1．下列說法正確的是（ ）
A．矩形的對角線互相垂直B．菱形的對角線相等
C．正方形的對角線互相垂直且相等D．平行四邊形的對角線相等
2．若正方形的對角線長為2 cm，則這個正方形的面積為（ ）
A．4B．2C．D．
3．如圖，以正方形的邊為邊向正方形外作等邊，與交于點F，則的度數(shù)是（ ）
A．105°B．120°C．135°D．150°
4．下列說法正確的是（ ）
A．矩形的對角線互相垂直平分B．對角線相等的菱形是正方形
C．兩鄰邊相等的四邊形是菱形D．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
5．如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．現(xiàn)將其沿AE對折，使得點B落在邊AD上的點B1處，折痕與邊BC交于點E，則CB1的長為（ ）
A．cmB．cmC．8cmD．10cm
6．下面哪個特征是矩形、菱形、正方形所共有的（ ）
A．對角線互相垂直B．對角線相等C．對角線互相平分D．對角線相等且平分
7．下列性質(zhì)中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形卻不具有的性質(zhì)是（ ）
A．對角線互相垂直B．對角線互相平分
C．對角線長度相等D．一組對角線平分一組對角
8．如圖，在正方形中，為邊上的一點，沿線段對折后，若比大，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
9．已知：如圖，在正方形ABCD外取一點E， 連接AE、BE、DE．過點A作AE的垂線交DE 于點P．若AE=AP=1，PB=．下列結(jié)論：①APD≌△AEB；②點B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+． 其中正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①③④B．①②⑤C．①③④D．①③⑤
10．如圖，正方形的兩邊在坐標軸上，，，點P為OB上一動點，的最小值是（ ）
A．8B．10C．D．
11．如圖，點是中斜邊(不與，重合)上一動點，分別作于點，作于點，連接、，若，，當點在斜邊上運動時，則的最小值是（ ）
A．1.5B．2
C．4.8D．2.4
12．如圖，正方形中，，點E在邊上，且．將沿對折至，延長交邊于點G，連接、．則下列結(jié)論：①；②；③；④，錯誤的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
二、填空題
13．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，∠EAF＝45°，△ECF的周長為4，則正方形ABCD的邊長為_____．
14．如圖，在矩形中，對角線，交于點，要使矩形成為正方形，應(yīng)添加的一個條件是______.
15．正方形的對角線長為，面積為______．
16．如圖，已知正方形的邊長為，點是邊的中點，點是對角線上的動點，則的最小值是_______．
17．如圖，在正方形中，點為對角線一點，若，則的度數(shù)為_____________，的面積為_____________．
18．已知如圖，矩形ABCD的周長為18，其中E、F、G、H為矩形ABCD的各邊中點，若AB=x，四邊形EFGH的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為________．
19．如圖，直線過正方形的頂點，點至直線的距離分別為2和3，則此正方形的面積為__________．
20．如圖，在中，，，以為邊作正方形，連接，則________．
21．如圖，在邊長為的正方形中，E、F分別是邊、上的點．若，，則的長為______．
22．如圖為等邊與正方形的重疊情形，其中、兩點分別在、上，且．若，，則的面積為______．
23．如圖，在斜邊長為1的等腰直角三角形OAB中，作內(nèi)接正方形；在等腰直角三角形中，作內(nèi)接正方形；在等腰直角三角形中，作內(nèi)接正方形；…；依次作下去，則第2020個正方形的邊長是_________．
24．如圖，以的斜邊為邊，向外作正方形，設(shè)正方形的對角線與的交點為O，連接，若，，則的值是__________．
25．如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC和AB上，BE=2，AF=2，BF=4，將△BEF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)，得到△GEH，當點H落在CD邊上時，F(xiàn)，H兩點之間的距離為______．
三、解答題
26．正方形中，對角線、交于點O，E為上一點，延長到點N，使，連接、．
（1）求證：為直角三角形．
（2）若，正方形的邊長為6，求的長．
27．正方形中，點E是上一點，過點E作交射線于點F，連結(jié)．
（1）若，求度數(shù)；
（2）求證：
28．（1）嘗試探究：
如圖1，是正方形的邊上的一點，過點作，交的延長線于．
①求證：；
②過點作的平分線交于，連結(jié)，請?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）拓展應(yīng)用：
如圖2，是正方形的邊上的一點，過點作，交的延長線于，連結(jié)交于，連結(jié)并延長交于，已知，求的長．
參考答案
1．C
【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形、平行四邊形的性質(zhì)進行判斷．
【詳解】
A選項：矩形的對角線不一定互相垂直，故不符合題意；
B選項：菱形的對角線垂直不一定相等，故不符合題意；
C選項：正方形的對角線互相垂直且相等，故符合題意；
D選項：平行四邊形的對角線相等不一定相等，故不符合題意；
故選：C．
【點撥】考查了矩形、菱形、正方形、平行四邊形的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是熟記平行四邊形及特殊的平行四邊形的性質(zhì)．
2．B
【分析】連接BD，利用正方形的面積等于對角線的積的一半計算即可．
【詳解】
如圖，連接BD，

正方形ABCD中，，則BD=AC=2，
正方形的面積為=，
故選B．
3．B
【分析】由正方形和等邊三角形的性質(zhì)得∠BCD =90°，∠DCE=60°，CD=CE= CB，易得△BCE是等腰三角形，求出∠CBE=15°，利用三角形外角的性質(zhì)求出∠AFB的度數(shù)即可．
解：∵四邊形ABCD是正方形，等邊△CDE，
∴∠BCD =90°，∠ACB=45°，∠DCE=60°，CD=CE= CB，
∴∠CBE=∠CEB．
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，
∴∠CBE=15°．
∵∠ACB=45°，
∴∠AFB=∠ACB+∠CBE=60°．
∴∠AFE=120°．
故選：B．
【點撥】本題考查正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形及等邊三角形的性質(zhì)，會運用其性質(zhì)進行一些簡單的轉(zhuǎn)化．
4．B
【分析】根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形，正方形的性質(zhì)與判定分別判別即可．
解：．矩形的對角線相等，不一定互相垂直平分，故說法錯誤；
．對角線相等的菱形是正方形，正確；
．兩鄰邊相等的四邊形不一定是菱形，故說法錯誤；
．對角線互相垂直且相等的四邊形不一定是正方形，故說法錯誤；
故選：．
【點撥】此題主要考查了平行四邊形，矩形，菱形，正方形的性質(zhì)與判定，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．B
【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可以證明四邊形ABEB1為正方形，得到BE＝AB，根據(jù)EC＝BC﹣BE計算得到EC，再根據(jù)勾股定理可求答案．
解：∵∠AB1E＝∠B＝90°，∠BAB1＝90°，
∴四邊形ABEB1為矩形，
又∵AB＝AB1，
∴四邊形ABEB1為正方形，
∴BE＝AB＝6cm，
∴EC＝BC﹣BE＝2cm，
∴CB1＝cm．
故選B．
【點撥】本題考查的是翻折變換、矩形和正方形的判定和性質(zhì)，掌握翻折變換的性質(zhì)及矩形、正方形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
6．C
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)分別分析各個選項，從而得到答案．
【詳解】
解：A、對角線互相垂直，矩形不具有此性質(zhì)，故本選項錯誤；
B、對角線相等，菱形不具有此性質(zhì)，故本選項錯誤；
C、對角線互相平分，正方形、菱形、矩形都具有此性質(zhì)，故本選項正確；
D、對角線相等且平分，菱形不具有此性質(zhì)，故本選項錯誤．
故選C．
【點撥】本題考查矩形、菱形、正方形的對角線的性質(zhì)，注意掌握正方形的對角線垂直平分且相等、矩形的對角線互相平分且相等、菱形的對角線互相垂直平分，正方形、矩形、菱形都具有的特征是對角線互相平分．
7．C
【分析】根據(jù)矩形、正方形和菱形的性質(zhì)，得出結(jié)論即可．
【詳解】
解：A、對角線互相垂直是菱形和正方形具有的性質(zhì)，矩形不一定具有，不符合題意；
B、對角線互相平分是菱形、矩形和正方形共有的性質(zhì)，不符合題意；
C、對角線長度相等是矩形和正方形具有的性質(zhì)，菱形不一定具有，符合題意；
D、一組對角線平分一組對角是菱形和正方形具有的性質(zhì)，矩形不一定具有，不符合題意；
故選：C．
【點撥】
本題考查了矩形、正方形和菱形的性質(zhì)；熟練掌握矩形、正方形和菱形的對角線上的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
8．C
【分析】根據(jù)折疊角相等和正方形各內(nèi)角為直角的性質(zhì)即可求得∠EBF的度數(shù)．
解：∵∠FBE是∠CBE折疊形成，
∴∠FBE=∠CBE，
∵∠ABF-∠EBF=15°，∠ABF+∠EBF+∠CBE=90°，
∴∠EBF=25°，
故選：C．
【點撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，考查了正方形各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，本題中求得∠FBE=∠CBE是解題的關(guān)鍵．
9．D
【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再結(jié)合已知條件利用SAS可證兩三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)，易得∠BEP=90°，即可證；②過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，結(jié)合△AEP是等腰直角三角形，可證△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面積；④連接BD，求出△ABD的面積，然后減去△BDP的面積即可．
【詳解】
解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∴△APD≌△AEB（故①正確）；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED（故③正確）；
②過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又
，（故②不正確）；
④如圖，連接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP=，
又，
，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE=，
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP=S正方形ABCD
⑤∵EF=BF=，
∴在Rt△ABF中，，
∴S正方形ABCD=AB2=4+，（故⑤正確）
故選：D．
【點撥】本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、正方形和三角形的面積公式、勾股定理等知識．
10．C
【分析】先找到點A關(guān)于OB的對稱點C，連結(jié)CD交OB于點P′，當點P運動到P′時PA+PD最短，在Rt△COD中用勾股定理求出CD即可．
【詳解】正方形ABCO，
A、C兩點關(guān)于OB對稱，
連接CD，交OB于，
，
，
當C、P、D三點共線時，取最小值，
，，
，
故選擇：C．
【點撥】本題考查動點問題，掌握正方形的性質(zhì)，與軸對稱的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理，會利用對稱性找對稱點，會利用P、C、D三點一線最短，會用勾股定理求出最短距離是解題關(guān)鍵．
11．C
【分析】由，于點，作于點，可證四邊形是矩形，由矩形的性質(zhì)有MN=BP，要使的最小值就是BP最小，當時，最小利用三角形ABC的面積來求 ．
解：如圖所示：連接，
∵，于點，作于點，
∴四邊形是矩形，
∴MN=BP，
∴的最小值就是BP最小，
，
當時，最小，
∴．
故選擇：C．
【點撥】本題考查三角形內(nèi)接矩形的對角線最短問題，掌握點到直線距離的求法，會利用已知條件證明矩形把所求線段進行轉(zhuǎn)化，會利用勾股定理求邊長，會利用不同方法求面積是解題關(guān)鍵．
12．D
【分析】
根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證Rt△ABG≌Rt△AFG，在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理可證BG=GC；通過證明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行線的判定可得AG∥CF；分別求出S△EGC與S△AFE的面積比較即可；求得∠GAF=45°，∠AGB+∠AED=180°-∠GAF=135°．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD為正方形，將沿對折至，
∴AB=AD=AF=CD=6，∠AFG=∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFG =90°，
∵AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴BG=FG，
∵，
∴，EC=4，設(shè)BG=FG=x，則CG=6-x，
在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得，
解得x=3．
∴BG=3=6-3=CG，①正確；
∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF，②正確；
∵， ，
∴，③正確；
∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE，
又∵∠BAD=90°，
∴∠GAE=45°，
∴∠AGB+∠AED=180°-∠GAE=135°，④錯誤．
故選：D．
【點撥】
本題考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，三角形的面積計算等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．
13．2
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠EAF′=45°，進而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形邊長即可．
解：將△DAF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90度到△BAF′位置，
由題意可得出：△DAF≌△BAF′，
∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，
∴∠EAF′=45°，
在△FAE和△EAF′中 ，
∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF=EF′，
∵△ECF的周長為4，
∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=4，
∴2BC=4，
∴BC=2．
故答案為：2．
【點撥】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出△FAE≌△EAF′是解題關(guān)鍵．
14．（答案不唯一）
【分析】
根據(jù)正方形的判定添加條件即可．
解：添加的條件可以是AB＝BC．
理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，AB＝BC，
∴四邊形ABCD是正方形．
故答案為AB＝BC（答案不唯一）．
【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定的應(yīng)用，能熟記正方形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：有一組鄰邊相等的矩形是正方形，對角線互相垂直的矩形是正方形．此題是一道開放型的題目，答案不唯一，也可以添加AC⊥BD．
15．1
【分析】
根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直，正方形是特殊的菱形，菱形的面積等于對角線乘積的一半進行求解即可．
解：四邊形為正方形，
，，
正方形的面積，
故答案為：1．
【點撥】本題考查正方形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握正方形的對角線相等且垂直，且當四邊形的對角線互相垂直時面積等于對角線乘積的一半，比較容易解答．
16．
【分析】動點問題,找到對稱軸作對稱點,相連即可算出答案,連接CE即為AP+PE的最小值．
【詳解】
連接CE,
因為A、C關(guān)于BD對稱．
CE即為AP+PE的最小值．
∵正方形邊長為4,E是AB中點,
∴BC=4,BE=2．
故答案為: .
【點撥】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知“兩點之間，線段最短”是解答此題的關(guān)鍵．
17．： ：
【分析】利用正方形的性質(zhì)求得，作PE⊥AB于E，在中利用勾股定理可求得PE的長，根據(jù)三角形面積公式即可求解．
【詳解】過點P作PE⊥AB于E，如圖：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴，
在中，，
∴AE=PE，
∴，即，
∴PE=1，
，
故答案為：，．
【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．
【分析】根據(jù)矩形的周長表示出邊BC，再根據(jù)EFGH的面積等于矩形ABCD的面積的一半列式整理即可得解．
【詳解】
∵矩形ABCD的周長為18，AB=，
∴BC=，
∵E、F、G、H為矩形ABCD的各邊中點，
∴，
故答案為：．
【點撥】本題主要考查了中點四邊形，矩形的性質(zhì)，熟知中點四邊形EFGH的面積等于矩形ABCD的面積的一半是本題的關(guān)鍵．
19．13
【分析】首先證明△ABE≌△BCF，推出AE=BF，EB=CF，再利用勾股定理求出AB2，即可解決問題．
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵∠ABE+∠CBF=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF=2，EB=CF=3，
∴AB2=AE2+EB2=22+32=13，
∴正方形ABCD面積=AB2=13．
故答案為：13.
【點撥】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，靈活應(yīng)用勾股定理解決問題，屬于中考常考題型．
20．25°或65°
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分兩種情況：正方形在AB的左側(cè)和右側(cè)．
解：在正方形ABCD中，AE=AB，
當正方形ABDE在AB的左側(cè)時，如圖
，
，
，
；
當正方形ABDE在AB的右側(cè)時，
，
，
，

綜上所述，或
【點撥】本題考察了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
21．12.5
【分析】將三角形△FDC繞著點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)90o到△GBC，由推出∠ECG =45o=，證△ECF≌△ECG（SAS）得EF=BE+DF，設(shè)DF=x，在Rt△AEF中由勾股定理得(5+x)2=(15-x)2+102求出x，再求EF解開．
【詳解】
將三角形△FDC繞著點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)90o到△GBC，
∴CF=CG，∠DCF=∠BCG，
∵，
∴∠DCF+∠ECB=90o-∠ECF=90o-45o=45o，
∴∠ECG=∠ECB+∠GCB=∠ECB+∠FCD=45o=，
在△ECF和△ECG中，
∵CF=CG，
∠ECG=，
CE=CE，
∴△ECF≌△ECG（SAS），
∴EF=EG=BE+DF，
設(shè)DF=x，AF=(15-x)cm，EF=(5+x)cm，AE=15-5=10cm，
在Rt△AEF中，
由勾股定理得，
(5+x)2=(15-x)2+102，
∴x=7.5，
∴EF=5+7.5=12.5cm．
故答案為：12.5．
【點撥】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，三角形全等，勾股定理問題，掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，三角形全等得判定方法，勾股定理應(yīng)構(gòu)造方程，會解方程是解題關(guān)鍵．
22．
【分析】由等邊三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)可求得、，再根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)得到，即可求得答案．
解：過點作于點，如圖：
∵是等邊三角形
∴，
∵
∴是等邊三角形
∴
∵四邊形是正方形
∴，
∴
∴
∵
∴．
故答案是：
【點撥】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)以及三角形面積公式等，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．
23．
【分析】
根據(jù)題意可知∠A＝45°，∠AC1A1＝90°，故此△AC1A1是等腰直角三角形，同理可證明△BD1B1是等腰直角三角形，由A1B1C1D1是正方形可知AC1＝C1D1＝D1B，從而得到C1D1＝AB，同理：C2D2＝A1B1，依據(jù)規(guī)律可求得正方形的邊長＝．
解：∵△ABO是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°．
∵四邊形A1B1C1D1是正方形，
∴∠AC1A1＝90°．
∵∠A＝45°，∠AC1A1＝90°，
∴△AC1A1是等腰直角三角形．
同理△BD1B1是等腰直角三角形．
∴C1D1＝AB．
同理：C2D2＝A1B1，
…
的邊長＝．
故答案為：．
【點撥】本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，證得C1D1＝AB是解題的關(guān)鍵．
24．
【分析】如詳解圖：作垂足為F，的延長線，垂足為G，可證,可得四邊形AFOG為正方形，BF=CG，AF=AG=，進而可求得答案．
【詳解】
如圖所示：
作垂足為F，的延長線，垂足為G，
則四邊形AFOG為矩形，
四邊形BCDE是正方形，
OB=OC，，

S
四邊形AFDG為正方形

故答案為：．
【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形證明．
25．．
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的可證明△BEF≌△CHE，作FM⊥CD于M，分別求出FM,MH的長，利用勾股定理即可求解．
【詳解】
∵將△BEF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)，得到△GEH，點H落在CD邊上，
∵BE=2，AF=2，BF=4
∴GH=BF=EC=4，EH=EF=
∴在Rt△HEC中，CH=
∴BE=CH
又∵∠B=∠C=90°，BF=CE=4
∴△BEF≌△CHE
作FM⊥CD于M，故四邊形AFMD是矩形，
∴DM=AF=2，MH=CM-CH=2，F(xiàn)M=AD=6
∴FH=
故答案為：．
【點撥】此題主要考查正方形的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理．
26．（1）見解析；（2）．
【分析】
（1）由四邊形ABCD是正方形，易證得△ABE≌△CBE，繼而證得AE=CE，再由AE=CE，AE=EN，即可證得∠ACN=90°，則可判定△CAN為直角三角形；
（2）由AN=4，正方形的邊長為6，易求得CN的長，然后由三角形中位線的性質(zhì)，求得OE的長，繼而求得答案．
解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，AB=CB，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE；
∵AE=CE，AE=EN，
∴∠EAC=∠ECA，CE=EN，
∴∠ECN=∠N，
∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N=180°，
∴∠ACE+∠ECN=90°，
即∠ACN=90°，
∴△CAN為直角三角形；
（2）∵正方形的邊長為6，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【點撥】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定以及勾股定理等知識．注意利用勾股定理求得各線段的長是關(guān)鍵．
27．（1）；（2）見解析.
【分析】
（1）用正方形對角線平分對角，等腰三角形性質(zhì)計算即可；
（2）借助正方形的性質(zhì)，證明三角形全等，運用等角對等邊證明即可.
【詳解】
（1）∵為正方形，∴．
又∵，
∴．
∴
（2）證明：∵正方形關(guān)于對稱，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的全等，等腰三角形的判定，運用正方形的性質(zhì)，證明三角形的全等是解題的關(guān)鍵.
28．（1）①見解析；②PE=PF，證明見解析；（2）3
【分析】（1）①先判斷出∠CBF=90°，再證明∠DCE=∠BCF即可解決問題．
②證明△PCE≌△PCF（SAS）即可解決問題．
（2）如圖2中，作EH⊥AD交BD于H，連接PE．證明△EMH≌△FMB（AAS），由EM=FM，CE=CF，推出PC垂直平分線段EF，推出PE=PF，設(shè)PB=x，則PE=PF=x+2，PA=6-x，理由勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．
解：（1）①如圖1中，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF=90°，
∴∠DCB=∠ECF=90°
∴∠DCE=∠BCF，
∴△CDE≌△CBF（ASA）．
②結(jié)論：PE=PF．
理由：如圖1中，∵△CDE≌△CBF，
∴CE=CF，
∵PC=PC，∠PCE=∠PCF，
∴△PCE≌△PCF（SAS），
∴PE=PF．
（2）如圖2中，作EH⊥AD交BD于H，連接PE．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=6，∠A=90°，∠EDH=45°，
∵EH⊥AD，
∴∠DEH=∠A=90°，
∴EH∥AF，DE=EH=2，
∵△CDE≌△CBF，
∴DE=BF=2，
∴EH=BF，
∵∠EHM=∠MBF，∠EMH=∠FMB，
∴△EMH≌△FMB（AAS），
∵EM=FM，
∵CE=CF，
∴PC垂直平分線段EF，
∴PE=PF，設(shè)PB=x，則PE=PF=x+2，PA=6-x，
在Rt△APE中，則有（x+2）2=42+（6-x）2，
∴x=3，
∴PB=3．
【點撥】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．

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