二輪大題專練14—立體幾何（計算面積、體積、距離）1．從是的中點，③是的內(nèi)心三個條件中任選一個條件，補充在下面問題中，并完成解答，在四棱錐中，底面是矩形，底面，且，，，，分別為，的中點．（1）判斷與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若是側(cè)面上的一點，且_____，求三棱錐的體積．1.解：（1）與平面平行．證明如下：連接，則與交于點，在中，，均為中點，，平面，平面，平面．（2）選擇條件①：平面，平面，，又底面是矩形，，，平面，，是的三等分點，且，，三棱錐的高為，底面，底面，，在中，為中點，，三棱錐的體積為：，選擇條件②：平面，平面，，底面是矩形，，，平面，是中點，是中點，在中，，三棱錐的高為，底面，底面，，在中，為中點，，三棱錐的體積為：．選擇條件③：平面，平面，，底面是矩形，，，平面，設(shè)的內(nèi)切圓與邊相切于點，則，平面，平面，，，三棱錐的高為，在中，，，，，底面，底面，，在中，為中點，，三棱錐的體積為：．2．如圖1，在中，，，，分別是，邊上的中點，將沿折起到△的位置，使，如圖2．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求點到平面的距離．2.（Ⅰ）證明：在圖中，，為，邊中點  所以．又，所以．在圖2中，，且，則平面．又因為平面，所以．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，且平面，所以平面平面，且平面平面，在正△中，過作，垂足為，所以平面．即為三棱錐底面上的高，在△中，．在△中，，，所以．在梯形中，．設(shè)點到平面的距離為，因為，所以，解得．即點到平面的距離為．3．如圖，平行四邊形中，，平面，，，．（1）求證：平面平面；（2）若點，分別是，的中點，求三棱錐的體積．3.解：（1）證明：因為平面，平面，所以．又，，平面平面，平面，所以平面，而平面，所以．在平行四邊形中，，所以．由平面，平面，所以，而，平面，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）由（1）可知，，而，則為等腰直角三角形，又，所以，連接，由點，分別是，的中點，所以，且，所以，則，在平行四邊形中，，為三棱錐的高，所以，所以三棱錐的體積為．4．如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點為，且平面．（1）求證：；（2）若，，，求三棱柱的高．4.解：（1）證明：連結(jié)，則為與的交點，因為側(cè)面為菱形，所以，又平面，，又，平面，平面，平面，由于平面，故．（2）作，垂足為，連結(jié)，作，垂足為，由于，，，故平面，所以．又，，平面，平面，所以平面．因為，，所以為等邊三角形，又，可得，由于，所以，由，且，得，又為的中點，所以點到平面的距離為，故三棱柱的高為．5．如圖，四棱錐中，，平面平面．（Ⅰ）若，證明：；（Ⅱ）若，，且，求的取值范圍．5.（Ⅰ）證明：設(shè)平面平面，，平面，平面，平面，又平面，平面平面，，，，，平面，平面，，即：．（Ⅱ）解：連接，在中，由余弦定理得，則，故，以點為坐標(biāo)原點，以，的方向為軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，0，，，0，0，，，，，，，，設(shè)，，，則，當(dāng)時，平面平面，又平面平面，平面平面，平面，，即，，即，由，得，又，，即，，解得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，，．的長的取值范圍為，，．6．如圖，在四棱錐中，平面平面，，分別為線段，的中點．四邊形是邊長為1的正方形，，．（1）求證：平面；（2）求直線與所成角的余弦值；（3）點在直線上，若平面平面，求線段的長．6.解：（1）證明：取線段中點，連結(jié)、，點為中點，，，四邊形是正方形，，，，，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面．（2）解：連結(jié)，，為中點，，平面，平面平面，平面平面，，，正方形，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，1，，，，0，，，1，，，，1，，設(shè)直線與所成角為，則．直線與所成角的余弦值為．（3）解：設(shè)，，，，，，，，，1，，，1，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，平面平面，，解得，． 7．如圖，四棱錐的底面是長方形，側(cè)棱底面，，是的中點．（1）證明：平面；（2）若點在線段（不包含端點）上，二面角為，且直線平面，求線段的長．7.解：（1）證明：連結(jié)，交于，連結(jié)，底面為長方形，為對角線，的中點，又是的中點，，平面，平面，平面．（2）由底面，知，，二面角為，二面角的平面角，，，底面是正方形，，以為原點，，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由，得，0，，，0，，，1，，，2，，假設(shè)上存在點，使得平面，設(shè)，，，，，則，，，2，，，，，，，，，2，，直線平面，，，解得，，．8．如圖所示，在三棱錐中，，，，點，分別為，的中點．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求四面體的體積．8.（Ⅰ）證明：因為，所以，，又，，平面，所以平面，又平面，所以，因為，為的中點，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得為三棱錐的高，又點，分別為，的中點，所以，，由余弦定理可得，又，，所以，所以，所以四面體的體積為．

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