二輪大題專練20—圓錐曲線（橢圓：最值范圍問(wèn)題2）1．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且橢圓過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，求面積的最大值．解：（1）由題意可得，解得：，，故橢圓的方程．（3分）（2）由題意可得直線，斜率均存在，設(shè)的斜率為，斜率為，設(shè)，，，，直線的方程為，由得：，則，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故點(diǎn)坐標(biāo)為，（6分）則，將換為，得，（8分）故面積，（10分）令，，故，，當(dāng)時(shí)，，故在，單調(diào)遞減，故，，所以面積的最大值．（12分）2．已知橢圓的焦距與短軸長(zhǎng)相等，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，為橢圓上兩點(diǎn)，是以為斜邊的直角三角形為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最大值．解：（1）由題意，可知，即，所以，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得，所以，，所以橢圓方程為．（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則直線的方程為．與橢圓聯(lián)立，得，所以，從而，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程為，與橢圓聯(lián)立，得，設(shè)，，，，則，是以為斜邊的直角三角形，，即，，所以，即，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，綜上，的最大值為3．3．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為．記的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率不為0的直線與曲線交于，兩點(diǎn)．①求證：；②求的最大值．解：（1）由題設(shè)得，化簡(jiǎn)得（3分）（2）設(shè)直線的方程為，，，，，由，△，（4分），，，（7分）②法1：直線的方程為，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以，同理可得分，（9分）令所以，（10分）由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，有最大值（12分）法2：接第二問(wèn)，由等面積法得：，（10分）令，所以，由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知，時(shí)，有最大值（12分）4．已知，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與的斜率之積為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，為橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的取值范圍．解：（1）由已知可得：，，，即可得，解得，所以橢圓的方程為．（4分）（2）由（1）知：，，設(shè)直線，，，延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn)，，由，得，△，則得，（7分）由點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱知，因?yàn)?/span>（當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．所以．所以．即．（12分） 5．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，橢圓的右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為3．（1）求橢圓的方程；（2）若在橢圓上且在第一象限，，分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線，分別交軸，軸于點(diǎn)，．①求證：為定值；②求面積的最小值．解：（1）根據(jù)題意可得，解得，，，所以橢圓的方程為．（2）①證明：由（1）可得，，設(shè)，，則直線的方程為，令，得，即點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為，令，得，即點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以，，所以因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，所以．②，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），面積的最小值為．6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，橢圓，為橢圓的上頂點(diǎn)．過(guò)原點(diǎn)的直線與圓交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，直線與橢圓的另一交點(diǎn)為．（1）若，求直線的斜率；（2）設(shè)與的面積分別為，，求的最大值．解：（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去可得，，所以得到，聯(lián)立直線與圓方程，消去可得，，所以，由得，，故，解得，因?yàn)?/span>，所以．（2）由與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得點(diǎn)坐標(biāo)，所以，，，所以，同理可得，，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，所以的最大值為．  

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