一輪復(fù)習(xí)大題專練39—數(shù)列（最值問題1）1．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)．（2）是否存在整數(shù)，使得？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．證明：（1）數(shù)列滿足，，且，整理得，即（常數(shù)），所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故，故，（2）由于，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得，所以的最小值為10，即的最小值為10．2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的最小項(xiàng)的值．解：（1）因?yàn)?/span>，所以，則，即，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)也適合上式，所以；（2）由（1）可知，，所以，所以，當(dāng)，即，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，有最小值為．3．已知數(shù)列滿足：，．（1）求證數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，求的最大值．解：（1）證明：因?yàn)?/span>，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）得，所以，則，因?yàn)?/span>，所以，即數(shù)列為遞減數(shù)列，所以的最大值為．聲明：試4題解析著作權(quán)屬菁4．已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，成等差數(shù)列，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若存在正整數(shù)，使得，求的最小值．解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列，且，得，解得．數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）有，由得，，即．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，上式不成立；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，得．綜上，的最小值為11．5．已知是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，再從條件①條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）的最小值，并求取得最小值時(shí)的值．條件①：；條件②：．解：若選擇條件①：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得①；又，得，即②．聯(lián)立①②，解得、，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，所以，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)有最小值且最小值為．若選擇條件②：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得①；又，得即②．聯(lián)立①②，解得、，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，由于，所以當(dāng)或時(shí)有最小值且最小值為．6+6．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，1成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)．解：（1）設(shè)的首項(xiàng)為，公差為，取、2．得解得當(dāng)，時(shí)，，，經(jīng)驗(yàn)證滿足條件；當(dāng)，時(shí)，，，不滿足條件，舍去，綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2），記，在與上都是增函數(shù)（如圖所示）對數(shù)列，當(dāng)時(shí)，遞增且都大于，當(dāng)時(shí)，遞增且都小于，所以數(shù)列的最大項(xiàng)是第4項(xiàng)，值為9，最小項(xiàng)是第5項(xiàng)，值為．7．已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使成立的最小正整數(shù)的值．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?/span>，且、、成等比數(shù)列，所以，即，整理得，解得或（舍去），所以．（2）依題意：．所以數(shù)列的前項(xiàng)和．依題意：，解得，所以的最小值為51．8．無窮數(shù)列滿足：且．（1）求證：為等差數(shù)列；（2）若為數(shù)列中的最小項(xiàng)，求的取值范圍．（1）證明：由已知可得：，，是公差為1的等差數(shù)列；（2）解：由（1）可得，，結(jié)合圖象易知函數(shù)在，時(shí)取到最小值，由為數(shù)列中的最小項(xiàng)，有，解得：，的取值范圍是：．  

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