二輪大題專練12—數(shù)列（證明不等式）1．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，且，．（Ⅰ）求的值及數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若有，求證：．解：（Ⅰ）由題意，當時，，即，化簡整理，得，解得（舍去），或，當時，由，可得，兩式相減，可得，化簡整理，得，將代入，可得，解得，當時，由，可得，兩式相減，可得，化簡整理，得，也滿足上式，數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，，；（Ⅱ）證明：，所以，故．2．已知正項數(shù)列的前項和為，．（1）計算，，，猜想數(shù)列的通項公式；（2）用數(shù)學歸納法證明數(shù)列的通項公式；（3）證明不等式對任意恒成立．解：（1）正項數(shù)列的前項和為，，當時，，解得，當時，，解得，當時，，解得，于是可猜想；證明：（2）①當時，顯然成立，②假設當時成立，即，那么時，，，，即，，當時也成立，由①②可得；證明：（3），，，問題得以證明．  3．已知數(shù)列的前項和為，滿足，．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）設為數(shù)列的前項和，求證：對任意，都有．解：（Ⅰ）數(shù)列的前項和為，滿足，①，當時，②，①②得：③，當時，④，所以（常數(shù)），所以數(shù)列和數(shù)列都為等差數(shù)列；所以．證明：（Ⅱ）由于數(shù)列滿足2，，4，1，6，3，8，5，，當為偶數(shù)時，所以，由于，則，同理，故．當為奇數(shù)時，則為偶數(shù)，．4．已知數(shù)列的前項和為，滿足，．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）設為數(shù)列的前項和，求證：對任意，都有．解：（Ⅰ）數(shù)列的前項和為，滿足，①，當時，②，①②得：③，當時，④，所以（常數(shù)），所以數(shù)列和數(shù)列都為等差數(shù)列；所以．證明：（Ⅱ）由于數(shù)列滿足2，，4，1，6，3，8，5，，當為偶數(shù)時，所以，由于，則，同理，故．當為奇數(shù)時，則為偶數(shù)，．5．已知數(shù)列滿足．（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設，，證明：．證明：（1）①，②，由得：，即，，，，又當時，有，解得：，，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，；（2）由（1）可得：，，．6．已知正項數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為，，求證：．（1）解：由，，可得：，，兩式相減得：，即，，，，，又當時，有，解得：，數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，；（2）證明：由（1）可得：，，又，，．7．已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：．解：（1）數(shù)列滿足①，當時，②，①②，得，化簡，得（常數(shù)），當時，解得，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．所以．（2）由（1）得，所以．8．已知正項數(shù)列的首項，其前項和為，且與等比中項是，數(shù)列滿足：．（Ⅰ）求，，并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）記，，證明：．解：（Ⅰ）由與等比中項是，得，①分別取，2，得，，解得，．于是有，②聯(lián)立①②可得．又，，；證明：（Ⅱ）依題意，，當時，，兩式相減即得．令外，也符合上式，，則．．9．已知數(shù)列的前項和為，且．公比大于0的等比數(shù)列的首項為，且．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）若，求證：，．解：（Ⅰ）由題意，當時，，當時，，當時，也滿足上式，，．設等比數(shù)列的公比為，則，，故，整理，得，解得（舍去），或，，．（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，，當時，，即，，，當時，，，．，．10．正項數(shù)列中，前項和為，且，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，，證明．解：（1）由，得，，，是首項為公差為的等差數(shù)列，，，，對也成立，；（2）證明：，，，兩式相減，得，所以，，下面證明，，，單調遞增，，

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