專題17.6  《勾股定理》全章復(fù)習(xí)與鞏固（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．以下列各組數(shù)為三角形的三條邊長(zhǎng)，其中能作成直角三角形的是（    ）A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，， D．2，，32．如圖所示，一場(chǎng)暴雨過(guò)后，垂直于地面的一棵大樹在距地面5米的C處折斷，樹尖B恰好碰到地面，經(jīng)測(cè)量樹尖B與樹樁A相距12米，則大樹折斷前高為（　　　）A．13米 B．17米 C．18米 D．22米3．如圖，兩個(gè)較大正方形的面積分別為225，289，則字母A所代表的正方形的面積為（　?。?/span>A．84 B．64 C．48 D．464．在中，，，，AD平分交BC于點(diǎn)D，那么點(diǎn)D到AB的距離是（    ）A．4.8 B．4 C．3 D．5．如圖，在中，是的角平分線，于點(diǎn)，，，，則長(zhǎng)是（　?。?/span>A．1 B． C． D．26．如圖，為修鐵路需鑿?fù)ㄋ淼?/span>，測(cè)得，，，若每天鑿，則把隧道鑿?fù)ㄐ枰ā　　。?/span>A．天 B．天 C．天 D．天7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，0）和（0，3），則這兩點(diǎn)之間的距離是（　　）A． B． C．13 D．58．如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在邊BC上，AD=BD，DE平分∠ADB交AB于點(diǎn)E．若AC=12，BC=16，則AE的長(zhǎng)為（　　　）A．6 B．8 C．10 D．129．若實(shí)數(shù)、滿足，且、恰好是的兩條邊長(zhǎng)，則第三條邊長(zhǎng)為（    ）．A．5 B． C．5或 D．以上都不對(duì)10．如圖，，，若，，則是   A．3 B．4 C．5 D．611．如圖，設(shè)每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都為1，則圖中以小方格頂點(diǎn)為端點(diǎn)且長(zhǎng)度為的線段有（ ）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條12．如圖，三角形紙片ABC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，把△ABD沿著AD翻折，得到△AED，DE與AC交于點(diǎn)G，連接BE交AD于點(diǎn)F．若DG=GE，AF=3，FD=1，△ADG的面積為2，則點(diǎn)D到AB的距離為（　　　）A． B． C． D．13．在△ABC中，BC=a，AB=c，AC=b，則不能作為判定△ABC是直角三角形的條件是（    ）．A．∠A=∠B-∠C B．∠A：∠B：∠C=2：5：3 C．a：b：c=7：24：25????????????? D．a：b：c=4：5：614．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，連接CF，則CF的長(zhǎng)為（    ）A．3.6 B．2.4 C．4 D．3.215．如圖，在中，，，，平分交于D點(diǎn)，E，F分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（    ）A． B． C．3 D．  二、填空題16．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上，則∠CAB+∠CBA=____°．17．在直角三角形中，已知兩條直角邊的長(zhǎng)度分別為和，則斜邊長(zhǎng)為__________．18．如圖由于臺(tái)風(fēng)的影響，一棵樹在離地面3m處折斷，樹頂落在離樹干底部4m處，則這棵樹在折斷前（不包括樹根）長(zhǎng)度是___________．19．如圖所示，一棵大樹折斷后倒在地上，則大樹沒(méi)折斷前的高度的是________米．20．等腰中，于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為______．21．如圖，要為一段高5m，長(zhǎng)13m的樓梯鋪上紅地毯，至少需要紅地毯______m．22．如上圖，在中，，將折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，若AC=6，BC=8，則線段CD的長(zhǎng)為______．23．如圖，在中，點(diǎn)、、分別在、、上，且，，，，，則______度．24．如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，若AB＝3，BC＝5，CD＝6，則AD＝_______．25．如圖，在中，，，的垂直平分線分別交，于，，，則的長(zhǎng)為_____．26．如圖，在中，，，，平分，，垂足為，則__________． 三、解答題27．如圖，在銳角△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AD上，DE=DC，BE=AC，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使FM=EF，連結(jié)CM．（1）求證：△BDE≌△ADC；（2）求證：AC⊥MC；（3）若AC=m，則點(diǎn)A、點(diǎn)M之間的距離為　　（用含m的代數(shù)式表示）．28．已知長(zhǎng)方形紙片ABCD，將長(zhǎng)方形紙片按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF．（1）△BEF是等腰三角形嗎？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若AB=4，AD=8，求BE的長(zhǎng)．29．如圖，已知四邊形ABCD中，AB=24，AD=15，BC=20，CD=7，∠ADB+∠CBD=90°．（1）在BD的上方作△A'BD，使△A'BD≌△ADB（點(diǎn)A與點(diǎn)不重合）（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求四邊形ABCD的面積．30．已知某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，現(xiàn)計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．（1）若每平方米草皮需要200元，問(wèn)要多少投入？（2）若BE⊥DC，垂足為E，求BE的長(zhǎng)．
參考答案1．解：A、∵22＋32＝13≠42＝16，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵42＋52＝41≠62＝36，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵12+=3=，此三角形是直角三角形；D、∵22＋＝6≠42＝16，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．2．解：Rt△ABC中，AC=5米，AB=12米，
由勾股定理，得：米，∴樹的高度為：AC+BC=18米，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確運(yùn)用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題的關(guān)鍵．3．解：設(shè)中間直角三角形的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且a2=225，c2=289，由勾股定理得b2=c2﹣a2=289﹣225=64，∴字母A所代表的正方形的面積為b2=64，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用、正方形的面積，熟練掌握勾股定理是解答的關(guān)鍵．4．解：如圖，過(guò)作于，  AD平分， 故選：【點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理逆定理的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．解：∵于點(diǎn)，，，∴ BD=2DE，設(shè)DE=x，則BD=2DE=2x，∴ ，∴ ，解得：作于點(diǎn)，是的角平分線，，，，∴ ，∴ 在Rt△CDF中，，∴故選：．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．6．解：∵，∴.在中，，，∴，∴隧道鑿?fù)ㄐ枰?/span>（天），∴天才能把隧道鑿?fù)ǎ?/span>故選：．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是正確的計(jì)算的長(zhǎng)度．7．解：∵A（2，0）和B（0，3），∴OA=2，OB=3，∴AB=．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．8．解：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，由勾股定理知：，∵AD=BD，DE平分∠ADB交AB于點(diǎn)E．∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理和等腰三角形三線合一．在直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．9．解：∵，，∴m-3=0，n-4=0，解得m=3，n=4，當(dāng)3、4都是直角三角形的直角邊長(zhǎng)時(shí)，第三邊長(zhǎng)==5；當(dāng)3是直角邊長(zhǎng)，4是斜邊長(zhǎng)時(shí)，第三邊長(zhǎng)=，故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查絕對(duì)值的非負(fù)性及算術(shù)平方根的非負(fù)性，勾股定理，根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性及算術(shù)平方根的非負(fù)性求出m=3，n=4是解題的關(guān)鍵．注意：沒(méi)有明確給出的是直角三角形直角邊長(zhǎng)還是斜邊長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)分情況求解第三邊長(zhǎng)．10．解：在和中，∴△DAB≌△CBA，∴，∵，，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，全等三角形常用的判定方法有SSS、SAS、AAS、ASA、HL等，注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，利用SAS判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，角必須是兩邊的夾角；直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題關(guān)鍵．11．解：∵=，
∴是直角邊長(zhǎng)為2，3的直角三角形的斜邊，
如圖所示，AB，CD，BE，DF的長(zhǎng)都等于；
故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理，找到無(wú)理數(shù)是直角邊長(zhǎng)為哪兩個(gè)有理數(shù)的直角三角形的斜邊長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵．12．解：∵DG=GE ，∴S?ADG= S?AEG=2，∴S?ADE=4，由折疊的性質(zhì)可知：?ABD??ADE，BE⊥AD，∴S?ABD= S?ADE=4，∠AFB=90°，∴，∴BF=2，∴AB=，設(shè)點(diǎn)D到AB的距離為h，則，∴h=8÷=，故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查折疊的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握“等積法”求三角形的高，是解題的關(guān)鍵．13．解：A、∵∠A=∠B-∠C，∴∠A+∠C =∠B，得到∠B=，即△ABC是直角三角形；B、設(shè)∠A=2x，∠B=5x，∠C=3x，故，解得x=，∴∠B=5x=，即△ABC是直角三角形；C、設(shè)a=7x，則b=24x，c=25x，∵，∴，∴△ABC是直角三角形；D、設(shè)a=4x，b=5x，c=6x，∵，∴，∴△ABC不是直角三角形；故選：D．【點(diǎn)撥】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理的逆定理，掌握直角三角形根據(jù)邊或角判定的方法是解題的關(guān)鍵．14．解：連接BF，交AE于點(diǎn)H，如圖：∵是由沿AE折疊得到的，∴BF⊥AE，BE=EF，∵BC=6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BE=EF=CE=3，∵在中，，即：，∴AE=5，∵，解得：，∴，∵BE=EF=CE，∴，，∴，∴是直角三角形，∴，即：，∴解得：．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查矩形性質(zhì)和折疊問(wèn)題，靈活運(yùn)用等面積法和勾股定理是解題關(guān)鍵．15．解：在AB上取一點(diǎn)G，使AG＝AF∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4∴AB=5，∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∴△AEF≌△AEG（SAS）∴FE＝GE，∴要求CE+EF的最小值即為求CE+EG的最小值，故當(dāng)C、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，符合要求，此時(shí)，作CH⊥AB于H點(diǎn)，則CH的長(zhǎng)即為CE+EG的最小值，此時(shí)，，∴CH==，即：CE+EF的最小值為，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線構(gòu)造全等以及線段和差極值問(wèn)題，靈活構(gòu)造輔助線是解題關(guān)鍵．16．解：設(shè)每個(gè)小格邊長(zhǎng)為1，則由圖可知：
∴，∴△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACD=45°，又∠ACD=∠CAB+∠CBA，∴∠CAB+∠CBA=45°，故答案為45．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理逆定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理的逆定理及三角形的外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵．17．解：在直角三角形中，由勾股定理得：斜邊長(zhǎng)．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，注意分清直角邊長(zhǎng)和斜邊長(zhǎng)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．18．解：如圖所示，AB=3m，BC=4m根據(jù)勾股定理可得：AC=m∴這棵樹在折斷前（不包括樹根）長(zhǎng)度是AC＋AB=8m故答案為：8m．【點(diǎn)撥】此題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解決此題的關(guān)鍵．19．解：在直角三角形ABC中，則AB+BC=5+13=18（米）【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，解題關(guān)鍵在于區(qū)分直角邊和斜邊，最后不能忘記計(jì)算AB+BC的和.20．解：如圖，當(dāng)△此時(shí)銳角三角形時(shí)，
，，，，，，，，當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，同法可得，
 故答案為2或18．【點(diǎn)撥】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理求解的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．21．解：根據(jù)勾股定理，樓梯水平長(zhǎng)度為=12米，
則紅地毯至少要12+5=17米長(zhǎng)，故答案為：17．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，是一道實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出直角三角形，難度不大．22．解：折疊，，設(shè)則，在中，由勾股定理得，即解得即故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理，涉及折疊的性質(zhì)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．23．解：∵，，∴，∵，，∴，即在和中∴∴，∵，∴，∴，故答案是：80．【點(diǎn)撥】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和為．24．解：AC⊥BD，在中，①②同理得，③④①+②=③+④即故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．25．解：連接AE，∵ AB=AC，∠A= ，∴ ∠B=∠C=，∵ED垂直平分AB，∴AE=BE ，∠EAD= ，∵BE=3，∴DE=∴，∴AB=AC=2BD=，∵ ∠A= ，∴ ∠EAC= ，∴，故答案為：6．【點(diǎn)撥】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．26．解：在中，，，，，平分，，，在和中，，，，，設(shè)，則，在中，，即，解得，即，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)、直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．27．解：（1），，和都是直角三角形，在和中，，；（2），，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，，由對(duì)頂角相等得：，在和中，，，，即，，又在中，，，即，；（3）如圖，連接AM，
 ，，，，，是直角三角形，，即點(diǎn)A、點(diǎn)M之間的距離為．【點(diǎn)撥】考查了直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．28．解：（1）是等腰三角形，理由如下：四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，，，由折疊的性質(zhì)得：，，是等腰三角形；（2）四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，，由折疊的性質(zhì)得：，設(shè)，則，在中，，即，解得，即BE的長(zhǎng)為5．【點(diǎn)撥】本題考查了長(zhǎng)方形與折疊問(wèn)題、勾股定理、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．29．解：（1）如圖1所示，△A′BD即為所求；
 （2）由（1）中作圖得知：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，連接A′C，如圖2，
∵∠ADB+∠CBD=90°，
∴∠A′BD+∠CBD=90°，
即∠A′BC=90°，
∴A′B2+BC2=A′C2，
∵A′B=15，BC=20，
∴A′C=25，
在△A′CD中，A′D=24，CD=7，
∴A′D2+CD2=576+49=625，
∵A′C2=625，
∴A′D2+CD2=A′C2．
∴△A′DC是直角三角形，且∠A′DC=90°，
∴S四邊形A′BCD＝S△A′BC+S△A′CD ∵S△A'BD=S△ABD，
∴S四邊形ABCD=S四邊形A'BCD=234．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，作圖-復(fù)雜作圖，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．30．（1）解：連接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，∴BD=5在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，即∠DBC＝90°，S四邊形ABCD＝S△BAD+S△DBC?AD?ABDB?BC，4×312×5＝36．所以需費(fèi)用36×200＝7200（元）答：要7200元投入．（2）作BE⊥CD，垂足為E，在Rt△DBC中，由于BD?BCCD?BE，即BE．【點(diǎn)撥】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及勾股定理的逆定理，得出△DBC是直角三角形是解題關(guān)鍵．

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