二輪大題專練13—立體幾何（證明平行、垂直）1．如圖，四面體中，，，平面．為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且．（1）求證：平面；（2）若，是的中點(diǎn)，求證：平面．證明：（1）如圖，取的中點(diǎn)為，在上取一點(diǎn)，使得，連結(jié)，，，則由，分別為，的中點(diǎn)，可得，且，又為的中點(diǎn)，則，因?yàn)?/span>，，所以，且，所以，且，故四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）設(shè)為的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，因?yàn)?/span>，，平面，，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?/span>，所以是等腰直角三角形，，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，，所以平面． 2．如圖，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，為的中點(diǎn)，在線段上．（1）為何值時(shí)，平面？（2）設(shè)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．解：（1）因?yàn)橹比庵?/span>中，面，．以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?/span>，，所以，從而，0，，，，，0，，，，，所以，設(shè)，則，0，，，所以．要使平面，只需．由，得或，故當(dāng)或2時(shí)，平面．（5分）（2）由（1）知平面的法向量為，0，．設(shè)平面的法向量為，，，則由得令得，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值．3．如圖所示的幾何體由斜三棱柱和組成，滿足：平行四邊形與、平行四邊形與、平行四邊形與分別全等，且點(diǎn)為的中點(diǎn)．（Ⅰ）若、、三點(diǎn)不共線，求證：面；（Ⅱ）若，面面，側(cè)棱和底面所成的角是，求證：面面．證明：（Ⅰ）因?yàn)?/span>的中點(diǎn)為，連接、，平行四邊形與全等，，，，，且．因?yàn)?/span>、、不共線，所以面；（Ⅱ）連接，由（Ⅰ）可知，面，同理可證面，而面面，因此面與面重合，即為平面，且面面，因此面，又面面，面，，面，且在平面的投影在直線上，即為線面角，，由，可得，即有，，又，，，故面面．4．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，AB＝BC＝2，∠ACB＝30°，AA1＝3，BC1⊥A1C，E為AC的中點(diǎn)．（1）求證：AB1∥平面C1EB；（2）求證：A1C⊥平面C1EB．證明：（1）取A1C1中點(diǎn)D，連接AD，B1D，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E為AC的中點(diǎn)．∴BE∥B1D，AEDC1，∴四邊形AEC1D是平行四邊形，∴AD∥C1E，∵AD∩DB1＝D，AD?平面ADB1，DB1?平面ADB1，BC1∩BE＝B，BC1?平面C1EB，BE?平面C1EB，∴平面ADB1∥平面C1EB，∵AB1?平面ADB1，∴AB1∥平面C1EB．（2）∵BA＝BC，E為AC的中點(diǎn)，∴BE⊥AC，又平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BE?平面ABC，∴BE⊥平面A1ACC1，又A1C?平面A1ACC1，∴BE⊥A1C．又BC1⊥A1C，BE∩BC1＝B，∴A1C⊥面C1EB．5．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PB＝PD＝3，PA＝AD＝3，點(diǎn)E，F分別為線段PD，BC的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面ABP；（2）求證：平面AEF⊥平面PCD；（3）求三棱錐C﹣AEF的體積．證明：（1）如圖，取PA的中點(diǎn)G，連接BG，EG，∵點(diǎn)E，G分別為PD，PA的中點(diǎn)，，又∵F是BC的中點(diǎn)，四邊形ABCD是正方形，∴BF∥EG且BF＝EG，故四邊形EFBG為平行四邊形，∴EF∥BG，∵BG?平面ABP，EF?平面ABP，∴EF∥平面ABP；證明：（2）由條件知，∴△PAB和△PAD都是等腰直角三角形，PA⊥AB，PA⊥AD，又∵AB∩AD＝A，AB、AD?平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD，則PA⊥CD，又∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，PA、AD?平面PAD，∴CD⊥平面PAD，得CD⊥AE，∵E是PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD，又∵PD∩CD＝D，PD、CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面PCD；解：（3）由圖可知VC﹣AEF＝VE﹣ACF，∴，即三棱錐C﹣AEF的體積為．6．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝AD＝PD＝CD，PD⊥平面ABCD．（1）證明：平面PBD⊥平面PBC；（2）是否存在一點(diǎn)E，使得PA∥平面BDE？若存在，請說明點(diǎn)E的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．解：（1）證明：因?yàn)?/span>PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC．設(shè)AB＝a，則AD＝a，CD＝2a，．取CD的中點(diǎn)M，連結(jié)BM，則DM＝CM＝a，所以DM＝AB，因?yàn)?/span>DM∥AB．所以四邊形ABMD是平行四邊形，所以BM＝AD＝a，所以，所以BD2+BC2＝2a2+2a2＝4a2＝CD2，所以DB⊥BC．因?yàn)?/span>PD∩DB＝D，PD，DB?平面PBD，所以BC⊥平面PBD．因?yàn)?/span>BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBD．（2）解：當(dāng)點(diǎn)E為PC邊上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)時(shí)（即）時(shí)，PA∥平面BDE．理由如下：連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OE，因?yàn)?/span>△AOB∽△COD，所以．因?yàn)?/span>，所以，所以，所以PA∥EO．因?yàn)?/span>EO?平面BDE，PA?平面BDE，所以PA∥平面BDE．7．如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB＝2AD．（1）求證：BD⊥平面BCC1；（2）在線段C1D1上是否存在一點(diǎn)E，使AE∥面BC1D．若存在，確定點(diǎn)E的位置并證明；若不存在，請說明理由．解：（1）證明：∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥CC1，∵底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB＝2AD．設(shè)AB＝1，則BD＝BC＝＝，∴BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC，∵CC1∩BC＝C，CC1?平面BCC1，BC?平面BCC1，∴BD⊥平面BCC1．（2）假設(shè)在線段C1D1上存在一點(diǎn)E，使AE∥面BC1D．證明如下：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝1，設(shè)E（0，b，c），則A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），C1（0，2，c），＝（﹣1，b，c），＝（1，1，0），＝（0，2，c），設(shè)平面BDC1的法向量＝（x，y，z），則，取x＝1，得＝（1，﹣1，），∵AE∥面BC1D，∴＝﹣1﹣b+2＝0，解得b＝1．∵在線段C1D1上存在一點(diǎn)E，使AE∥面BC1D，點(diǎn)E是線段C1D1的中點(diǎn)． 

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