(全國通用)高考數(shù)學(xué)二輪熱點題型歸納與變式演練專題10-4 排列組合小題歸類（理）（原卷+解析）學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、熱點題型歸納1
\l "_Tc17993" 【題型一】人坐座位模型1：捆綁與插空1
\l "_Tc26924" 【題型二】人坐座位模型2：染色（平面）2
\l "_Tc12217" 【題型三】人坐座位模型3：染色（立體空間）3
\l "_Tc30563" 【題型四】書架插書模型：定序4
\l "_Tc30563" 【題型五】球放盒子模型1：球不同，盒子也不同4
\l "_Tc30563" 【題型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同5
\l "_Tc30563" 【題型七】相同元素排列模型1：數(shù)字化法6
\l "_Tc30563" 【題型八】相同元素排列模型2：空車位停車等7
\l "_Tc30563" 【題型九】相同元素排列模型3：上樓梯等8
\l "_Tc30563" 【題型十】多事件限制重疊型題8
\l "_Tc30563" 【題型十一】多重限制分類討論型9
\l "_Tc30563" 【題型十二】綜合應(yīng)用10
\l "_Tc21895" 二、最新?？碱}組練11
【題型一】人坐座位模型1：捆綁與插空
【典例分析】
1.有四男生，三女生站一排，其中只有倆個女生相鄰:
2.有四男生，4女生站一排，女生若相鄰，則最多2個女生相鄰：
【提分秘籍】
基本規(guī)律
人坐座位模型：
特征：1.一人一位；2、有順序；3、座位可能空；4、人是否都來坐，來的是誰；5、必要時，座位拆遷，剩余座位隨人排列。
主要典型題：1.捆綁法;2.插空法；3.染色。
出現(xiàn)兩個實踐重疊，必要時候，可以使用容斥原理來等價處理：
容斥原理
【變式演練】
1.在某班進行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能連著出場，且女生甲不能排在第一個，那么出場順序的排法種數(shù)為
A．30B．36C．60D．72
2.某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（）
A．144B．120C．72D．48
3.2021年4月15日，是第六個全民國家安全教育日，教育廳組織宣講團到某市的六個不同高校進行國家安全知識的宣講，時間順序要求是：高校甲必須排在第二或第三個，且高校甲宣講結(jié)束后需立即到高校丁宣講，高校乙?高校丙的宣講順序不能相鄰，則不同的宣講順序共有（）
A．28種B．32種C．36種D．44種
【題型二】人坐座位模型2：染色（平面）
【典例分析】
如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)涂色，規(guī)定每個區(qū)域只能涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則A、C區(qū)域顏色不相同的概率是
A.1/7 b.2/7 c.3/7 D.4/7
【提分秘籍】
基本規(guī)律
染色問題：
1.用了幾種顏色
2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開始。
【變式演練】
1.正方體六個面上分別標(biāo)有A、B、C、D、E、F六個字母，現(xiàn)用5種不同的顏色給此正方體六個面染色，要求有公共棱的面不能染同一種顏色，則不同的染色方案有（）種.
A．420B．600C．720D．780
2.如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽傘的傘篷是由太陽光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個區(qū)域內(nèi)，且恰有一種顏色涂在相對區(qū)域內(nèi)，則不同顏色圖案的此類太陽傘最多有（）.
A．40320種B．5040種C．20160種D．2520種
3.如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法有（）
A．192B．336C．600D．以上答案均不對
【題型三】人坐座位模型3：染色（空間）:
【典例分析】
如圖所示的幾何體由三棱錐與三棱柱組合而成，現(xiàn)用種不同顏色對這個幾何體的表面涂色(底面不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有（）
A．種B．種
C．種D．種
【提分秘籍】
基本規(guī)律
空間幾何體，可以“拍扁”，轉(zhuǎn)化為平面圖形
【變式演練】
1.如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)是( )
A．420B．210C．70D．35
2.在如圖所示的十一面體中，用種不同顏色給這個幾何體各個頂點染色，每個頂點染一種顏色，要求每條棱的兩端點異色，則不同的染色方案種數(shù)為__________．
3.用五種不同顏色給三棱臺的六個頂點染色，要求每個點染一種顏色，且每條棱的兩個端點染不同顏色.則不同的染色方法有___________種.
【題型四】書架插書模型
【典例分析】
有12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（）
A．168B．260C．840D．560
【提分秘籍】
基本規(guī)律
（1）書架上原有書的順序不變；（2）新書要一本一本插；
【變式演練】
1.從A，B，C，D，a，b，c，d中任選5個字母排成一排，要求按字母先后順序排列（即按先后順序，但大小寫可以交換位置，如或都可以），這樣的情況有__________種．（用數(shù)字作答）
2.．在一張節(jié)目表上原有6個節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對順序不變，再添加進去三個節(jié)目，求共有多少種安排方法
3.書架上有排好順序的6本書，如果保持這6本書的相對順序不變，再放上3本書，則不同的放法共有（）.
A．210種B．252種C．504種D．505種
【題型五】球放盒子模型1：球不同，盒子也不同
【典例分析】
已知有5個不同的小球，現(xiàn)將這5個球全部放入到標(biāo)有編號1、2、3、4、5的五個盒子中，若裝有小球的盒子的編號之和恰為11，則不同的放球方法種數(shù)為（）
A．150B．240C．390D．1440
【提分秘籍】
基本規(guī)律
球不同，盒子不同（主要的）
方法技巧：無限制，指數(shù)冪形式，，有限制“先分組再排列”分類討論
【變式演練】
1.將5個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少1個球，至多2個球，則不同的放法種數(shù)有（）
A．30種B．90種C．180種D．270種
2.將編號分別為1，2，3，4，5的5個小球分別放入3個不同的盒子中，每個盒子都不空，則每個盒子中所放小球的編號奇偶性均不相同的概率為
A．B．C．D．
3.將A，B，C，D四個小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，若每個盒子中至少放一個球且A，B不能放入同一個盒子中，則不同的放法種數(shù)為（）
A．15B．30C．20D．42
【題型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同
【典例分析】
把1995個不加區(qū)別的小球分別放在10個不同的盒子里，使得第個盒子中至少有個球（），則不同放法的總數(shù)是
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
球相同，盒子不同
方法技巧：擋板法
【變式演練】
1.將7個相同的球放入4個不同的盒子中，則每個盒子都有球的放法種數(shù)為（）
A．22B．25C．20D．48
2.把20個相同的小球裝入編號分別為①②③④的4個盒子里，要求①②號盒每盒至少3個球，③④號盒每盒至少4個球，共有種方法.
A．B．C．D．
3.將7個相同的小球放入，，三個盒子，每個盒子至少放一球，共有（）種不同的放法．
A．60種B．36種C．30種D．15種
【題型七】相同元素排列模型1：數(shù)字化法
【典例分析】
如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓才加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為
A.24 B.18 C.12 D.9
【提分秘籍】
基本規(guī)律
數(shù)字化法：標(biāo)記元素為數(shù)字或字母，重新組合，特別適用于“相同元素”，可以和擋板法配合使用
【變式演練】
1.一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個單位或者兩個單位距離的能力，且每次飛行至少一個單位.若小蜜蜂經(jīng)過5次飛行后，停在數(shù)軸上實數(shù)3位于的點處，則小蜜蜂不同的飛行方式有多少種？
A．5B．25C．55D．75
2.跳格游戲：如圖，人從格子外只能進入第1個格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人從格子外跳到第8個格子的方法種數(shù)為
A．8種B．13種C．21種D．34種
3.如圖所示，甲?乙兩人同時出發(fā)，甲從點到，乙從點到，且每人每次都只能向上或向右走一格.則甲?乙的行走路線沒有公共點的概率為（）.
A．B．C．D．

【題型八】相同元素排列模型2：空車位停車等
【典例分析】
1.某單位有8個連在一起的車位，現(xiàn)有4輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個車位中恰好有3個連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為（）
A．240B．360C．480D．720
2.馬路上有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盞路燈，為節(jié)約用電，可以把其
中的三盞路燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，滿足條件的關(guān)燈辦法有種
【提分秘籍】
基本規(guī)律
這類題，就是簡單的數(shù)字化法，大多可以及簡潔的解決問題，參考本專題【典例分析】解法二思維
【變式演練】
1.某公共汽車站有6個候車位排成一排，甲、乙、丙三個乘客在該汽車站等候228路公交車的到來，由于市內(nèi)堵車，228路公交車一直沒到站，三人決定在座位上候車，且每人只能坐一個位置，則恰好有2個連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)是
A．48B．54C．72D．84
2.現(xiàn)有一排10個位置的空停車場，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩邊都有空車位且甲車在乙、丙兩車之間的停放方式共有_________種.
3.地面上有并排的七個汽車位，現(xiàn)有紅、白、黃、黑四輛不同的汽車同時倒車入庫.當(dāng)停車完畢后，恰有兩個連續(xù)的空車位，且紅、白兩車互不相鄰的情況有________種.
【題型九】相同元素排列模型3：上樓梯等
【典例分析】
欲登上第10級樓梯，如果規(guī)定每步只能跨上一級或兩級，則不同的走法共有
A．34種B．55種
C．89種D．144種
【提分秘籍】
基本規(guī)律
依舊可以歸結(jié)為數(shù)字化法
也可以歸結(jié)為“斐波那契數(shù)列”
【變式演練】
1.斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.因數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下被遞推的方法定義：，，.這種遞推方法適合研究生活中很多問題.比如：一六八中學(xué)食堂一樓到二樓有15個臺階，某同學(xué)一步可以跨一個或者兩個臺階，則他到二樓就餐有（）種上樓方法.
A．377B．610C．987D．1597
2.從一樓到二樓共有12級臺階，可以一步邁一級也可以一步邁兩級，要求8步走完，則從一樓到二樓共有走法．
A．12B．8C．70D．66
3.某人從上一層到二層需跨10級臺階. 他一步可能跨1級臺階，稱為一階步，也可能跨2級臺階，稱為二階步，最多能跨3級臺階，稱為三階步. 從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階. 則他從一層到二層可能的不同過程共有（）種.
A．6B．8C．10D．12
2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東賽區(qū)預(yù)賽試題
【題型十】多事件限制重疊型
【典例分析】
班班會準(zhǔn)備從含甲、乙、丙的7名學(xué)生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一個發(fā)言，且甲、乙都發(fā)言時丙不能發(fā)言，則甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰的概率為
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
可以直接法，可以間接法
【變式演練】
1.某同學(xué)計劃用他姓名的首字母，身份證的后4位數(shù)字（4位數(shù)字都不同）以及3個符號設(shè)置一個六位的密碼．若必選，且符號不能超過兩個，數(shù)字不能放在首位和末位，字母和數(shù)字的相對順序不變，則他可設(shè)置的密碼的種數(shù)為（）
A．864B．1009C．1225D．1441
2.年月日至日，北京師范大學(xué)出版集團攜手北師大版數(shù)學(xué)教材編寫組在廣東省珠海市聯(lián)合舉辦了以“新課程，我們都是追夢人”為主題的北師大版中小學(xué)數(shù)學(xué)教材交流研討會，會議期間舉辦了一場“互動沙龍”，要求從位男嘉賓，位女嘉賓中隨機選出位嘉賓進行現(xiàn)場演講，且女嘉賓至少要選中位，如果位女嘉賓同時被選中，她們的演講順序不能相鄰，那么不同演講順序的種數(shù)是（）
A． B． C． D．
3.有2輛不同的紅色車和2輛不同的黑色車要停放在如圖所示的六個車位中的四個內(nèi)，要求相同顏色的車不在同一行也不在同一列，則共有______種不同的停放方法．（用數(shù)字作答）
【題型十一】多重限制分類討論
【典例分析】
高一新生小崔第一次進入圖書館時看到了館內(nèi)樓梯（圖1），她準(zhǔn)備每次走1級或2級樓梯去二樓，并在心中默默計算這樣走完25級樓梯大概有多少種不同的走法，可是當(dāng)她走上去后發(fā)現(xiàn)（圖2）原來在13級處有一寬度達1.5米的平臺，這樣原來的走樓梯方案需要調(diào)整，請問，對于剩下的15級樓梯按分2段的走法與原來一次性走15級的走法相比較少了______種．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
有更多的限制條件，可以采取分類討論的方法。
【變式演練】
1.市內(nèi)某公共汽車站有7個候車位(成一排), 現(xiàn)有甲，乙，丙，丁，戊5名同學(xué)隨機坐在某個座位上候車,則甲，乙相鄰且丙，丁不相鄰的不同的坐法種數(shù)為______；（用數(shù)字作答）3位同學(xué)相鄰，另2位同學(xué)也相鄰，但5位同學(xué)不能坐在一起的不同的坐法種數(shù)為______.（用數(shù)字作答）
2.2021年某地電視臺春晚的戲曲節(jié)目，準(zhǔn)備了經(jīng)典京劇、豫劇、越劇、粵劇、黃梅戲、評劇6個劇種的各一個片段．對這6個劇種的演出順序有如下要求：京劇必須排在前三，且越劇、粵劇必須排在一起，則該戲曲節(jié)目演出順序共有( )種．
A．120B．156C．188D．240
3.甲、乙、丙、丁等六名退休老黨員相約去觀看黨史舞臺劇《星火》．《星火》的票價為50元/人，每人限購一張票．甲、乙、丙三人各帶了一張50元鈔，其余三人各帶了一張100元鈔．他們六人排成一列到售票處買票，而售票處一開始沒有準(zhǔn)備50元零錢，那么他們六人共有多少種不同排隊順序能使購票時售票處不出現(xiàn)找不出錢的狀態(tài)．（）
A．720B．360C．180D．90
【題型十二】綜合應(yīng)用
【典例分析】
設(shè)十人各拿一只水桶，同到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第i(i＝1，2，…，10)個人的水桶需Ti分鐘，假設(shè)Ti各不相同，當(dāng)水龍頭只有一個可用時，應(yīng)如何安排他(她)們的接水次序，使他(她)們的總的花費時間(包括等待時間和自己接水所花費的時間)最少( )
A．從Ti中最大的開始，按由大到小的順序排隊
B．從Ti中最小的開始，按由小到大的順序排隊
C．從靠近Ti平均數(shù)的一個開始，依次按取一個小的取一個大的的擺動順序排隊
D．任意順序排隊接水的總時間都不變
【變式演練】
1.由1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，從中任意抽取一個，則其恰好為“前3個數(shù)字保持遞減，后3個數(shù)字保持遞增”（如五位數(shù)“43125”，前3個數(shù)字“431”保持遞減，后3個數(shù)字“125”保持遞增）的概率是（）
A．B．C．D．
2.設(shè)A是集合的子集，只含有3個元素，且不含相鄰的整數(shù)，則這種子集A的個數(shù)為（）
A．32B．56C．72D．84
3.為迎接第24屆冬季奧林匹克運動會，某校安排甲?乙?丙?丁?戊共五名學(xué)生擔(dān)任冰球?冰壺和短道速滑三個項目的志愿者，每個比賽項目至少安排1人.則學(xué)生甲不會被安排到冰球比賽項目做志愿者的概率為（）
A．B．C．D．
1.如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽約3世紀(jì)初在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則區(qū)域涂色不相同的概率為
A．B．C．D．

2.將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法的總數(shù)是
A．540B．480C．420D．360

3.清明節(jié)前夕，某校團委決定舉辦“緬懷革命先烈，致敬時代英雄”主題演講比賽，經(jīng)過初賽，共有10人進入決賽，其中高一年級3人，高二年級3人，高三年級4人，現(xiàn)采用抽簽方式?jīng)Q定演講順序，則在高二年級3人相鄰的前提下，高一年級3人不相鄰的概率為（）
A．B．C．D．

4.10名同學(xué)合影，站成前排4人后排6人，現(xiàn)攝影師要從后排6人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是（）
A．B．C．D．

5.將編號為、、、、、的小球放入編號為、、、、、的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為（）
A．B．C．D．

6.現(xiàn)有9個相同的球要放到3個不同的盒子里，每個盒子至少一個球，各盒子中球的個數(shù)互不相同，則不同放法的種數(shù)是（）
A．28B．24C．18D．16

7.某單位有7個連在一起的車位，現(xiàn)有3輛不同型號的車需停放，如果要求剩余的4個車位中恰好有3個連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為
A．16B．18C．32D．72

8.校園某處并排連續(xù)有6個停車位，現(xiàn)有3輛汽車需要停放，為了方便司機上下車，規(guī)定：當(dāng)有汽車相鄰?fù)７艜r，車頭必須同向；當(dāng)車沒有相鄰時，車頭朝向不限，則不同的停車方法共有__________種．（用數(shù)學(xué)作答）

9.如圖，在某城市中，?兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中???是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的個交匯處.今在道路網(wǎng)?處的甲?乙兩人分別要到?處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達?處為止.則下列說法正確的是（）
A．甲從到達處的方法有種
B．甲從必須經(jīng)過到達處的方法有種
C．甲?乙兩人在處相遇的概率為
D．甲?乙兩人相遇的概率為

10.有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時每步隨機選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)7步登完樓梯的概率為___________.

11.2020年疫情期間，某縣中心醫(yī)院分三批共派出6位年齡互不相同的醫(yī)務(wù)人員支援武漢六個不同的方艙醫(yī)院，每個方艙醫(yī)院分配一人.第一批派出一名醫(yī)務(wù)人員的年齡為，第二批派出兩名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者為，第三批派出三名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者為，則滿足的分配方案的概率為（）
A．B．C．D．

12.如圖，在某海岸P的附近有三個島嶼Q，R，S，計劃建立三座獨立大橋，將這四個地方連起來，每座橋只連接兩個地方，且不出現(xiàn)立體交叉形式，則不同的連接方式有（）.
A．24種B．20種C．16種D．12種

13.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運會志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項工作可以安排，以下說法正確的是（）
A．每人都安排一項工作的不同方法數(shù)為54
B．每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為
C．如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為
D．每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是

14.羅馬數(shù)字是歐洲在阿拉伯?dāng)?shù)字傳入之前使用的一種數(shù)碼，它的產(chǎn)生標(biāo)志著一種古代文明的進步.羅馬數(shù)字的表示法如下：
其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”與“X”需要2根火柴，若為0，則用空位表示. （如123表示為，405表示為）如果把6根火柴以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰?，那么可以表示的不同的三位?shù)的個數(shù)為（）
A．87B．95C．100D．103

15.如圖為的網(wǎng)格圖，甲、乙兩人均從出發(fā)去地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到達任何一個位置（網(wǎng)格交點處）時向右走過的格數(shù)不少于向上走過的格數(shù)，記甲、乙兩人所走路徑的條數(shù)分別為、，則的值為（）
A．B．C．D．

數(shù)字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
形式
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
Ⅸ

相關(guān)學(xué)案

相關(guān)學(xué)案更多

相關(guān)學(xué)案

相關(guān)學(xué)案 更多

相關(guān)學(xué)案更多