(全國(guó)通用)高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練專題4-3 正余弦定理與解三角形小題歸類2（原卷+解析）學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

專題4-3正余弦定理與解三角形小題歸類2 目錄 TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc29376" 一、熱點(diǎn)題型歸納 1 HYPERLINK \l "_Toc17993" 【題型一】圖形5：“擴(kuò)展線” 1 HYPERLINK \l "_Toc26924" 【題型二】向量與正余弦定理 4 HYPERLINK \l "_Toc12217" 【題型三】四心1：外心 7 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【題型四】四心2：內(nèi)心 9 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【題型五】四心3：重心 13 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【題型六】內(nèi)心4：垂心 16 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【題型七】解三角形應(yīng)用題 18 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【題型八】壓軸小題1 22 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【題型九】壓軸小題2 25 HYPERLINK \l "_Toc21895" 二、最新?？碱}組練 28 【題型一】圖形5：“擴(kuò)展線” 【典例分析】在中，是邊上的一點(diǎn)，，，，則（） A． B． C． D．【答案】C 【分析】根據(jù)題意，可得出，利用正弦定理可知，設(shè)，在中由正弦定理得：，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式、兩角和與差正弦和余弦公式、二倍角正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出的值，從而得出. 解：如圖所示，在中，，，所以，由正弦定理知，設(shè)，，，所以，設(shè)，在中，由正弦定理得：，則，即，所以，整理得，即，即，所以，又，則，所以．故選：C. 【提分秘籍】基本規(guī)律 “擴(kuò)展線”型，多選擇合適的角度作為變量，構(gòu)造等量或者函數(shù)關(guān)系。【變式演練】 1.在中，，，且有，則線段長(zhǎng)的最大值為（） A． B． C． D．【答案】C 【分析】在中，設(shè)角、、的對(duì)邊分別為、、，利用正弦定理得出，，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)得出，利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)得出，利用正弦型函數(shù)的有界性可得出線段長(zhǎng)的最大值. 【詳解】在中，設(shè)角、、的對(duì)邊分別為、、，由正弦定理可得，則，，，即，所以，，所以，，，則，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最大值，即.故選：C. 2.如圖，為的邊上一點(diǎn)，，，，當(dāng)取最小值時(shí)，的面積為（） A． B． C． D．【答案】C 【分析】設(shè)，，，則，，在中，運(yùn)用余弦定理可得，再由，得，代入根據(jù)二次函數(shù)的最值可求得當(dāng)時(shí)，有最小值，從而求得此時(shí)三角形的面積. 【詳解】設(shè)，，，則，，在中，，，，又，，，，整理得，當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)取最小值，此時(shí)，所以. 故選：C. 3.在中，，若點(diǎn)P是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】D 利用正弦定理和余弦定理解三角形，求得，由此求得的取值范圍. 【詳解】由于，設(shè)是上一點(diǎn)，且，所以，.由，得，.設(shè)，在三角形中，.由正弦定理得，即，解得，所以.在三角形中，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，解得.表示平面內(nèi)的點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之差，所以，所以. 故選：D 【題型二】向量【典例分析】在中，已知，，，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為 A． B． C． D．【答案】A 在中，設(shè)，，，結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡(jiǎn)可求，可得，再由已知條件求得，，，考慮建立以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值. 【詳解】在中，設(shè)，，，，即，即，，，，，，，，即，又，，，則，所以，，解得，. 以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、，為線段上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)使得，，設(shè)，，則，，，，，消去得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：A. 【提分秘籍】基本規(guī)律 1.適當(dāng)選擇“基底”進(jìn)行進(jìn)行線性拆分 2.利用等和線、均值不等式等知識(shí)。 3.常用的計(jì)算思維：兩邊平方【變式演練】 1.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，，，點(diǎn)D在邊上，且，則線段長(zhǎng)度的最小值為（） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】由已知條件和正弦定理，得，再由余弦定理得， .由向量的線性運(yùn)算得，兩邊平方，可得，運(yùn)用基本不等式可得選項(xiàng). 【詳解】由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，，∵，∴. 由于，∴，兩邊平方，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，∴線段長(zhǎng)度的最小值為.故選：A. 2.在平行四邊形ABCD中，，則cos∠ABD的范圍是（） A． B． C． D．【答案】D 【分析】利用可得邊之間的關(guān)系，結(jié)合余弦定理可得cos∠ABD的表達(dá)式，然后可得范圍. 【詳解】因?yàn)?，所以?不妨設(shè)，則，把兩邊同時(shí)平方可得，即；在中，，所以；；令，，則，易知，為增函數(shù)，所以. 故選：D. 3.設(shè)O是的外心，滿足，，若，則的面積是 A．4 B． C．8 D．6 【答案】B 【分析】取AC中點(diǎn)D,由以及題設(shè)條件得到，計(jì)算，得到，由三角形面積公式求解即可. 【詳解】取AC中點(diǎn)D，因?yàn)镺是的外心，所以則，解得：所以即故選：B 【題型三】四心1：外心【典例分析】在中，分別為的對(duì)邊，為的外心，且有，，若，，則 A． B． C． D．【答案】A 【分析】由，利用正弦定理得到，再由，運(yùn)用三角函數(shù)的和角公式和正弦定理得到，進(jìn)而得到，然后利用余弦定理，求得角B，A，C，再由的兩邊點(diǎn)乘，運(yùn)用平面向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，得到x，y的方程組求解. 【詳解】因?yàn)椋? 所以，又因?yàn)椋?所以，所以，所以，即，所以，所以，所以，如圖所示：由正弦定理得：，因?yàn)?，則，所以，即，則，所以，即，，.故選：A. 【提分秘籍】基本規(guī)律 1.向量表示：在中，若或，則點(diǎn)是的外心 2.三角形中垂線的交點(diǎn)。 3.正弦定理【變式演練】 1.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O為△ABC的外心，G為△ABC的重心，則OG的最小值為 A．1 B． C．1 D．【答案】D 首先根據(jù)條件解△ABC可得：C和△ABC外接圓的半徑R，由此建立直角坐標(biāo)系，可得：.A（，0），B（，0），外心O為（0，），重心G.從而求得|OG|2sinθ，即可得解. 【詳解】A=5sin（B），c=5，∴acsin（B），由正弦定理可得：sinAsinC （sinB+cosB）， ∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinCcosB，化為：sinBcosC=sinCsinB，sinB0， ∴cosC=sinC，即tanC=1，C∈（0，π）.∴C.∴△ABC外接圓的半徑R . 如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.A（，0），B（，0），O（0，）. △ABC外接圓的方程為：x2.設(shè)C（cosθ，sinθ）.θ∈（0，π）則G.|OG|2sinθ， ∴|OG|的最小值為：.故選：D. 2.在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，為的外心，且有，，若，，則________．【答案】或【分析】由邊角互化可得,所以，即，聯(lián)立解得，或.分兩種情況將兩邊分別同乘以向量得方程組，解得結(jié)果. 【詳解】由正弦定理得，所以，即，由條件得，聯(lián)立解得，或. 當(dāng)時(shí)，由，得，即，所以. ——————————————① 同理，由，得，即，即，所以. ② 聯(lián)立①②解得. 故. 當(dāng)時(shí)，同理可得——③，——④ 解得.故答案為：或. 3.已知是三角形的外心，若，且，則實(shí)數(shù)的最大值為 A．3 B． C． D．【答案】D 【分析】設(shè)，，，，由題設(shè)條件得到的關(guān)系：，由是三角形的外心可得，，對(duì)，消去AO，利用基本不等式求得m的范圍. 【詳解】如圖所示：設(shè)，，，，由得，化簡(jiǎn)得，由是三角形的外心可知，是三邊中垂線交點(diǎn)，得，，代入上式得，∴. 根據(jù)題意知，是三角形外接圓的半徑，可得，，代入得， ∴，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，等號(hào)成立.故選：D. 【題型四】四心2：內(nèi)心【典例分析】已知的內(nèi)角分別為，，且的內(nèi)切圓面積為，則的最小值為（） A． B．8 C． D．【答案】A 【分析】利用三角恒等變換可得，由題設(shè)有內(nèi)切圓半徑，進(jìn)而可得，由三角形面積公式、向量數(shù)量積的定義，可得，再由余弦定理及基本不等式求的范圍，進(jìn)而可得的最小值. 【詳解】由題設(shè)，，又∴，又，故，則，又的內(nèi)切圓面積為，若內(nèi)切圓半徑為，對(duì)應(yīng)邊分別為， ∴，則，易知：，∵， ∴，又，即， ∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， ∴，即，可得， ∴，在時(shí)等號(hào)成立.∴的最小值為6.故選：A 【提分秘籍】基本規(guī)律 1.角平分線的交點(diǎn)。 2.向量表示：在中，若，則直線通過的內(nèi)心 3.角平分線定理 4.面積法【變式演練】 1..已知△的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為若，且△內(nèi)切圓面積為，則△面積的最小值為（） A． B． C． D．【答案】D 【分析】根據(jù)已知條件及正弦定理可得，由內(nèi)切圓的面積可得內(nèi)切圓半徑，最后根據(jù)及余弦定理，并結(jié)合基本不等式求的范圍，進(jìn)而求△面積的最小值. 【詳解】由題設(shè)，，而且， ∴，，則， ∴，由題設(shè)△內(nèi)切圓半徑，又， ∴，而，即， ∴，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. ∴.故選：D 2.設(shè)△的三邊長(zhǎng)為，，，若，，則△是（）． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B 【分析】若三角形各邊長(zhǎng)為a、b、c且內(nèi)切圓半徑為r，法一：由內(nèi)切圓的性質(zhì)有、，根據(jù)邊角關(guān)系可得或，注意討論所得關(guān)系驗(yàn)證所得關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系；法二：由半角正切公式、正弦定理可得或，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)討論所得關(guān)系判斷三角形的形狀. 【詳解】設(shè)，△的內(nèi)切圓半徑為r，如圖所示，法一： ∴①；②. ①÷②，得：，即．于是，，，從而得或， ∴或．故△為等腰三角形或直角三角形，（1）當(dāng)時(shí)，內(nèi)心I在等腰三角形的底邊上的高上，，從而得．又，代入①式，得，即，上式兩邊同時(shí)平方，得：，化簡(jiǎn)，即．即△直角三角形， ∴△為等腰直角三角形．（2）當(dāng)時(shí)，易得．代入②式，得，此式恒成立，綜上，△為直角三角形．法二：利用，及正弦定理和題設(shè)條件，得①，②. ∴③；④. 由③和④得：，即，，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，∴或，即或．（1）若，代入③得：⑤ 又，將其代入⑤，得：．變形得，即⑥，由知A為銳角，從而知．∴由⑥，得：，即，從而，．因此，△為等腰直角三角形．（2）若，即，此時(shí)③④恒成立，綜上，△為直角三角形．故選：B 3.已知內(nèi)接于半徑為2的，內(nèi)角A，B，C的角平分線分別與相交于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)，若，則 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】分別求得、、，結(jié)合已知條件，求得的值. 【詳解】連接，在三角形中，由正弦定理得，故. 同理可得、，故，故. 故選D. 【題型五】四心3：重心【典例分析】在鈍角中，分別是的內(nèi)角所對(duì)的邊，點(diǎn)是的重心，若，則的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】C 【分析】延長(zhǎng)交于，由重心性質(zhì)和直角三角形特點(diǎn)可求得，由，利用余弦定理可構(gòu)造等量關(guān)系得到，由此確定為銳角，則可假設(shè)為鈍角，得到，，，由此可構(gòu)造不等式組求得的取值范圍，在利用余弦定理可得，利用的范圍，結(jié)合為銳角可求得的取值范圍. 【詳解】延長(zhǎng)交于，如下圖所示：為的重心，為中點(diǎn)且，，，；在中，；在中，；，，即，整理可得：，為銳角；設(shè)為鈍角，則，，，，，解得：，，，由余弦定理得：，又為銳角，，即的取值范圍為.故選：C. 【提分秘籍】基本規(guī)律 1.中線交點(diǎn)。中線段的三等分點(diǎn)。 2.分割成三個(gè)形狀不同面積相等的三角形。 3.向量表示：在中，若，則直線過的重心【變式演練】 1.已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，點(diǎn)是的重心，且，則的面積為（） A． B． C．3 D．【答案】B 【詳解】分析：有正弦定理可得則由此可得由可得，由余弦定理可得，則的面積可求. 詳解：由題根據(jù)正弦定理可得則 2.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，點(diǎn)為的重心且滿足向量，若，則實(shí)數(shù) A．3 B．2 C． D．【答案】C 【詳解】如圖，連接，延長(zhǎng)交交于，由于為重心，故為中點(diǎn)，由重心的性質(zhì)得，，即由余弦定理得，，可得：，故選C． 3.已知四邊形的面積為2022，E為邊上一點(diǎn)，，，的重心分別為，，，那么的面積為___________．【答案】## 【分析】以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AD為x軸非負(fù)半軸建立坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)B，C，D，E的坐標(biāo)，由此表示出點(diǎn)，，，再借助向量探求的面積與四邊形的面積的關(guān)系即可計(jì)算作答. 【詳解】以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AD為x軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，因，，的重心分別為，，，則，，，，面積，同理可得四邊形的面積：，于是得，所以的面積為. 故答案為：【題型六】四心4：垂心【典例分析】若是垂心，且，則（） A． B． C． D．【答案】D 【分析】利用垂心的性質(zhì)，連接并延長(zhǎng)交于，得到，把已知條件中的式子化簡(jiǎn)，得到，再兩邊同乘以，利用數(shù)量積、正弦定理進(jìn)行整理化簡(jiǎn)，得到，再把化為，整理后得到值. 【詳解】在中，，由，得，連接并延長(zhǎng)交于，因?yàn)槭堑拇剐?，所以，?所以同乘以得，因?yàn)?，所以由正弦定理可?又，所以有，而，所以，所以得到，而，所以得到，故選：D. 【提分秘籍】基本規(guī)律 1.三角形三條高的交點(diǎn) 2.在中，若，則點(diǎn)是的垂心 3.多與面積有關(guān)。【變式演練】 1.點(diǎn)P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，，則點(diǎn)P的軌跡通過的　　 A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心【答案】C 【分析】對(duì)題目的式子兩邊乘以，得到所在直線為高所在直線，即可．【詳解】處理原式得到故所在的直線與三角形的高重合，故經(jīng)過垂心，故選C． 2.設(shè)是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的 A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】D 【詳解】試題分析：,, ,, 3.的垂心在其內(nèi)部，，，則的取值范圍是_____ 【答案】【分析】設(shè)，是高，就是、交點(diǎn)，得到，利用對(duì)應(yīng)邊成比例得到，在中，，，設(shè)由正弦定理可得：即可．【詳解】設(shè)，是高，就是、交點(diǎn)，那么，，，，所以，所以，所以，．在中，，，設(shè)，由正弦定理可得：. ，，，. 故答案為：．【題型七】解三角形應(yīng)用題【典例分析】某城市要在廣場(chǎng)中央的圓形地面設(shè)計(jì)一塊浮雕，彰顯城市積極向上的活力.某公司設(shè)計(jì)方案如圖，等腰的頂點(diǎn)P在半徑為20m的大⊙O上，點(diǎn)M，N在半徑為10m的小⊙O上，點(diǎn)O，點(diǎn)P在弦MN的同側(cè).設(shè)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，對(duì)于其它區(qū)域中的某材料成本最省，則此時(shí)（） A． B． C． D．【答案】C 【分析】用表示出的面積為，求導(dǎo)，令求得極值點(diǎn)，從而求得面積最大時(shí)對(duì)應(yīng)的值. 【詳解】如圖所示，等腰中，設(shè)的面積為，則求導(dǎo) 令，即，解得：（舍去負(fù)根）記，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng) ，，函數(shù)單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，即，取得極大值，即最大值.故選：C 【變式演練】 1.如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點(diǎn)處進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知點(diǎn)到墻面的距離為，某目標(biāo)點(diǎn)沿墻面上的射線移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)，需計(jì)算由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角的大小，若，則的最大值是（）.（仰角為直線與平面所成的角） A． B． C． D．【答案】D 【分析】由題可得，，過作，交于，連接，則，設(shè)，分類討論，若在線段上，則，可求出和，從而可得出，利用函數(shù)的單調(diào)性，可得出時(shí)，取得最大值；若在的延長(zhǎng)線上，同理求出和，可得出，可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；結(jié)合兩種情況的結(jié)果，即可得出結(jié)論．解：，，由勾股定理知，，過點(diǎn)作交于，連結(jié)，則，設(shè)，若在線段上，則，由，得，在直角中，，，令，則函數(shù)在，單調(diào)遞減，時(shí)，取得最大值為；若在的延長(zhǎng)線上，，在直角中，，，令，則可得時(shí)，函數(shù)取得最大值.故答案為：． 2.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶左《數(shù)書九章》中記述了了“一斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則的面積，根據(jù)此公式，若，且，則的面積為（） A． B． C． D．【答案】B 【分析】由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，求得，再結(jié)合已知及余弦定理，求得的值，代入已知公式，即可求解. 【詳解】由題意，因?yàn)椋裕?即，又由，所以，由因?yàn)椋?，所以，即?因?yàn)椋?由余弦定理可得，解得，則的面積為.故選：B. 3.如圖，某景區(qū)內(nèi)有一半圓形花圃，其直徑為，為圓心，且，在上有一座觀賞亭，其中，計(jì)劃在圓弧上再建一座觀賞亭，記，當(dāng)越大時(shí)，游客在觀賞亭處的觀賞效果越佳，則觀賞效果最佳時(shí)，（） A． B． C． D．【答案】A 【分析】設(shè)，在中，由正弦定理得，變形可得，記求導(dǎo)可得，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系分析可得答案．【詳解】解：設(shè)，在中，，，由正弦定理得，即，所以，從而，其中，，所以，記，則，，令，，存在唯一使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，最大，即最大，又為銳角，從而最大，此時(shí)，故選：. 【題型八】超難壓軸小題1 【典例分析】在中，，點(diǎn)在邊上，且，設(shè)，則當(dāng)k取最大值時(shí)，（） A． B． C． D．【答案】B 【分析】根據(jù)，利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而求得A，根據(jù)點(diǎn)在邊上，且，得到，再由余弦定理結(jié)合兩邊平方，得到，令，得到，用基本不等式法或者導(dǎo)數(shù)法求得最大值時(shí)a，b，c的關(guān)系，再利用正弦定理求解. 【詳解】因?yàn)椋?，即?因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以?因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，且，所以，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，，所以，即，即，所以，令，得，下面采用基本不等式和導(dǎo)數(shù)兩種方法求解：方法一：利用基本不等式求解：，要使最大，需最大，當(dāng)取最大值時(shí)，必有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以時(shí)，有最大值，的最大值為，此時(shí)，所以，解得，在中，由正弦定理得，解得，即.下面采用導(dǎo)數(shù)的方法求解：求導(dǎo)得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，所以，解得，在中，由正弦定理得，解得，即.故選：B. 【變式演練】 1.在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，的面積為S，若，則（） A． B． C．的最大值為 D．的最大值為1 【答案】C 【分析】由三角形面積公式列出等式可得，可化簡(jiǎn)判斷A錯(cuò)誤；結(jié)合已知條件利用余弦定理可得，B錯(cuò)誤；利用余弦定理及輔助角公式可得，根據(jù)三角函數(shù)的有界性可求得最大值，C正確；由根據(jù)角A的范圍可求得的范圍從而求得的范圍. 【詳解】在中，，，，故A錯(cuò)誤；由余弦定理知①，則，所以，故B錯(cuò)誤；由①可知，即，其中，當(dāng)時(shí)，取得最大值，C正確；，，，則，所以的最小值為1，D錯(cuò)誤. 故選：C 2.已知非等腰的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且，若為最大邊，則的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】A 【分析】先將，轉(zhuǎn)化為，即，再根據(jù)為最大邊，得到，然后由余弦定理得到，再利用基本不等式得到即可. 【詳解】因?yàn)椋?，即?即即，所以，因?yàn)闉樽畲筮叄?所以，由余弦定理得，所以，即，又，所以，所以.故選：A 3.設(shè)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，若直線上存在點(diǎn)Q使得，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（） A． B． C． D．【答案】C 由可得，由正弦定理得出，再根據(jù)原點(diǎn)到直線的距離小于等于4即可求出k的范圍. 【詳解】設(shè)，則，整理可得，故，在中，，則，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，則需滿足，，解得或.故選：C. 【題型九】超難壓軸小題2 【典例分析】已知的三條邊，，滿足，，分別以邊，為一邊向外作正方形，.如圖，分別為兩個(gè)正方形的中心（其中，，三點(diǎn)不共線），則當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的面積為（） A． B． C．2 D．【答案】A 【分析】用余弦定理把，令，把變形為，看成關(guān)于的函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)的觀點(diǎn)解決最值問題即可. 解：如圖，連接、，由題意可知，，. 在△中，設(shè)，則由基本不等式，可知（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）. ，設(shè)，則，令且，解得，時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減. 的值最大時(shí)，，此時(shí). .故選：A. 【變式演練】 1.在中，是邊上一點(diǎn)，且，，若是的中點(diǎn)，則______；若，則的面積的最大值為_________．【答案】【分析】若是的中點(diǎn)，則，，在中，由余弦定理得，在中，可得，即可求得的值；若，作，，可求得，由余弦定理可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得的最大值，進(jìn)而求得的最大值. 【詳解】若是的中點(diǎn)，則，在中，由余弦定理可得即，整理得，即，所以在中，由余弦定理得即，所以若，，，由上述知作于點(diǎn)E，由，知，作于點(diǎn)F，所以在邊上的高為，所以因?yàn)?，，，所?由余弦定理得即當(dāng)時(shí)，有最大值，即，則所以故答案為：， 2.△內(nèi)接于半徑為2的圓，三個(gè)內(nèi)角，，的平分線延長(zhǎng)后分別交此圓于，，.則的值為_____________. 【答案】【分析】連，由正弦定理得，利用三角形內(nèi)角和性質(zhì)得，進(jìn)而利用積化和差公式、誘導(dǎo)公式得，同理求、，即可求值. 【詳解】連，則， ∴，同理可得：，. ∴，即. 3.在平面四邊形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，則四邊形ABCD面積的最大值為（） A． B． C． D．【答案】A 【分析】通過余弦定理分別表示BD，從而找到角A，C的關(guān)系，將四邊形的面積用角A，C表示，從而求得面積的最大值. 【詳解】由余弦定理知：在中，有，在中，有，則，由四邊形的面積=三角形ABD的面積+三角形BCD的面積，故，在三角形中，易知，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，故，故選：A. 1.在中，，，點(diǎn)在邊上，且，則的取值范圍是 A． B． C． D．【答案】A 【分析】取中點(diǎn)，根據(jù)平面向量基本定理可將已知數(shù)量積化為，根據(jù)數(shù)量積定義得到；利用余弦定理表示出，代入化簡(jiǎn)得到；根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊和臨界點(diǎn)的情況可最終確定取值范圍. 【詳解】取中點(diǎn)，則，當(dāng)重合時(shí)，，不合題意三點(diǎn)構(gòu)成在中，由余弦定理得：，即當(dāng)與或重合時(shí)，綜上所述：故選： 2.若，，則的最大值為 A． B． C． D．【答案】A 【分析】設(shè)，則，利用余弦定理可求得，再利用三角形的面積公式可求得，繼而可求，從而可得面積的最大值．【詳解】依題意，設(shè)，則，又，由余弦定理得：，即，，，．，，當(dāng)，即時(shí)，，．故選． 3.在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，b＝c，且滿足＝，若點(diǎn)O是△ABC外一點(diǎn)，∠AOB＝θ(0

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