(全國(guó)通用)高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練專題10-3 概率小題基礎(chǔ)（原卷+解析）學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、熱點(diǎn)題型歸納1
\l "_Tc17993" 【題型一】古典概型1
\l "_Tc26924" 【題型二】幾何概型1：長(zhǎng)度角度型2
\l "_Tc12217" 【題型三】幾何概型2：面積型2
\l "_Tc30563" 【題型四】幾何概型3：體積型4
\l "_Tc30563" 【題型五】幾何概型4：坐標(biāo)系型5
\l "_Tc30563" 【題型六】幾何概型5：線性規(guī)劃型6
\l "_Tc30563" 【題型七】幾何概型6：近似估值應(yīng)用型7
\l "_Tc30563" 【題型八】幾何概型7：導(dǎo)數(shù)函數(shù)等8
\l "_Tc30563" 【題型九】幾何概型3：微積分型（理科）8
\l "_Tc30563" 【題型十】圓錐曲線中的幾何概型9
\l "_Tc30563" 【題型十一】綜合應(yīng)用10
\l "_Tc21895" 二、最新?？碱}組練11
【題型一】古典概型
【典例分析】
已知數(shù)據(jù)1，2，3，4，的平均數(shù)與中位數(shù)相等，從這5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)，則這2個(gè)數(shù)字之積大于5的概率為
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
P(A)＝eq \f(事件A包含的可能結(jié)果數(shù),試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù))＝eq \f(m,n).
【變式演練】
1.已知函數(shù)，其中，則函數(shù)在上是增函數(shù)的概率為
A．B．C．D．
2.．投擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，則向上的點(diǎn)數(shù)之積為6的概率等于
A．B．C．D．
3.籠子中有2只雞和2只兔，從中依次隨機(jī)取出一只動(dòng)物，直到4只動(dòng)物全部取出.如果將兩只兔子中的某一只起名為“長(zhǎng)耳朵”，則“長(zhǎng)耳朵”恰好是第2只被取出的動(dòng)物的概率為（）
A．B．C．D．
【題型二】幾何概型1：長(zhǎng)度角度
【典例分析】
在矩形中，，在邊上隨機(jī)取一點(diǎn)，若是最大邊的概率為，則（）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
【變式演練】
1.如圖所示，兩半徑相等的圓，圓相交，為它們的公切線段，且兩塊陰影部分的面積相等，在線段上任取一點(diǎn)，則在線段上的概率為（）
A．B．C．D．
2.在區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率為
A．B．C．D．
3.任取，直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的概率為
A．B．C．D．
【題型三】幾何概型2：面積
【典例分析】
【提分秘籍】
基本規(guī)律
【變式演練】
1.古希臘雅典學(xué)派算學(xué)家歐道克薩斯提出了“黃金分割”的理論，利用尺規(guī)作圖可畫(huà)出已知線段的黃金分割點(diǎn)，具體方法如下：取線段，過(guò)點(diǎn)作的垂線，并用圓規(guī)在垂線上截取，連接；以為圓心，為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)；以為圓心，以為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為線段的黃金分割點(diǎn)．如圖所示，在中，扇形區(qū)域記為Ⅰ，扇形區(qū)域記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為，，，（參考數(shù)據(jù)：）則
A．B．
C．D．
2.公元前5世紀(jì)下半葉開(kāi)奧斯地方的希波克拉底解決了與化圓為方有關(guān)的化月牙形為方．如圖，以O(shè)為圓心的大圓直徑為1，以AB為直徑的半圓面積等于AO與BO所夾四分之一大圓的面積，由此可知，月牙形（圖中陰影部分）區(qū)域的面積可以與一個(gè)正方形的面積相等．現(xiàn)在在兩個(gè)圓所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)來(lái)自于陰影所示月牙形區(qū)域的概率是（）
A．B．C．D．
3.中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù)，蘊(yùn)涵了極致的數(shù)學(xué)美和豐富的傳統(tǒng)文化信息.現(xiàn)有一幅剪紙的設(shè)計(jì)圖，其中的個(gè)小圓均過(guò)正方形的中心，且內(nèi)切于正方形的兩鄰邊.若在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黑色部分的概率為
A．B．C．D．
【題型四】幾何概型3：體積
【典例分析】
如圖來(lái)自某中學(xué)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組所研究的幾何圖形，大球內(nèi)有4個(gè)小球，每個(gè)小球的球面過(guò)大球球心且與大球球面有且只有1個(gè)交點(diǎn)，4個(gè)小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，小球相交部分(圖中陰影部分)記為Ⅰ，大球內(nèi)、小球外的部分(圖中黑色部分)記為Ⅱ，若在大球中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取Ⅰ，Ⅱ的概率分別記為，，則（）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
【變式演練】
1.在正四面體體積為，現(xiàn)內(nèi)部取一點(diǎn)，則的概率為（）
A．B．C．D．
2.某四面體的三視圖如下圖所示，已知其正視圖、側(cè)視圖、俯視圖是全等的等腰直角三角形，記命題從該四面體的四個(gè)面所在的平面中任取兩個(gè)，取到的兩個(gè)平面互相垂直的概率為；命題設(shè)該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一個(gè)正方體的頂點(diǎn)，從這個(gè)正方體中任取一點(diǎn)，取自四面體內(nèi)的概率為．則下列命題為真命題的是（）
A．B．C．D．
3.如圖，三棱錐的四個(gè)面都為直角三角形，平面，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，現(xiàn)在球O內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自三棱錐內(nèi)的概率為（）
A．B．C．D．
【題型五】幾何概型4：坐標(biāo)系型
【典例分析】
甲乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?小時(shí)，假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)到達(dá),試求這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待的概率（）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
兩個(gè)事件之間相互獨(dú)立的，可以設(shè)兩個(gè)變量，構(gòu)造坐標(biāo)系
【變式演練】
1.甲乙兩人各自在300米長(zhǎng)的直線形跑道上跑步，則在任一時(shí)刻兩人在跑道上相距不超過(guò)50米的概率是多少
A．B．C．D．
2.國(guó)慶節(jié)前夕，甲、乙兩同學(xué)相約10月1日上午8:00到8:30之間在7路公交赤峰二中站點(diǎn)乘車去紅山公園游玩，先到者若等了10分鐘還沒(méi)有等到后到者，則需發(fā)短信聯(lián)系．假設(shè)兩人的出發(fā)時(shí)間是獨(dú)立的，在8:00到8:30之間到達(dá)7路公交赤峰二中站點(diǎn)是等可能的，則兩人不需要發(fā)短信聯(lián)系就能見(jiàn)面的概率是
A．B．C．D．
3.近期，新冠疫苗第三針加強(qiáng)針開(kāi)始接種，接種后需要在留觀室留觀滿半小時(shí)后才能離開(kāi).甲?乙兩人定于某日上午前往同一醫(yī)院接種，該醫(yī)院上午上班時(shí)間為7：30，開(kāi)始接種時(shí)間為8：00，截止接種時(shí)間為11：30.假設(shè)甲?乙在上午時(shí)段內(nèi)的任何時(shí)間到達(dá)醫(yī)院是等可能的，因接種人數(shù)較少，接種時(shí)間忽略不計(jì).則甲?乙兩人在留觀室相遇的概率是（）
A．B．C．D．
【題型六】幾何概型5：線性規(guī)劃
【典例分析】
在不等式組所確定的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均大于1的概率是（）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
多限制條件，構(gòu)造線性規(guī)劃求解
【變式演練】
1.定義：在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)滿足的概率為
A．B．C．D．
2.若，滿足不等式組，則成立的概率為
A．B．C．D．
3.在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則滿足的概率為（）
A．B．C．D．
【題型七】幾何概型6：近似估值應(yīng)用
【典例分析】
關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)的值：先請(qǐng)全校名同學(xué)每人隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè)都小于的正實(shí)數(shù)對(duì)；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)估計(jì)的值，那么可以估計(jì)的值約為（）
A．B．C．D．
【變式演練】
1.南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之，利用“割圓術(shù)”得出圓周率的值在與之間，成為世界上第一把圓周率的值精確到位小數(shù)的人，他的這項(xiàng)偉大成就比外國(guó)數(shù)學(xué)家得出這樣精確數(shù)值的時(shí)間，至少要早一千年，創(chuàng)造了當(dāng)時(shí)世界上的最高水平.我們用概率模型方法估算圓周率，向正方形及其內(nèi)切圓隨機(jī)投擲豆子，在正方形中的顆豆子中，落在圓內(nèi)的有顆，則估算圓周率的值為
A．B．C．D．
2.為了近似估計(jì)π的值，用計(jì)算機(jī)分別產(chǎn)生90個(gè)在[?1,1]的均勻隨機(jī)數(shù)x1,x2,?,x90和y1,y2,?,y90，在90組數(shù)對(duì)中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)有25組數(shù)對(duì)滿足{y≤tanπ4x(x+1)2+(y?1)2≤4，則以此估計(jì)的π值為_(kāi)_______．
3.關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐試驗(yàn)，受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的試驗(yàn)來(lái)估計(jì)的值，試驗(yàn)步驟如下：①先請(qǐng)高二年級(jí)名同學(xué)每人在小卡片上隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)；②若卡片上的，能與構(gòu)成銳角三角形，則將此卡片上交；③統(tǒng)計(jì)上交的卡片數(shù)，記為；④根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)，估計(jì)的值.那么可以估計(jì)的值約為
A．B．C．D．
【題型八】幾何概型7：導(dǎo)數(shù)函數(shù)等綜合
【典例分析】
設(shè)函數(shù)，若是從三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，是從五個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，那么恒成立的概率是（）
A．B．C．D．
【變式演練】
1.已知都是定義在R上的函數(shù), ，在有窮數(shù)列 (n=1,2,…,10）中，任意取前k項(xiàng)相加，則前k項(xiàng)和不小于的概率是
A．B．C．D．
2.已知實(shí)數(shù)，則函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的概率為
A．B．C．D．
【題型九】幾何概型8：微積分型（理）
【典例分析】
如圖，設(shè)D是圖中邊長(zhǎng)分別為1和2的矩形區(qū)域，E是D內(nèi)位于函數(shù)y＝（x＞0）圖象下方的區(qū)域（陰影部分），從D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)M，則點(diǎn)M取自E內(nèi)的概率為
A．B．
C．D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
利用定積分求面積算概率，此專題可做了解
【變式演練】
1.如圖，在直角坐標(biāo)系中，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別為，向矩形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為
A．B．C．D．
2.某數(shù)學(xué)愛(ài)好者設(shè)計(jì)了一個(gè)商標(biāo)，如果在該商標(biāo)所在平面內(nèi)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則商標(biāo)的邊緣輪廓AOC恰是函數(shù)的圖像的一部分，邊緣輪廓線AEC恰是一段所對(duì)圓心角為的圓?。粼趫D中正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在商標(biāo)區(qū)域內(nèi)的概率為
A．B．C．D．
3.不等式組表示的點(diǎn)集記為A，不等式組表示的點(diǎn)集記為B，在A中任取一點(diǎn)P，則的概率為
A．B．C．D．
【題型十】圓錐曲線中的幾何概型
【典例分析】
已知在雙曲線中，參數(shù)都通過(guò)隨機(jī)程序在區(qū)間上隨機(jī)選取，其中，則雙曲線的離心率在之內(nèi)的概率為（）
A．B．C．D．
【變式演練】
1.已知在橢圓方程中，參數(shù)都通過(guò)隨機(jī)程序在區(qū)間上隨機(jī)選取，其中，則橢圓的離心率在之內(nèi)的概率為
A．B．C．D．
2.已知直線y=k(x+14)與曲線y=x恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，記的所有可能取值構(gòu)成集合，是橢圓x216+y29=1上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P1(x1,y1)與點(diǎn)關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱，記y1?14的所有可能取值構(gòu)成集合，若隨機(jī)從集合中分別抽出一個(gè)元素λ1,λ2，則λ1>λ2的概率是___．
【題型十一】綜合應(yīng)用
【典例分析】
中華人民共和國(guó)的國(guó)旗是五星紅旗，旗面左上方綴著五顆黃色五角星，四顆小星環(huán)拱在一顆大星之后，并各有一個(gè)角尖正對(duì)大星的中心點(diǎn)，象征著中國(guó)共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)下的革命人民大團(tuán)結(jié)和中國(guó)人民對(duì)黨的衷心擁護(hù).五角星可以通過(guò)正五邊形連接對(duì)角線得到，如圖所示，在正五邊形ABCDE內(nèi)部任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率為
A．B．C．D．
【變式演練】
1.如下圖所示，陰影部分由六個(gè)全等的三角形組成，每個(gè)三角形是底邊為圓的半徑，頂角為的等腰三角形，若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落到陰影部分內(nèi)的概率為（）
A．B．C．D．
2.如圖，在矩形ABCD中，，，在矩形ABCD中隨機(jī)取一點(diǎn)，則點(diǎn)與，的距離都不小于2的概率為（）
A．B．C．D．
3.在曲線上及其內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自圓上及其內(nèi)部的概率為_(kāi)_____．
1.已知圓：與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，圓與直線：交于兩點(diǎn)，那么在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在內(nèi)的概率為
A．B．C．D．

2.（理）已知實(shí)數(shù)滿足,則函數(shù)存在極值的概率為
A．B．C．D．

3.在面積為 1 的正方形中任意取一點(diǎn) ，能使三角形，，，的面積
都大于的概率為
A．B．C．D．

4.，表示不大于的最大整數(shù)，如，，且，，，，定義：.若，則的概率為
A．B．C．D．

5.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，向中隨機(jī)投一點(diǎn)，則所投點(diǎn)在中的概率是（）
A．B．C．D．
6.將一顆骰子投擲兩次，第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別記為，設(shè)直線與平行的概率為，相交的概率為，則圓上到直線的距離為的點(diǎn)有
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

7.在區(qū)間中隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，則事件“直線與圓相交”發(fā)生的概率為
A．B．C．D．

8.在區(qū)間內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，使得不等式成立的概率為（）
A．B．C．D．

9.甲、乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?個(gè)小時(shí)，假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間中隨機(jī)到達(dá)，若兩船有一艘在停泊位時(shí)，另一艘船就必須等待，則這兩艘輪船?？坎次粫r(shí)都不需要等待的概率為（）
A．B．C．D．

10.由于2020年湖北省景區(qū)免費(fèi)向外開(kāi)放，某校高三3個(gè)畢業(yè)班決定組織學(xué)生們前去武漢參觀“黃鶴樓公園”“武漢歸元寺”“武漢博物館”，若每個(gè)景區(qū)至少有一個(gè)班級(jí)參觀，每個(gè)班級(jí)至少參觀一處景區(qū)且最多參觀一個(gè)景區(qū)，則甲班級(jí)不參觀“武漢歸元寺”的概率為（）
A．B．C．D．

11.螢石晶體常呈立方體、八面體或立方體的穿插雙晶，集合體呈粒狀或塊狀．如圖是某螢石晶體的八面體結(jié)構(gòu)，若各面均為邊長(zhǎng)為1的正三角形，為正方形，則在四邊形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于1的概率為（）
A．B．C．D．

11.若一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字之和為10，則稱這個(gè)三位數(shù)“十全十美數(shù)”，如208，136都是“十全十美數(shù)”，現(xiàn)從所有三位數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)恰為“十全十美數(shù)”的概率是____________

12.若點(diǎn)集，設(shè)點(diǎn)集
現(xiàn)向區(qū)域M內(nèi)任投一點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域P內(nèi)的概率為（）
A．B．C．D．

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