專題16.5 二次根式加減（知識(shí)講解）-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（人教版）學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1、二次根式的概念：一般地，我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，
2、最簡(jiǎn)二次根式：被開方數(shù)不含有分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式. 滿足這兩個(gè)條件的二次根式叫最簡(jiǎn)二次根式.
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
概念：同類二次根式，法則：二次根式的加減法法則，
會(huì)合并同類二次根式，進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式加減運(yùn)算；
3、會(huì)利用運(yùn)算律和運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.
【要點(diǎn)梳理】
要點(diǎn)一、同類二次根式
1.定義：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式.
特別說明：
(1)判斷同類二次根式的方法：先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再看被開方數(shù)是否相同；相同就是二次根式；
(2)幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，不受其他因素影響判斷.
2.合并同類二次根式
方法：合并同類二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.(合并同類二次根式的方法與整式加減運(yùn)算中的合并同類項(xiàng)類似)
特別說明：
(1)根號(hào)外面的因式就是這個(gè)根式的系數(shù)；
(2)二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要變成假分?jǐn)?shù)的形式.
要點(diǎn)二、二次根式的加減
1.二次根式的加減實(shí)質(zhì)就是合并同類二次根式，即先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把其中的同類二次根式進(jìn)行合并.對(duì)于沒有合并的二次根式，仍要寫到結(jié)果中.
要點(diǎn)詮釋：
（1）在進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律及去括號(hào)、添括號(hào)法則仍然適用.
（2）二次根式加減運(yùn)算的步驟：
1)化簡(jiǎn)（將每個(gè)二次根式都化簡(jiǎn)成為最簡(jiǎn)二次根式）；
2)判定（判斷哪些二次根式是同類二次根式）；
3)合并（同類二次根式系數(shù)相加減）.
要點(diǎn)三、二次根式的混合運(yùn)算
二次根式的混合運(yùn)算是對(duì)二次根式的乘除及加減運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.
要點(diǎn)詮釋：
(1)二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的；
(2)在實(shí)數(shù)運(yùn)算和整式運(yùn)算中的運(yùn)算律和乘法公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用；
(3)二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果要寫成最簡(jiǎn)形式.
【典型例題】
類型一、同類二次根式
1. （2020·上海八年級(jí)期中）二次根式、中與是同類二次根式的是______．
【分析】先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)同類二次根式的定義即可得出結(jié)論．
解：∵=，=，=2
∴與是同類二次根式的是
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查的是同類二次根式的判斷，掌握二次根式的性質(zhì)和同類二次根式的定義是解題關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】（2020·上海浦東新區(qū)·八年級(jí)期中）若最簡(jiǎn)二次根式2與3是同類二次根式，則x＝_____．
【答案】﹣2或1
【分析】根據(jù)同類二次根式定義列式計(jì)算即可；
解：因?yàn)樽詈?jiǎn)二次根2與3是同類二次根式，
所以x+7＝9﹣x2，且x+7≥0、9﹣x2≥0，
解得x1＝﹣2．x2＝1，
故答案是：﹣2或1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了同類二次根式的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2020·靈寶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)月考）已化簡(jiǎn)的和是同類二次根式，則a+b＝_____．
【答案】
【分析】根據(jù)根指數(shù)及被開方數(shù)分別相同可列出方程，解出后可得出a和b的值，代入可得出答案．
解：已化簡(jiǎn)的和是同類二次根式，
可得：，
解得：，
把a(bǔ)＝，b＝代入a+b＝
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查同類二次根式定義以及建立方程組求出解，再代入求值的問題，這類問題是典型題目．
類型二、二次根式的加減運(yùn)算
2.計(jì)算
7．（2020·高臺(tái)縣南華初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期末）計(jì)算
（1）－+ （2）
解：（1）原式；
（2）原式．
【總結(jié)升華】一定要注意二次根式的加減要做到先化簡(jiǎn)，再合并.
舉一反三：
【變式1】（2020·江蘇南通市·南通田家炳中學(xué)八年級(jí)月考）
（1）
（2）
解：（1）
；
（2）
；
類型三、二次根式的混合運(yùn)算
3．（2019·鄄城縣箕山鎮(zhèn)箕山中學(xué)八年級(jí)期中）計(jì)算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式=
（2）原式=
【總結(jié)升華】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
4、（2020·遵化市第三中學(xué)八年級(jí)月考）觀察下列等式：
解答下列問題：
（1）寫出一個(gè)無理數(shù)，使它與的積為有理數(shù)；
（2）利用你觀察的規(guī)律，化簡(jiǎn)；
（3）計(jì)算：．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）由平方差的運(yùn)算法則，即可得到答案；
（2）找出題目中的規(guī)律，把分母有理化，即可得到答案；
（3）先把分母有理化，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可得到答案．
【詳解】
解：（1）∵，
∴這個(gè)無理數(shù)為：；
（2）==；
（3）
=
=．
【總結(jié)升華】本題考查了二次根式的運(yùn)算法則，分母有理化，平方差運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則，正確的發(fā)現(xiàn)題目中的規(guī)律是解題關(guān)鍵．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算包含著很多技巧性的東西，技巧運(yùn)用得好計(jì)算就很簡(jiǎn)便而且準(zhǔn)確.
舉一反三：
【變式】（2020·忠縣烏楊初級(jí)中學(xué)校八年級(jí)月考）閱讀下面的問題：
；
；
試求：(1)； (2)
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）首先分母有理化，然后在根據(jù)二次根式運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（2）首先根據(jù)平方差公式進(jìn)行分母有理化，然后根據(jù)二次根式運(yùn)算法則計(jì)算即可．
解：（1）原式=
=
=；
（2）原式=
=
=
【點(diǎn)睛】本題考查了分母有理化，二次根式的乘除，平方差公式，關(guān)鍵是掌握平方差運(yùn)算法則．

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