二輪大題專練10—數(shù)列（討論奇偶）1．?dāng)?shù)列中，，，前項(xiàng)和滿足．（1）證明：為等差數(shù)列；（2）求．解：（1）證明：①，②①②：，③④④③：，，是以首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，（2）解：由（1）得是以首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，同理可得是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又，前101項(xiàng)的偶數(shù)項(xiàng)和為，前101項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)和為，．2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，即記為①．又因?yàn)?/span>，取，所以，即記為②，由①②可得，．故的通項(xiàng)公式為．（Ⅱ）由，可得且上述兩式作差可得，由可知．所以．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．故．3．已知數(shù)列滿足：，且．（1）求、的值，并證明數(shù)列為等差數(shù)列；（2）令，求．解：（1）證明：依題意，由遞推公式，可得當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，，即，解得，由，兩邊同時(shí)乘以，可得，，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，（2）解：由（1），可得，，，①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，． 4．已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列不是遞減數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值．解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，成等差數(shù)列．即，故又數(shù)列不是遞減數(shù)列，且等比數(shù)列的首項(xiàng)為數(shù)列的通項(xiàng)公式（Ⅱ）由（Ⅰ）得當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，隨的增大而減小，所以故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，隨的增大而增大，所以故綜上，對(duì)于，總有故數(shù)列的最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為5．已知等差數(shù)列的公差為2，其前項(xiàng)和，．（1）求的值及的通項(xiàng)公式；（2）在等比數(shù)列中，，，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）根據(jù)題意，等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，有，則，，，，（2），，，，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，是偶數(shù)，，．6．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答．已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，_____，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）由題意，設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為，則，，，，成等比數(shù)列，，即，化簡(jiǎn)，得，即，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，，即，方案一：選條件①，即，聯(lián)立，解得，，，方案二：選條件②，即，聯(lián)立，解得，，，方案三：選條件③，化簡(jiǎn)整理，得，，，即，，，，，（2）由題意及（1），可得當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，，．7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，．（Ⅰ）求數(shù)列和通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求．解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，則由，，，，得，解得，，（4分），．（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，，則，即，（7分）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，（10分）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．（13分）8．已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，，則，可得，，，，，解得，；（Ⅱ）證明：法一：由（Ⅰ）可得，，，，；法二：數(shù)列為等差數(shù)列，且，，，，，；（Ⅲ），當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，對(duì)任意的正整數(shù)，有，和，①，由①可得，②，①②得，，因此．數(shù)列的前項(xiàng)和．

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