?專題 17.18 勾股定理全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）
一、單選題
1．如圖，直線上有三個(gè)正方形，若的面積分別為5和11，則的面積為（?????????????）???

A．4 B．6 C．16 D．55
2．在中，若，，，則點(diǎn)C到直線AB的距離為（???????）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
3．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個(gè)“折竹抵地”問題：“今有竹高丈，末折抵地，問折者高幾何？”意思是：一根竹子，原來高一丈（一丈為十尺），蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子根部三尺遠(yuǎn)，問：原處還有多高的竹子？（　?。?br />
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
4．已知線段，按如下步驟作圖：①作射線，使；②作的平分線；③以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)；④過點(diǎn)作于點(diǎn)，則（???????）

A． B． C． D．
5．如圖，中，，將沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則CE的長為（???????）

A． B．2 C． D．
6．下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（???）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，， 3
7．如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為（ ）

A．90° B．60° C．45° D．30°
8．下列長度的三條線段能組成直角三角形的是　　
A．3， 4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12
9．如圖所示，如果將矩形紙沿虛線①對折后，沿虛線②剪開，剪出一個(gè)直角三角形，展開后得到一個(gè)等腰三角形，則展開后的等腰三角形周長是（　?。?br />
A．12 B．18 C． D．
10．下列各組線段中，能夠組成直角三角形的一組是（?? ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，，
二、填空題
11．如圖．在中，，平分，于E，若，則的長為________．

12．《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在勾股章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折著高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示，在ΔABC中，∠ACB=90o， AC+AB=10， BC=3，求AC的長，若設(shè)AC=x， 則可列方程為________________．

13．在中，，若，則的長是________．
14．若直角三角形其中兩條邊的長分別為3，4，則該直角三角形斜邊上的高的長為________．
15．若實(shí)數(shù)滿足，且恰好是直角三角形的兩條邊，則該直角三角形的斜邊長為_____．
16．如圖，某港口位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時(shí)分別航行12海里和16海里，1小時(shí)后兩船分別位于點(diǎn)，處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，則乙船沿_____方向航行．

17．如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為端點(diǎn)的四條射線，，，分別過點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，則______（填“”“”“”中的一個(gè)）．

18．把圖1中的菱形沿對角線分成四個(gè)全等的直角三角形，將這四個(gè)直角三角形分別拼成如圖2，圖3所示的正方形，則圖1中菱形的面積為______．

19．如圖，將一根25㎝長的細(xì)木棒放入長、寬、高分別為8㎝、6㎝和10㎝的長方體無蓋盒子中，則細(xì)木棒露在盒外面的最短長度是____㎝．

20．如圖，在Rt△ABC中，E是斜邊AB的中點(diǎn)，若AB＝10，則CE＝____．

三、解答題
21．如圖，在△ABC中，D為AC邊的中點(diǎn)，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．
（1）求DB的長；
（2）在△ABC中，求BC邊上高的長．






22．如圖，四邊形為一個(gè)矩形紙片，，，動(dòng)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)后停止.以直線為軸翻折，點(diǎn)落到點(diǎn)的位置.設(shè)，與原紙片重疊部分的面積為.
（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線過點(diǎn)？
（2）當(dāng)為何值時(shí)，直線過的中點(diǎn)？
（3）求出與的函數(shù)關(guān)系式.








23．如圖，要在木里縣某林場東西方向的兩地之間修一條公路MN，已知C點(diǎn)周圍200米范圍內(nèi)為原始森林保護(hù)區(qū)，在MN上的點(diǎn)A處測得C在A的北偏東45°方向上，從A向東走600米到達(dá)B處，測得C在點(diǎn)B的北偏西60°方向上．
（1）MN是否穿過原始森林保護(hù)區(qū)，為什么？（參考數(shù)據(jù)：≈1.732）
（2）若修路工程順利進(jìn)行，要使修路工程比原計(jì)劃提前5天完成，需將原定的工作效率提高25%，則原計(jì)劃完成這項(xiàng)工程需要多少天？





24．如圖，某測量小組為了測量山BC的高度，在地面A處測得山頂B的仰角45°，然后沿著坡度為的坡面AD走了200米達(dá)到D處，此時(shí)在D處測得山頂B的仰角為60°，求山高BC（結(jié)果保留根號(hào)）．










參考答案
1．C
【解析】
【分析】
運(yùn)用正方形邊長相等，結(jié)合全等三角形和勾股定理來求解即可．
【詳解】
解：∵a、b、c都是正方形，

∴AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=11+5=16，
故選C．


【點(diǎn)撥】此題主要考查對全等三角形和勾股定理的綜合運(yùn)用，結(jié)合圖形求解，對圖形的理解能力要比較強(qiáng)．
2．D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意畫出圖形，然后作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)勾股定理可以求得AB的長，然后根據(jù)面積法，可以求得CD的長．
【詳解】
解：作CD⊥AB于點(diǎn)D，如右圖所示，

∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵，
∴，
解得CD=2.4，
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的圖形，利用勾股定理和面積法解答．
3．B
【解析】
【分析】
竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-x）尺．利用勾股定理解題即可．
【詳解】
解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為尺，
根據(jù)勾股定理得：，
解得：．
所以，原處還有4.55尺高的竹子．
故選：B．
【點(diǎn)撥】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理解題．
4．D
【解析】
【分析】
由題意易得∠BAD=45°，AB=AE，進(jìn)而可得△APE是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求解．
【詳解】
解：∵，
∴，
∵AD平分，
∴∠BAD=45°，
∵，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP=PE，
∴，
∵AB=AE，
∴，
∴；
故選D．
【點(diǎn)撥】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及角平分線的定義，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．
5．D
【解析】
【分析】
先在RtABC中利用勾股定理計(jì)算出AB=10，再利用折疊的性質(zhì)得到AE=BE，AD=BD=5，設(shè)AE=x，則CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根據(jù)勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．
【詳解】
解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∵△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，
∴AE=BE，AD=BD=AB=5，
設(shè)AE=x，則CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，
∴x2=62+（8-x）2，解得x=，
∴CE==，
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖象全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等．也考查了勾股定理．
6．B
【解析】
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．
【詳解】
A、42+52=41≠62，不可以構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、1.52+22=6.25=2.52，可以構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)正確；
C、22+32=13≠42，不可以構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、，不可以構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B
【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
7．C
【解析】
【分析】
根據(jù)勾股定理即可得到AB，BC，AC的長度，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】
解：連接AC，如圖：

根據(jù)勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=．
∵（）2+（）2=（）2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故選C．
【點(diǎn)撥】考點(diǎn)：勾股定理．
8．A
【解析】
【分析】
利用勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．最長邊所對的角為直角．由此判定即可．
【詳解】
A、∵32+42=52，
∴三條線段能組成直角三角形，故A選項(xiàng)正確；
B、∵22+32≠42，
∴三條線段不能組成直角三角形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、∵42+62≠72，
∴三條線段不能組成直角三角形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、∵52+112≠122，
∴三條線段不能組成直角三角形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：A．
【點(diǎn)撥】考查勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．
9．D
【解析】
【分析】
按照圖的示意對折，裁剪后得到的是直角三角形，虛線①為矩形的對稱軸，依據(jù)對稱軸的性質(zhì)虛線①平分矩形的長，即可得到沿虛線②裁下的直角三角形的短直角邊為10÷2﹣4=1，虛線②為斜邊，據(jù)勾股定理可得虛線②為，據(jù)等腰三角形底邊的高平分底邊的性質(zhì)可以得到，展開后的等腰三角形的底邊為2，故得到等腰三角形的周長．
【詳解】
根據(jù)題意，三角形的底邊為2（10÷2﹣4）=2，腰的平方為32+12=10，
∴等腰三角形的腰為；
∴等腰三角形的周長為：．
故選D．
10．D
【解析】
【詳解】
試題分析：A．，不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤；
B．，不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤；
C．，不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤；
D．，能夠組成直角三角形，故正確．
故選D．
考點(diǎn)：勾股定理的逆定理．
11．
【解析】
【分析】
證明三角形全等，再利用勾股定理即可求出．
【詳解】
解：由題意：平分，于,
，，
又為公共邊，
，
，
在中，，由勾股定理得：
，
故答案是：．
【點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：通過全等找到邊之間的關(guān)系，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算可得．
12．
【解析】
【分析】
設(shè)AC=x，則AB=10-x，再由即可列出方程．
【詳解】
解：∵，且，
∴，
在Rt△ABC中，由勾股定理有：，
即：，
故可列出的方程為：，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．
13．17
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理列出方程即可求解．
【詳解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，
∴AC2+BC2=AB2，
即（AB-2）2+82=AB2，
解得AB=17．
故答案為：17．
【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，解答的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的定義及其在直角三角形中的表示形式．
14．2.4或
【解析】
【分析】
分兩種情況：直角三角形的兩直角邊為3、4或直角三角形一條直角邊為3，斜邊為4，首先根據(jù)勾股定理即可求第三邊的長度，再根據(jù)三角形的面積即可解題．
【詳解】
若直角三角形的兩直角邊為3、4，則斜邊長為，
設(shè)直角三角形斜邊上的高為h，
，
∴．
若直角三角形一條直角邊為3，斜邊為4，則另一條直角邊為
設(shè)直角三角形斜邊上的高為h，
，
∴．
故答案為：2.4或．
【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理和直角三角形的面積，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
15．或．
【解析】
【分析】
利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，再分情況求解即可．
【詳解】
，
∴，
，
①當(dāng)是直角邊時(shí)，
則該直角三角形的斜邊，
②當(dāng)是斜邊時(shí)，則斜邊為，
故答案為或．
【點(diǎn)撥】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
16．北偏東50°（或東偏北40°）
【解析】
【分析】
由題意易得海里，PB=16海里，，則有，所以∠APB=90°，進(jìn)而可得，然后問題可求解．
【詳解】
解：由題意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里，
∴，
∴∠APB=90°，
∴，
∴乙船沿北偏東50°（或東偏北40°）方向航行；
故答案為北偏東50°（或東偏北40°）．
【點(diǎn)撥】本題主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟練掌握勾股定理的逆定理及方位角是解題的關(guān)鍵．
17．=
【解析】
【分析】
連接DE，判斷△ABC和△ADE是等腰直角三角形，即可得到．
【詳解】
解：連接DE，如圖

∵點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，
由勾股定理與網(wǎng)格問題，則
，，
∴△ABC是等腰直角三角形；
∵，，
∴，
∴，
∴△ADE是等腰直角三角形；
∴；
故答案為：=．
【點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握掌握所學(xué)的知識(shí)，正確判斷△ABC和△ADE是等腰直角三角形．
18．12
【解析】
【分析】
由菱形的性質(zhì)得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，設(shè)OA=x，OB=y，由題意得：，解得：，得出AC=2OA=6，BD=2OB=4，即可得出菱形的面積．
【詳解】
解：如圖1所示：

∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
設(shè)OA=x，OB=y，
由題意得：，解得：，
∴AC=2OA=6，BD=2OB=4，
∴菱形ABCD的面積=；
故答案為12．
【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、二元一次方程組的應(yīng)用；熟練掌握正方形和菱形的性質(zhì)，由題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．
19．5
【解析】
【詳解】
由題意知：盒子底面對角長為=10cm，
盒子的對角線長：=20cm，
細(xì)木棒長25cm，故細(xì)木棒露在盒外面的最短長度是：25﹣20=5cm．
20．5
【解析】
【詳解】
試題分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得CE=AB=5.
考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線．
21．（1）BD=3；（2）BC邊上高的長為6．
【解析】
【分析】
（1）直接利用勾股定理得出BD的長即可；
（2）利用三角形中位線定理得出BD=AE，即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：（1）∵DB⊥BC，BC=4，CD=5
∴BD==3；
（2）延長CB，過點(diǎn)A作AE⊥CB延長線于點(diǎn)E
∵DB⊥BC，AE⊥BC
∴AE∥DB
∵D為AC邊的中點(diǎn)
∴BD=AE
∴AE=6
即BC邊上高的長為6．

【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理；三角形中位線定理．
22．（1）當(dāng)x=時(shí)，直線AD1過點(diǎn)C（2）當(dāng)x=時(shí)，直線AD1過BC的中點(diǎn)E（3）當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=x；當(dāng)2＜x≤3時(shí)，y=
【解析】
【詳解】
試題分析：（1）根據(jù)折疊得出AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求出AC，在Rt△PCD1中，根據(jù)勾股定理得出方程，求出即可；
（2）連接PE，求出BE=CE=1，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理求出AE，求出AD1=AD=2，PD=PD1=x，D1E=﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，根據(jù)勾股定理得出方程，求出即可；
（3）分為兩種情況：當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=x；當(dāng)2＜x≤3時(shí)，點(diǎn)D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，求出AF=PF，作PG⊥AB于G，設(shè)PF=AF=a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x﹣a）2+22=a2，求出a即可．
試題解析：
（1）

如圖1，∵由題意得：△ADP≌△AD1P，
∴AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，
∵直線AD1過C，
∴PD1⊥AC，
在Rt△ABC中，AC=，CD1=﹣2，
在Rt△PCD1中，PC2=PD12+CD12，
即（3﹣x）2=x2+（﹣2）2，
解得：x=，
∴當(dāng)x=時(shí)，直線AD1過點(diǎn)C；
（2）如圖2，

連接PE，
∵E為BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE=1，
在Rt△ABE中，AE==，
∵AD1=AD=2，PD=PD1=x，
∴D1E=﹣2，PC=3﹣x，
在Rt△PD1E和Rt△PCE中，
x2+（﹣2）2=（3﹣x）2+12，
解得：x=，
∴當(dāng)x=時(shí)，直線AD1過BC的中點(diǎn)E；
（3）如圖3，

當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=x，
如圖4，

當(dāng)2＜x≤3時(shí)，點(diǎn)D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3（根據(jù)折疊），
∴∠2=∠3，
∴AF=PF，
作PG⊥AB于G，
設(shè)PF=AF=a，
由題意得：AG=DP=x，F(xiàn)G=x﹣a，
在Rt△PFG中，由勾股定理得：（x﹣a）2+22=a2，
解得：a=，
所以y==，
綜合上述，當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=x；當(dāng)2＜x≤3時(shí)，y=．
考點(diǎn)：1、勾股定理，2、折疊的性質(zhì)，3、矩形的性質(zhì)，4、分類推理思想
23．（1）不會(huì)穿過森林保護(hù)區(qū).理由見解析；（2）原計(jì)劃完成這項(xiàng)工程需要25天.
【解析】
【詳解】
試題分析：（1）要求MN是否穿過原始森林保護(hù)區(qū)，也就是求C到MN的距離．要構(gòu)造直角三角形，再解直角三角形；
（2）根據(jù)題意列方程求解．
試題解析：（1）如圖，過C作CH⊥AB于H，
設(shè)CH=x，由已知有∠EAC=45°, ∠FBC=60°
則∠CAH=45°, ∠CBA=30°，在RT△ACH中，AH=CH=x，在RT△HBC中， tan∠HBC=
∴HB===x，
∵AH+HB=AB
∴x+x=600解得x≈220（米）>200（米）．∴MN不會(huì)穿過森林保護(hù)區(qū)．

（2）設(shè)原計(jì)劃完成這項(xiàng)工程需要y天，則實(shí)際完成工程需要y-5
根據(jù)題意得：=(1+25％)×，解得：y=25知：y=25的根．
答：原計(jì)劃完成這項(xiàng)工程需要25天．
24．山高BC=100+100米.
【解析】
【分析】
作DF⊥AC于F．解直角三角形分別求出BE、EC即可解決問題
【詳解】
作于．

，米，
，
，
（米，
，
四邊形是矩形，
（米，
，，
，
，，
，
，，
，
（米，
在中，，
（米，
（米．
【點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，坡度坡角問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．

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