊形對邊平行根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，而DE平分，進一步推出，在同一三角形中，根據(jù)等角對等邊得，則可求解．
【詳解】
解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
即．
故選：B．
【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用及等腰三角形的判定，理解其性質(zhì)及等腰三角形的判定是解題關(guān)鍵．
7．D
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可證，在中，由勾股定理可求，即可求解．
【詳解】
解：四邊形是平行四邊形，
，
，
平分，
，
，
，
，，，
，
，
故選：D．
【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是：證明．
8．B
【分析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，即可得到AD//BC，即∠AEB=∠CBE，再根據(jù)BE是∠ABC的角平分線，即可得到∠ABE=∠CBE=∠AEB，即AB=AE，從而可以求解．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD=3，
∴AD//BC，AB=CD=3，BC=AD，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE是∠ABC的角平分線，
∴∠ABE=∠CBE=∠AEB，
∴AB=AE=3，
∵ED=2，
∴AD=AE+DE=5，
∴四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=2（AB+AD）=16，
故選B.
【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進判定△ABE是等腰三角形．
9．C
【分析】利用平行四邊形對邊平行得出∠DAE=∠AEB，利用角平分線的定義得出∠BAE=∠DAE，進而得到∠BAE=∠BEA，利用等角對等邊，得出AB=BE，通過對BE和EC長度的討論，利用周長的定義逐個計算即可．
【詳解】
解：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，則∠DAE=∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，BC=BE+EC，
如圖，

①當(dāng)BE=3，EC=4時，
平行四邊形ABCD的周長為：2（AB+BC）=2（3+3+4）=20．
②當(dāng)BE=4，EC=3時，
平行四邊形ABCD的周長為：2（AB+BC）=2（4+4+3）=22．
故選:C．
【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定之等角對等邊等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是求出AB的長，本題涉及到的思想為分類討論的思想．
10．C
【解析】
試題分析：可證明四邊形AEFD為平行四邊形，可求得BC=EF，可判斷①；結(jié)合角平分線的定義和條件可證明△ABE、△CDF為等邊三角形，可判斷②③，可得出答案．
試題解析：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
又∵AE∥DF，
∴四邊形AEDF為平行四邊形，
∴EF=AD，
∴BC=EF，
∴BE=CF，
故①正確；
∵DC平分∠ADF，
∴∠ADC=∠FDC，
又∵AD∥EF，
∴∠ADC=∠DCF，
∴∠DCF=∠FDC，
∴DF=CF，
又∵AE=DF，
∴AE=CF=BE，
又∵∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴△ABE和△CDF為等邊三角形，
∴∠BAE=∠B=∠DAE=∠DCF=60°，
∴AE平分∠DAB，∠DAE+∠DCF=120°，
故②③正確；
故選C．
考點：平行四邊形的性質(zhì)．
11．A
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得∠ADC＝2∠ADE＝50°＝∠B，由三角形內(nèi)角和定理可求∠BEC的度數(shù)．
【詳解】
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ADC＝∠B，
∵DE平分∠ADC
∴∠ADC＝2∠ADE＝50°＝∠B
∴∠BEC＝180°﹣∠B∠﹣∠BCE＝115°
故選A．
【點撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題關(guān)鍵.
12．12
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得，即可得，由角平分線的定義可得，
進而可得，結(jié)合已知條件根據(jù)即可求得．
【詳解】
如圖，

四邊形是平行四邊形，
，
，
是∠BAD的角平分線，
，
，
，
．
故答案為：．
【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．
13．3
【分析】利用三角形中位線定理可得EF＝4，即可求出DE=3，然后證明BE=DE即可求解．
【詳解】
解：∵EF是△ABC的中位線，
∴EF∥BC，，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED，
∵DF＝1，
∴DE=EF-DF=3，
∴BE＝3，
故答案為：3．
【點撥】本題考查三角形的中位線定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．
14．50
【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)，得，求得，再利用角平分線定義求，利用平行線性質(zhì)，即可找到∠1與關(guān)系，即可得到答案．
【詳解】
解：∵四邊形是平行四邊形，
∴．
∴．
∵平分
∴
∵
∴
∵
∴
故填：50．
【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是通過平行線的性質(zhì)找到角與角之間的關(guān)系．
15．2
【分析】先根據(jù)題意得到BE為∠ABC的平分線，再根據(jù)平行四邊形的定義和性質(zhì)得到AD∥BC，AD=BC=6，進而得到AB=AE=4，即可求出DE=2．
【詳解】
解：由尺規(guī)作圖得，BE為∠ABC的平分線，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC=6，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=4，
∴DE=AD-AE=2．
故答案為：2
【點撥】本題考查了尺規(guī)作圖-作已知角的角平分線，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟知作已知角的角平分線做法和平行四邊形、等腰三角形性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
16．3
【分析】由題意利用平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，進而得出∠AEB=∠CBF，再利用角平分線的性質(zhì)得出∠ABF=∠CBF，進而得出∠AEB=∠ABF，即可得出AE的長進而即可得出答案．
【詳解】
解：∵在平行四邊形ABCD中，
∴AD//BC，
∴∠AEB＝∠CBF，
∵∠ABC的角平分線交AD于點E，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠AEB＝∠ABF，
∴AB＝AE，
∵AB＝4cm，AD＝7cm，
∴DE＝3cm．
故答案為：3．
【點撥】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，先得出∠AEB=∠ABF是解題的關(guān)鍵．
17．2
【分析】過點作，證明四邊形是菱形，從而求得，根據(jù)已知條件即可求得
【詳解】
如圖，過點作

則

四邊形是平行四邊形
AE平分∠BAD



四邊形是菱形
AD＝6，AB＝4

四邊形是平行四邊形


故答案為：
【點撥】本題考查了四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，證明四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵．
18．80°
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，AB∥CD，再由平行線的性質(zhì)和角平分線得出∠DAE＝∠AEB，∠ACD＝∠BAC，∠BAE＝∠DAE，根據(jù)AB＝AE得出∠ABE＝∠AEB，由等量代換得出∠ABE＝∠AEB＝∠BAE，根據(jù)等邊三角形的判定得到△ABE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠BAE＝60°，由∠EAC＝20°可得∠ACD＝∠BAC＝80°．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ACD＝∠BAC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠BAE，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠BAE＝60°，
∵∠EAC＝20°，
∴∠ACD＝∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝60°+20°＝80°．
故答案為：80°．
【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，等邊對等角，掌握以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
19．6
【分析】延長、交于點，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形中位線定理計算即可．
【詳解】
解：延長、交于點，

∵BE⊥AE
∴∠AEB=∠AEF=90°
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
故答案為：6．
【點撥】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中位線等于第三邊的一半．
20．16
【分析】首先證明DA＝DE，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解決問題．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BA∥CD，AB＝CD，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝AD＝3，
∴CD＝CE＋DE＝2＋3＝5，
∴?ABCD的周長＝2×（5＋3）＝16，

故答案為：16．
【點撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
21．10或14或10
【分析】利用BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，以及平行關(guān)系，分別求出、，通過和是否相交，分兩類情況討論，最后通過邊之間的關(guān)系，求出的長即可．
【詳解】
解： 四邊形ABCD是平行四邊形，
，，，
，，
BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，
，，
，，
由等角對等邊可知：，，
情況1：當(dāng)與相交時，如下圖所示：

，
，
，
情況2：當(dāng)與不相交時，如下圖所示：



，
，
故答案為：10或14．
【點撥】本題主要是考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練運用平行關(guān)系+角平分線證邊相等，是解決本題的關(guān)鍵，還要注意根據(jù)和是否相交，本題分兩類情況，如果沒考慮仔細，會漏掉一種情況．
22．．
【解析】
試題解析：在平行四邊形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵∠ABC的角平分線交AD于E，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=5，
∵AF=3，
∴EF=2，
∵AD∥BC，
∴△EFG∽△BCG，
∴．
考點：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.平行四邊形的性質(zhì)．
23．32或34
【解析】
分析：由平行四邊形ABCD推出∠AEB=∠CBE,由已知得到∠ABE=∠CBE,推出AB=AE,分兩種情況(1)當(dāng)AE=5時,求出AB的長;(2)當(dāng)AE=6時,求出AB的長,進一步求出平行四邊形的周長.
詳解：∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AD=BC,AB=C,AD∥BC, ∴∠AEB=∠CBE,
∵ BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE, ∴∠ABE=∠AEB, ∴AB=AE,
(1)當(dāng)AE=5時,AB=5,
平行四邊形ABCD的周長是2×(5+5+6)=32;
(2)當(dāng)AE=6時,AB=6,
平行四邊形ABCD的周長是2×(5+6+6)=34;
故答案為32cm或34cm.
點睛：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì),等腰三角形的判定,三角形的角平分線等知識點,解此題的關(guān)鍵是求出.用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想.
24．45或33.
【分析】需要分兩種情況進行討論.由于平行四邊形的兩組對邊互相平行，又AE平分∠BAD，由此可以推出所以∠BAE=∠DAE，則BE=AB；同理可得，CF=CD=5．而AB+CD=BE+CF=BC+FE=13+6=19，或 AB+CD=BE+CF=BC-FE=13-6=7由此可以求周長．
【詳解】
解：分兩種情況，（1）如圖，當(dāng)AE、DF相交時：

∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2
∵平行四邊形ABCD中，AD∥BC,BC=AD=13，EF=6
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴AB=BE
同理CD=CF
∴AB+CD=BE+CF=BC+FE=13+6=19
∴平行四邊形ABCD的周長= AB+CD+ BC+AD=19+13×2=45；
（二）當(dāng)AE、DF不相交時：

由角平分線和平行線，同（1）方法可得AB=BE，CD=CF
∴AB+CD=BE+CF=BC-FE=13-6=7
∴平行四邊形ABCD的周長= AB+CD+ BC+AD=7+13×2=33；
故答案為45或33.
【點撥】本題考查角平分線的定義、平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵“角平分線+一組平行線=等腰三角形”．
25．8
【分析】延長使，證得為平行四邊形，再證明△BEG是直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【詳解】
平行四邊形中，平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，，
∴AE=AB=5，DF=DC=5，
∵AD=BC=8，
∴AF=AD-DF=3，
∴EF=AE-AF=2，
延長使，

∴為平行四邊形，
∴，，，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴．
故答案為：8．
【點撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的判定，勾股定理的應(yīng)用；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
26．1
【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，由角平分線性質(zhì)得，即為等邊三角形，即，有折疊性質(zhì)得，延長AD交BG的延長線于H，利用相似三角形的性質(zhì)，設(shè)AE=2x，構(gòu)建方程求解即可．
【詳解】
解：如圖，過點F作于點H，


∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵BG是的角平分線，
∴，
∴為等邊三角形，
∴CG=BC=2，
∴DG=DC-CG=3-2=1，
延長AD交BG的延長線于H，


設(shè)AE=EF=2a，則BE=3-2a，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)BF=x，
∴，
解得或(舍)，
∴；
故答案為：1；．
【點撥】本題考查翻折變換，平行四邊形性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形，相似三角形判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練運用以上知識點．
27．（1）見解析；（2）12
【分析】（1）證明、互相平分，只要證四邊形是平行四邊形；利用兩組對邊分別平行來證明；
（2）根據(jù)等邊三角形的判定定理得到是等邊三角形，求得，得到，過點作于點，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，由勾股定理得到，根據(jù)平行四邊形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】
（1）證明：四邊形是平行四邊形，
．
又，分別是，的平分線，
．
，
，
，
，
，，
四邊形是平行四邊形；
（2）解：，AB//CD，
，
DE是∠ADC的角平分線，
，
為等邊三角形，
，
，
，
過點作于點，

，
，
在中
，
，
，
，
在中，，，
，
，
平行四邊形的面積．
【點撥】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證得是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
28．（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB=CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DAE=∠AEB，求出∠BAE=∠AEB，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AF=EF，求出△ADF≌△ECF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AD=CE，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC，即可得到BC=CE，從而得出結(jié)論．
【詳解】
證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB，
∴BE=CD；
（2）∵BE=AB，BF平分∠ABE，
∴AF=EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴AD=CE，
又∵AD=BC
∴BC=CE，
∴點C是線段BE的中點．
【點撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定和平行線的性質(zhì)等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．
29．（1）見解析；（2）AE=EC+AD，理由見解析；（3）39
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可推出∠DAG=∠F，再結(jié)合角平分線定義可得出∠DAG=∠EAF，則∠EAF=∠F，即可證明結(jié)論；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得AG=FG，再由全等三角形的判定與性質(zhì)可證得AD=FC，即可推出AE=EC+AD；
（3）由已知角的等量關(guān)系及EG⊥AF可得∠D=90°，由此可證得平行四邊形ABCD是矩形，再利用全等三角形、矩形的性質(zhì)及勾股定理可求出CG=DG=6，EF=13，則可由三角形面積公式求解結(jié)果．
【詳解】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∴∠DAG=∠F．
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAG=∠EAF．
∴∠EAF=∠F．
∴AE=EF．
（2）解：AE=EC+AD；理由是：
∵AE=EF，EG⊥AF，
∴AG=FG．
∵AD∥BC，
∴∠D=∠FCG．
又∵∠AGD=∠FGC，
∴△AGD≌△FGC．
∴AD=FC．
∴EF=EC+FC=EC+AD．
∴AE=EC+AD．
（3）解：∵EG⊥AF，
∴∠AGE=90°．
∴∠AEG+∠EAG=90°．
∵∠DAG=∠EAG，∠AEG＝∠AGD，
∴∠AGD+∠DAG=90°．
∴∠D=90°．
∴平行四邊形ABCD是矩形．
∴∠B=∠BCD=90°，CD=AB=12，BC=AD=9．
∵△AGD≌△FGC，
∴CG=DG=6，CF=AD=9．
設(shè)CE=x，則EF=9+x=AE，BE=9-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：122+（9-x）2=（9+x）2，
解得x=4，
∴EF=9+x=13．
∵AG=FG，
∴S=S△EFG=EF?CG=×13×6=39．
【點撥】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形與矩形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識點并能靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
30．
（1）見解析（2）見解析
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．
（2）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．
【小題1】
解：如圖，射線CE，線段CF即為所求．

【小題2】
結(jié)論：四邊形CDEF是菱形．
理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥CB，
∴∠DEC=∠ECF，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠ECF，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD，
∵CF=CD，
∴DE=CF，
∵DE∥CF，
∴四邊形CDEF是平行四邊形，
∵CD=CF，
∴四邊形CDEF是菱形．
【點撥】本題考查作圖-基本作圖，菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．

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