一輪大題專練3—導數（極值、極值點問題1）1．已知函數．（1）若，求曲線在點，（1）處的切線方程．（2）若，證明：存在極小值．（1）解：當時，，所以．所以（1），（1）．所以曲線在點，（1）處的切線方程為，即．（2）證明：由，得．令，則．當時，；當時，．所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為（1）．因為，所以（1），．因為在上單調遞增，所以存在，使得，在上，，在，上，，即在上，，在，上，，所以在上單調遞減，在，上單調遞增，所以存在極小值．2．已知函數，．（1）若，函數圖象上所有點處的切線中，切線斜率的最小值為2，求切線斜率取到最小值時的切線方程；（2）若有兩個極值點，且所有極值的和不小于，求的取值范圍．解：（1），，當時，，當且僅當，即時取等號，取得最小值，所以，又（1），所以，此時切線方程，即；（2），，則，因為有兩個極值點，所以在時有兩不等根，設為，，所以，解得，且，，，令，則，，所以單調遞減且，由，所以．3．已知函數的最小值為0．（Ⅰ）求；（Ⅱ）設函數，證明：有兩個極值點，，且．解：（Ⅰ），定義域是，，時，，在遞增，無最小值，不合題意，時，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故（a），解得：，綜上：；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ），則，，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在，遞增，故，而，（1），故有2個零點，，其中，，由，得：，故，當且僅當時“”成立，顯然“”不成立，故．4．已知函數，．（Ⅰ）當時，求函數的單調區(qū)間；（Ⅱ）若函數在，上有兩個極值點，求實數的取值范圍．解：（Ⅰ）當時，，則，因為，所以當時，，即在此區(qū)間上單調遞減，當時，，即在此區(qū)間上單調遞增，所以的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（Ⅱ）設函數，令，則在，上有兩個不同的零點，，故當時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減，又在，上有兩個不同的零點，所以，即，解得，故實數的取值范圍為．5．已知，．（1）當時，求證：對任意，；（2）若是函數的極大值點，求的取值范圍．解：（1）證明：當時，，則，當時，，令，則，所以在上單調遞增，又，所以當時，，，單調遞減，當時，，，單調遞增，所以，所以對任意，，（2），令，的正負與的單調性有關，且，所以，令，所以，所以當，時，，當，時，，，所以，時，，所以在，上單調遞增，，當，即時，時，，，所以在上單調遞增，又因為，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上單調遞增，不合題意，所以舍去，當時，即，，使得在，恒為負，所以在，上成立，所以在，上單調遞減，且，所以，時，，，單調遞增，時，，，單調遞減，所以在處取得極大值，所以，綜上所述，的取值范圍為．6．已知函數，．（1）若在，（1）處的切線斜率為，求函數的單調區(qū)間；（2），若是的極大值點，求的取值范圍．解：（1）的定義域是，，（1），，，令，解得：，，令，解得：或，令，解得：，故在遞增，在，遞減，在，遞增，即的遞增區(qū)間是和，，遞減區(qū)間是，．（2）由題意得，，，，令，則，，若，當時，單調遞增，故在上單調遞增，又，，故存在，使得，故當時，，在上單調遞減，又，故當時，，當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，符合題意，若，當時，，故在遞增，，在上遞增，故不可能是的極大值點，綜上，當是的極大值點時，的取值范圍是．   

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