二輪大題專練30—圓錐曲線（探索性問題2）1．已知橢圓的離心率為，橢圓與軸交于、兩點(diǎn)，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且直線，與直線分別交于、兩點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由．解：（Ⅰ）由題意可得，，即，又，解得，，即有橢圓的方程為；（Ⅱ）設(shè)，可得，即有，由題意可得，，設(shè)，，由，，共線可得，，即為，可得，由，，共線可得，，即為，可得．假設(shè)存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)．可得，即有，即．即有，化為，解得或8，由，，不重合，以及，可得不存在．2．已知橢圓，短軸端點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的距離為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，，是橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，判斷四邊形能否為矩形？并說明理由．解：（1）橢圓，短軸端點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的距離為，由題意，得，，橢圓的方程為．（2）設(shè)直線，，，，，的中點(diǎn)，，，，直線代入拋物線方程可得，△，，．①由條件，得，即，整理得，將（1）式代入得，②又，，且同時(shí)也是的中點(diǎn)，，，在橢圓上，，即，代入整理可得，③由②③解得，，驗(yàn)證知△，四邊形可以為矩形．3．在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線交于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）若，，求；（Ⅱ）曲線在點(diǎn)，處的切線相交于點(diǎn)，，分別交軸于點(diǎn)，兩點(diǎn)．是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（Ⅰ）若，則，設(shè)，，，，所以，，聯(lián)立，得，所以，，所以，因?yàn)?/span>，所以，解得．（Ⅱ）由，得，所以，所以直線的方程為，即，又，代入上式，得，同理可得直線的方程為，設(shè)，，則，且，所以，在直線上，即，又因?yàn)橹本€方程為，即，所以，，即點(diǎn)在直線上，由切線，方程得，，，，所以，，所以，所以．4．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)．為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，△面積的最大值為．過點(diǎn)的直線被橢圓截得的線段為，當(dāng)軸時(shí)，．（1）求橢圓的方程；（2）橢圓上任取兩點(diǎn)，，以，為鄰邊作平行四邊形．若，則是否為定值？若是，求出定值；如不是，請(qǐng)說明理由．解：（1）由題意：△的最大面積，．又，聯(lián)立方程可解得，，所以橢圓的方程為：．（2）設(shè)，，，，由平行四邊形法則，所以，．所以．又因?yàn)?/span>，即，即．又因?yàn)辄c(diǎn)，在橢圓上，則，，可得①，②，①②可得即，又，所以，即．又①②可得，可得．所以．5．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且其右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；（3）過點(diǎn)且不垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，試證明：直線過定點(diǎn)．（1）解：橢圓右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，，解得，橢圓的方程為：．（2）解：設(shè)直線的方程為：，，代入，得：，△恒成立．設(shè)，，，，線段的中點(diǎn)為，，則，，由，得：，直線為直線的垂直平分線，直線的方程為：，令得：點(diǎn)的橫坐標(biāo)，，，．線段上存在點(diǎn)，使得，其中．（3）證明：設(shè)直線的方程為：，，代入，得：，過點(diǎn)且不垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，由△，得：，設(shè)，，，，，，則，，則直線的方程為，令得：．直線過定點(diǎn)．6．已知拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，且兩曲線有公共點(diǎn)，．（1）求橢圓的方程；（2）橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，若過點(diǎn)且斜率不為零的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，已知直線與相交于點(diǎn)，試判斷點(diǎn)是否在一定直線上？若在，請(qǐng)求出定直線的方程；若不在，請(qǐng)說明理由．解：（1）由題意可得，解得，可得拋物線的焦點(diǎn)為，即橢圓的右焦點(diǎn)為，則，，解得，，可得橢圓的方程為；（2）由題意知與軸不垂直，設(shè)的方程為，，，，．由得，可得△，設(shè)，，，，，，，，兩兩不等，則，，，由，，三點(diǎn)共線，有①由，，三點(diǎn)共線，有②①與②兩式相除得．解得（舍去）或，所以點(diǎn)在定直線上．7．已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)，斜率為的直線不過點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，；為坐標(biāo)原點(diǎn)）．直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，說明理由．解：（1）由題意可得，解得，，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，整理得，則，，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，即，整理得，即，則直線的方程為，故直線過定點(diǎn)．8．在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過，，三點(diǎn)的圓的圓心為，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為．過定點(diǎn)作直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)．求拋物線的方程；若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值；（Ⅲ）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．解：拋物線的焦點(diǎn)，圓心在線段的垂直平分線上．因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，即．因此拋物線的方程為．依題意得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，，，，設(shè)直線的方程為，直線方程與聯(lián)立，消去得，所以由韋達(dá)定理得，．由圖可得：，當(dāng)，；（Ⅲ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，則．設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為，，，，則有．令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．   

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