16.1  二次根式（知識講解）【學習目標】1、理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)是非負數(shù)的理由.2、理解并掌握下列結(jié)論： ≥0，（≥0），（≥0），（≥0），并利用它們進行計算和化簡．【要點梳理】要點一、二次根式及代數(shù)式的概念
1.二次根式：一般地，我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號．
特別說明：
　　二次根式的兩個要素：①根指數(shù)為2；②被開方數(shù)為非負數(shù).2.代數(shù)式：形如6，a，m+n，ab，，x3，這些式子，用基本的運算符號(基本運算包括加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式.要點二、二次根式的性質(zhì)
1.≥0，（≥0）；
2. （≥0）；
3..
特別說明：
1.二次根式(a≥0)的值是非負數(shù)。一個非負數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的形式，即.與要注意區(qū)別與聯(lián)系：1).的取值范圍不同，中≥0，中為任意值。2).≥0時，==；<0時，無意義，=.【典型例題】類型一、二次根式的概念 1．下列各式一定是二次根式的是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的概念：形如，由此問題可求解．解：A、由-3＜0可知無意義，故不符合題意；B、不是二次根式，故不符合題意；C、由可知是二次根式，故符合題意；D、當x＜0時，無意義，故不符合題意；故選C．【點撥】本題主要考查二次根式的概念，熟練掌握二次根式的概念是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】 下列各式一定為二次根式的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的定義判斷即可；解答：中，當時，，不滿足條件，故A不符合題意；當時，不是二次根式，故B不符合題意；，，是二次根式，故C符合題意；當時，即時，不是二次根式，故D不符合題意；故選C．【點撥】本題主要考查了二次根式的判斷，準確分析判斷是解題的關(guān)鍵．【變式2】下列各式一定是二次根式的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的定義，即可求解． 解：A、因為 ，無意義，故本選項不符合題意；B、的根指數(shù)為3，不是二次根式，故本選項不符合題意；C、不是二次根式，故本選項不符合題意；D、無論 取何值，都有 ，故本選項符合題意；故選：D【點撥】本題主要考查了二次根式的定義，熟練掌握形如 的形式，稱為二次根式是解題的關(guān)鍵．【變式3】在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的定義求解即可．二次根式：一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式，其中． 解：式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有：（x＞0），，，共3個．故選：C．【點撥】此題考查了二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的定義．二次根式：一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式，其中．類型二、求二次根式的值 2．若實數(shù)x，y滿足，求的值．【答案】【分析】根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，可得，的值，根據(jù)代數(shù)式求值，可得答案． 解：由題意，得，，解得，當時，．當，時，．【點撥】本題考查了二次根式有意義的條件，利用被開方數(shù)是非負數(shù)得出，的值是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】 ．【答案】【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪、化簡絕對值、零指數(shù)冪、二次根式化簡，進行計算即可． 解：原式．【點撥】本題考查實數(shù)的運算，能正確運用運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】計算：．【答案】【分析】根據(jù)二次根式、絕對值、零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)計算，即可得到答案．解：=．【點撥】本題考查了二次根式、絕對值、零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式、絕對值、零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則計算，即可完成求解．【變式3】計算：．【答案】【分析】根據(jù)二次根式、絕對值、零指數(shù)冪的性質(zhì)計算，即可得到答案．解：．【點撥】本題考查了二次根式、絕對值、零指數(shù)冪的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式、絕對值、零指數(shù)冪的性質(zhì)，從而完成求解．類型三、求二次根式的參數(shù) 3．若，則的平方根．【答案】【分析】分式值為零的條件是分子等于零且分母不為零，根據(jù)條件求出的值． 解：若，其中，則，即，由，解得：（舍去）由，解得：，，的平方根為，故答案是：．【點撥】本題考查零分式值為零的條件及平方根的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：分母不為零的條件不能少．舉一反三：【變式1】閱讀材料并解決下列問題：已知a、b是有理數(shù)，并且滿足等式5﹣﹣a，求a、b的值．解：∵5﹣﹣a即5﹣∴2b﹣a＝5，﹣a＝解得：a＝﹣（1）已知a、b是有理數(shù)，并且滿足等式﹣1，則a＝　   　，b＝　   　．（2）已知x、y是有理數(shù)，并且滿足等式x+x+18，求xy的平方根．【答案】（1）4，1；（2）±【分析】（1）利用等式左右兩邊的有理數(shù)相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可．（2）先將等式變形，再利用等式左右兩邊的有理數(shù)相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根． 解：（1）∵，∴，∴，∴b=1，a-b=3，∴a=4；（2），∴，∴，解得：，∴xy=21，∴xy的平方根為±．【點撥】此題是一個閱讀題目，主要考查了實數(shù)的運算．對于閱讀理解題要讀懂閱讀部分，然后依照同樣的方法和思路解題．【變式2】（1）已知是整數(shù)，求自然數(shù)所有可能的值；（2）已知是整數(shù)，求正整數(shù)的最小值．【答案】（1）自然數(shù)的值為，，，，；（2）正整數(shù)的最小值為．【分析】（1）根據(jù)二次根式結(jié)果為整數(shù)，確定出自然數(shù)n的值即可；
（2）根據(jù)二次根式結(jié)果為整數(shù)，確定出正整數(shù)n的最小值即可．解：（1）∵是整數(shù)，∴，，，，，解得：，，，，，則自然數(shù)的值為2，9，14，17，18；（2）∵是整數(shù)，為正整數(shù)，∴正整數(shù)的最小值為．【點撥】本題考查了二次根式的定義，熟練掌握二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵．【變式3】已知a，b滿足（1）a=_______， b=______（2）把a，b的值代下以下方程并求解關(guān)于的方程【答案】（1）-4，；（2）【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)二次根式和絕對值的性質(zhì)，通過求解一元一次方程方程，即可得到答案；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，通過求解一元一次方程方程，即可完成求解．解：（1）∵∴ ∴∴故答案為：-4，；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得： ∴∴．【點撥】本題考查了一元一次方程、二次根式、絕對值的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式、絕對值的性質(zhì)，并通過求解一元一次方程，從而完成求解．類型四、二次根式有意義的條件 4．若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（    ）A． B．且 C． D．且【答案】A【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求不等式解集即可． 解：有意義可得：，解得：，故選：A．【點撥】題目主要考查二次根式有意義的條件及解不等式，理解二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】 在平面直角坐標系內(nèi)有一點P（x，y），已知x，y滿足＋|3y＋5|＝0，則點P所在的象限是（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件以及絕對值非負性求出的值，然后判斷點P（x，y）所在的象限即可． 解：∵＋|3y＋5|＝0，∴，，解得：，，∴在第四象限，故選：D．【點撥】本題考查了二次根式有意義的條件，絕對值的非負性，根據(jù)點的坐標判斷其所在的象限，根據(jù)題意得出點的坐標是解本題的關(guān)鍵．【變式2】若x，y為實數(shù)，且y＝2+，則|x+y|的值是（　　）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的有意義的條件求出x的值，故可求出y的值，故可求解．解：依題意可得解得x=3∴y=2∴|x+y|=|3+2|=5故選A．【點撥】此題主要考查二次根式的性質(zhì)應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知二次根式被開方數(shù)為非負數(shù)．【變式3】已知實數(shù)a滿足條件，那么的值為　　A．2010 B．2011 C．2012 D．2013【答案】C【分析】由題意可知a-2012≥0，可得，移項后平方得a-2012=20112，變形得a-20112=2012． 解：∵有意義，∴a-2012≥0，∴a≥2012，∴2011-a＜0，∴，∴∴a-2012=20112，∴a-20112=2012．故選C．【點撥】本題考查二次根式有意義條件，化簡絕對值，代數(shù)式的值，掌握二次根式有意義條件得出a≥2012，化簡絕對值得出a-2012=20112是解題關(guān)鍵．類型五、利用二次根式的性質(zhì)化簡 5．化簡：＝___．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，把(1－a)移到根號內(nèi)，然后進行化簡．解：∵，∴，∴．故答案為：．【點撥】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，根據(jù)二次根式的定義確定含字母的代數(shù)式的正負是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】 化簡：＝___．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和乘法法則化簡即可解：有意義，故答案為：【點撥】本題考查了二次根式的性質(zhì)和乘法法則，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖，化簡的結(jié)果是________．【答案】b-2a【分析】由數(shù)軸知a<0<b，進而可判斷a-2b及a+b的符號，從而可對絕對值及二次根式進行化簡，最后可求得化簡后的結(jié)果．解：由數(shù)軸知，a<0<b，|a|>b∴a-2b<0，a+b<0∴故答案為：b-2a【點撥】本題考查了數(shù)軸上比較實數(shù)的大小，實數(shù)的加減法則，絕對值的化簡及算術(shù)平方根的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)實數(shù)的加減法則確定出a-2b及a+b的符號，這是正確脫去絕對值和化簡二次根式的前提．【變式3】已知，化簡____________________．【答案】【分析】利用二次根式的性質(zhì)得，然后利用x的范圍去絕對值后合并即可解：，原式故答案為：【點撥】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵．類型六、復合二次根式的化簡 6．先閱讀下列的解答過程，然后再解答：形如的化簡，只要我們找到兩個正數(shù)a、b，使，，使得，，那么便有：例如：化簡解：首先把化為，這里，，由于，即，∴（1）填空：=            ，=           ；（2）化簡：．【答案】（1），；（2）【分析】（1）（2）由條件對式子進行變形，利用完全平方公式對＝|a| 的形式化簡后即可得出結(jié)論． 解：（1）==；==；故答案為：，；（2）原式====【點撥】本題考查了二次根式的化簡求值，涉及了配方法的運用和完全平方根式的運用及二次根式性質(zhì)的運用．舉一反三：【變式1】 先閱讀下列的解答過程，然后作答：形如的化簡，只要我們找到兩個數(shù)、使，，這樣，那么便有．例如：化簡解：首先把化為，這里，；由于，，即．由上述例題的方法化簡：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】先把各題中的無理式變成的形式，再根據(jù)范例分別求出各題中的、，即可求解． 解：（1）；（2）．【點撥】本題考查了二次根式的化簡，完全平方公式的應(yīng)用，掌握二次根式的性質(zhì)以及完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式2】有這樣一類題目：將化簡，如果你能找到兩個數(shù)m、n，使m2＋n2＝a 且mn＝，則a±2將變成m2＋n2±2mn，即變成(m±n)2，從而使得以化簡．例如，因為5＋2＝3＋2＋2＝()2＋()2＋2×＝(＋)2，所以＝．請仿照上面的例子化簡下列根式：(1)       (2) 【答案】（1）；（2）【分析】（1）把4分成1和3，可以把根號里面的數(shù)湊成完全平方的形式；（2）把9分成4和5，可以把根號里面的數(shù)湊成完全平方的形式． 解：（1）原式；（2）原式．【點撥】本題考查二次根式的化簡和完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式的運用．
 

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16.1 二次根式

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