二輪大題專練11—數(shù)列（最值）1．已知等差數(shù)列中，公差，其前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）令，，求的最大值．解：已知等差數(shù)列中，公差，其前項(xiàng)和為，，則：①，由于：，，成等比數(shù)列．所以：②，由①②得：，所以：．．（2）已知：，則：，，，由于：，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，函數(shù)的最大值為：．2．已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列滿足：．（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若對，恒成立，求正整數(shù)的值；解：（Ⅰ）數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，可得，即，解得，即；數(shù)列滿足：，可得，，，對也成立，則，；（Ⅱ），，設(shè)，，可得為遞減數(shù)列，且，，，，，可得，，，，，則中取得最小值，恒成立，可得． 3．在數(shù)1和100之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記作，再令，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，求的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)．解：（1）數(shù)1和100之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記作，由等比數(shù)列的性質(zhì)，序號的和相等，則項(xiàng)的乘積也相等知，又，，．（2），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，則當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為減函數(shù)，最大值為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為增函數(shù)，最小值為．4．已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)實(shí)數(shù)，若對于任意，都有，求的最小值．解：（1）由題意得，，又，，，即為，解得，，則；（2），，所以，設(shè)，則，令，對稱軸為，所以隨著的增大而減小，（1），（2），所以（2）（1），（2）（3）（4），所以時(shí)的最大值為（2），所以，即的最小值為1．5．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的正整數(shù)的最小值．解：（1）依題意，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減，可得，整理，得，兩邊同時(shí)減2，可得，，數(shù)列是首項(xiàng)和公比都為2的等比數(shù)列，，，，（2）由題意及（1），可得，則，，即，即，，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不等式成立，正整數(shù)的最小值為6．6.已知，，都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列，且滿足，，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和，是公差為的等差數(shù)列．（1）若數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若是不為零的常數(shù)），求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）若為常數(shù)，，．對任意，，求出數(shù)列的最大項(xiàng)（用含式子表達(dá)）．解：（1）因?yàn)?/span>，，所以，由，得，當(dāng)時(shí)，，兩式做差，可得，當(dāng)時(shí)，滿足上式，則．（2）證明：因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，即，，即，又，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，所以數(shù)列是從第二項(xiàng)起公差為得等差數(shù)列．又當(dāng)時(shí)，由，得當(dāng)時(shí)，由，得，故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．（3）解：由（2），當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?/span>，所以，即，所以，即，即，故從第二項(xiàng)起數(shù)列是等比數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，，，另外，由已知條件可得，又，，，所以，因而，令，則，故對任意的時(shí)，，恒成立，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，中最大項(xiàng)為．

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