目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、熱點(diǎn)題型歸納1
\l "_Tc17993" 【題型一】 向量基礎(chǔ)：“繞三角形”（基底拆分）1
\l "_Tc26924" 【題型二】 系數(shù)未知型“繞三角形”2
\l "_Tc12217" 【題型三】 求最值型“繞三角形”4
\l "_Tc30563" 【題型四】 數(shù)量積4
\l "_Tc30563" 【題型五】 非數(shù)量積最值型5
\l "_Tc30563" 【題型六】 向良模6
\l "_Tc30563" 【題型七】 投影向量6
\l "_Tc30563" 【題型八】 向量機(jī)巧1：極化恒等式7
\l "_Tc30563" 【題型九】 向量機(jī)巧2：等和線8
\l "_Tc30563" 【題型十】 向量機(jī)巧3：奔馳定理與面積9
\l "_Tc30563" 【題型十一】解析幾何中的向量10
\l "_Tc30563" 【題型十二】向量四心11
\l "_Tc30563" 【題型十三】綜合以應(yīng)用12
\l "_Tc30563" 【題型十四】超難小題12
\l "_Tc21895" 二、最新?？碱}組練13
【題型一】 向量基礎(chǔ)：“繞三角形”（基底拆分）
【典例分析】
我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙夾在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
基礎(chǔ)拆分的倆個(gè)公式，與位置無(wú)關(guān)。
（1）.
（2）
【變式演練】
1.如圖，在中，為中點(diǎn)，在線段上，且，則（ ）
A．B．
C．D．
2.如圖，在直角梯形中，，為邊上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，則＝（ ）
A．B．
C．D．
山東省淄博市桓臺(tái)第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題
3.，，為所在平面內(nèi)三點(diǎn)，且，，，則（ ）．
A．B．
C．D．
【題型二】 系數(shù)未知型“繞三角形”
【典例分析】
如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為( )
A．B．C．1D．

【提分秘籍】
基本規(guī)律
平面向量基本定理(平面內(nèi)三個(gè)向量之間關(guān)系)：若、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使.
（1）選定基底，則、，是唯一的
（2）處理技巧：可“繞三角形”，可待定系數(shù)，可建系 。
【變式演練】
1.如圖，正方形中，分別是的中點(diǎn)，若則（ ）
A．B．C．D．
2.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別滿足，．若，則實(shí)數(shù)＋的值為（ ）
A．B．C．D．
3.如圖，中，與交于，設(shè)，，，則為
A．B．C．D．
【題型三】 求最值型“繞三角形”
【典例分析】
在中，點(diǎn)滿足，過(guò)點(diǎn)的直線與、所在的直線分別交于點(diǎn)、，若，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.基底拆分，可得系數(shù)和定值（實(shí)質(zhì)是“等和線”）
2.也可用均值不等式，或者建系設(shè)點(diǎn)三角換元
【變式演練】
1.已知是內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2.在中，，M為線段EF的中點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
3.中， 為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)）上，且滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C．6 D．8
【題型四】 數(shù)量積
【典例分析】
已知菱形ABCD邊長(zhǎng)為2，∠B＝，點(diǎn)P滿足＝λ，λ∈R，若·＝－3，則λ的值為( )
A． B．－C． D．－
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.求解數(shù)量積，可以選擇有長(zhǎng)度或者角度關(guān)系的向量作為基底求解。
2..已知向量a，b的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式求解．
設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a·b＝a1b1＋a2b2.
通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式計(jì)算.
【變式演練】
1.如圖，在等腰直角中，，C為靠近點(diǎn)A的線段AB的四等分點(diǎn)，過(guò)C作AB的垂線l，P為垂線l上任意一點(diǎn)，則的值是
A．B．C．D．2
2.在中， ，點(diǎn)在上，，是的中點(diǎn)，，，則
A．1B．2C．3D．4
3.已知是邊長(zhǎng)為3的正三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，則（ ）.
A．B．C．D．
【題型五】 數(shù)量積最值型
【典例分析】
在中，，，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式演練】
1.已知四邊形中，，，，點(diǎn)在四邊形上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2.如圖，在平行四邊形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，且AD=DM，N是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作AM的垂線，垂足為H，當(dāng)最小時(shí)，（ ）
A．B．
C．D．
在中，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，若最小值為，則的面積為_(kāi)__________.
【題型六】 向量模
【典例分析】
若向量，，，且，則的最小值為_(kāi)________．

【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.向量的模是線段的長(zhǎng)度
2.可以借助幾何意義，也可以建系設(shè)點(diǎn)
【變式演練】
1.已知是平面上的單位向量，則的最大值是__________.
2.已知向量滿足，且，則______.
3.設(shè)，為單位向量，則的最大值是________
【題型七】 投影向量
【典例分析】
已知平面向量和滿足，則在方向上的投影的最小值為_(kāi)__________.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.向量在方向上的投影：設(shè)為、的夾角，則為在方向上的投影.

2.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量.當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為；當(dāng)時(shí)投影為；當(dāng)時(shí)投影為.
3.向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上投影的乘積.
【變式演練】
1.已知點(diǎn)、、、,則向量在方向上的投影為（ ）
A．B．C．D．
2.已知向量滿足則在上的投影的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型八】 向量技巧1：極化恒等式
【典例分析】
如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，， ，則的值是________.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
基礎(chǔ)知識(shí)：
在△中，是邊的中點(diǎn)，則.
【變式演練】
1.已知△是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（ ）

2.已知圓的方程為，點(diǎn)在直線上，線段為圓的直徑，則的最小值為
A．2B．C．3D．
3、已知球的半徑為1， 是球面上的兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)是球面上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．
【題型九】 向量技巧2：等和線
【典例分析】
在ΔABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若AD=2DB，CD=13CA+λCB，則λ＝
A．?13 B．?23 C．13 D．23
【提分秘籍】
基本規(guī)律
等和線原理：
【變式演練】
1.如圖，在ΔOMN中，A、B分別是OM、ON的中點(diǎn)，若OP=xOA+yOB（x，y∈R），且點(diǎn)P落在四邊形ABNM內(nèi)（含邊界），則y+1x+y+2的取值范圍是（ ）
A．13,23B．13,34C．14,34D．14,23
2.如圖， 中， 是斜邊上一點(diǎn)，且滿足： ,點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)的直線上，若,,則的最小值為（ ）
A．2 B． C．3 D．
3.如圖，∠BAC=2π3，圓M與AB、AC分別相切于點(diǎn)D、E，AD=1，點(diǎn)P是圓M及其內(nèi)部任意一點(diǎn)，且AP=xAD+yAE(x、y∈R)，則x+y的取值范圍是（ ）
A．1,4+23 B．4?23,4+23 C．1,2+3 D．2?3,2+3
【題型十】 向量技巧3：奔馳定理與面積
【典例分析】
設(shè)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足273，則△ABC的面積與△BOC的面積的比值為
A．6B．C．D．4
【提分秘籍】
基本規(guī)律
為內(nèi)一點(diǎn)，，則.
重要結(jié)論：，，.
結(jié)論1：對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn)， 若、、的面積分別為、、，則：
.
即三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對(duì)的三角形的面積.
結(jié)論2：對(duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)在的外部，并且在的內(nèi)部或其對(duì)頂角的內(nèi)部所在區(qū)域時(shí)，則有.
結(jié)論3：對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn)， 若，則、、的面積之比為.
即若三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對(duì)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.
結(jié)論4：對(duì)于所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點(diǎn)，，則、、的面積分別為.
【變式演練】
1.設(shè)，過(guò)作直線分別交（不與端點(diǎn)重合）于，若，，若與的面積之比為，則
A．B．C．D．
2.為三角形內(nèi)部一點(diǎn)，??均為大于1的正實(shí)數(shù)，且滿足，若??分別表示??的面積，則為（ ）
A．B．C．D．
3.已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則與的面積之比為（ ）
A．B．C．3D．
【題型十一】 解析幾何中的向量
【典例分析】
已知點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式演練】
1.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓上一點(diǎn)滿足，則
A. B. C. D.
2.如圖所示，已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)與的焦點(diǎn)不重合，分別延長(zhǎng)到，使得，，是橢圓上一點(diǎn)，延長(zhǎng)到，若，則（ ）
A．10 B．5 C．6 D．3
【題型十二】 向量四心
【典例分析】
已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，，則點(diǎn)O，N，P依次是的 （ ）
A、重心 外心 垂心 B、重心 外心 內(nèi)心 C、外心 重心 垂心 D、外心 重心 內(nèi)心
【提分秘籍】
基本規(guī)律
在中：
1.重心：
2.外心：
3.內(nèi)心：向量()所在直線過(guò)內(nèi)心(是角平分線所在直線)
4.垂心：
【變式演練】
1.已知外接圓的圓心為，，，為鈍角，是邊的中點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
2.已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足,, 則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 內(nèi)心
3.已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足, , 則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 內(nèi)心
【題型十三】 綜合應(yīng)用
【典例分析】
已知，是半徑為的圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段是圓的直徑，則的取值范圍是（ ）
A．[?2,12]B．[?2,0]C．[?4,12]D．[?4,0]
【變式演練】
1.．已知向量a,滿足|a|=2，?a,b?=60°，且c=?12a+tb(t∈R)，則|c|+c-a的最小值為（ ）
A．934B．4C．213D．13
2.設(shè)，，為非零不共線向量，若a?tc+1?tb≥a?ct∈R，則（ ）
A．a(chǎn)+b⊥a?cB．a(chǎn)+b⊥b+c
C．a(chǎn)+c⊥a+bD．a(chǎn)?c⊥b+c
3.已知平面向量akk=1,2,...,6滿足：ak=kk=1,2,...,6，且a1+a2+...+a6=0，則a1+a2?a5+a6的最大值是（ ）
A．9B．10C．12D．14
【題型十四】 超難小題
【典例分析】
已知向量與的夾角為，且，向量滿足，且，記向量在向量與方向上的投影分別為x?y.現(xiàn)有兩個(gè)結(jié)論：①若，則；②的最大值為.則正確的判斷是（ ）
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
【變式演練】
1.已知平面向量的夾角為，滿足．平面向量在上的投影之和為2，則的最小值是___．
2.已知平面向量，，滿足：，，則的最小值是_________.
3.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，M，N分別為邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，以MN為邊作等邊，使得點(diǎn)A，P位于直線MN的兩側(cè)，則的最小值為_(kāi)_____．
1.如圖所示，在中，設(shè)，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)恰為，則（）
A．B．C．D．

2.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段CD上，且，AE與BF交于點(diǎn)P，若，則（ ）
A．B．C．D．

3.如圖，直角梯形 中，已知，，動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，且，則的最小值是（ ）
A．3B．C．4D．

4.邊長(zhǎng)為6的正三角形中，為中點(diǎn)，在線段上且，若與交于，則（ ）
A．-12B．-9C．D．

5.如圖梯形，且，，在線段上，，則的最小值為
A．B．C．D．

6. 如圖，在平面四邊形中，為的中點(diǎn)，且，．若， 則的值是 ．
7.已知點(diǎn)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，，則，，的面積之比為（ ）
A．B．C．D．

8.已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若(其中P為平面上任意一點(diǎn)), 則O點(diǎn)是△ABC的( )
A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心

9. 在中，邊上的高線為，點(diǎn)位于線段上，若，則向量在向量上的投影為（ ）
A． B．1 C．1或 D．或
10.是邊長(zhǎng)為6的正三角形，點(diǎn)C滿足，且，，，則的取值范圍是__________．

11.已知平面向量滿足，，向量滿足，當(dāng)與的夾角余弦值取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)的值為_(kāi)___________.

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線C:y2=2px()的焦點(diǎn)為F，直線x=3與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，｜AF|=4，圓E為的外接圓，直線OM與圓E切于點(diǎn)M，點(diǎn)N在圓E上，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．

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