二輪大題專練27—圓錐曲線（求直線方程）1．已知中心在原點(diǎn)的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）是否存在平行于的直線，使得直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，求出的方程，若不存在，說明理由．解：（1）由的面積為，則，得，所以，又點(diǎn)在橢圓上，①因?yàn)?/span>是橢圓的焦點(diǎn)，所以②由①②解得：，，所以橢圓的方程為：；（2）假設(shè)存在直線滿足題意，因?yàn)?/span>的斜率，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，△，解得，設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，則，，以為直徑的圓的方程為，該圓經(jīng)過原點(diǎn)，所以，又，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，所以存在直線滿足題意，此時(shí)直線的方程為．2．拋物線上任取兩點(diǎn)，，，．已知的垂直平分線分別交軸、軸于點(diǎn)，．（Ⅰ）若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的斜率；（Ⅱ）若的中點(diǎn)恰好在拋物線上，且，求直線的斜率．解：（Ⅰ）設(shè)直線，，，，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入，得，，則直線的斜率．（Ⅱ）由（1）得，中點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然，則，從而，，，中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，又，故，而，故，設(shè)，得，，即，又，得或，又，，故或符合，即，．  3．已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．若的面積為為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．解：（1）由題意可得，解得，．故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意可知直線的斜率不為0，則設(shè)直線的方程為，，，，．聯(lián)立，整理得，△，則，．故．因?yàn)?/span>的面積為，所以，設(shè)，則，整理得，解得，即．故直線的方程為，即．4．已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，離心率為，△的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求直線的方程．解：（1），且，解得，，，所以橢圓的方程為：（4分）（2），，設(shè)，，，，直線的斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，得，故，（7分），（9分）因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以直線的方程為或（12分）5．已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求直線的斜率．解：（1）由題意知離心率滿足，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）得，所以直線的方程為，與軸的交點(diǎn)為．由得，而，，因此．當(dāng)與軸垂直時(shí)，不合題意．當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)其方程為，聯(lián)立方程得，消去可得，設(shè)，，，，則，由得，所以，顯然不為0，兩式相除得，所以，解得．6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線同時(shí)與橢圓和拋物線相切，求直線的方程．解：（1）根據(jù)橢圓的左焦點(diǎn)為，知，又點(diǎn)在橢圓上，故，所以，所以橢圓的方程為．（2）因?yàn)橹本€與橢圓和拋物線都相切，所以斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，，代入橢圓方程整理得，由題可知此方程有唯一的解，此時(shí)△，即①，把代入拋物線的方程得，由題知此方程有唯一解，此時(shí)△，即②，聯(lián)立①②得，解得，所以或，所以直線的方程為或．7．已知橢圓的離心率，軸被曲線截得的線段長(zhǎng)為的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)．（1）求、的方程；（2）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，，直線、分別與相交于、兩點(diǎn)．①證明：；②記、的面積分別為，，問：是否存在直線，使得？請(qǐng)說明理由．解：（1）令，則，解得，，由題意得，，，解方程組得，，，所以，．（2）①證明：設(shè)直線方程：，，，由得，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，；；則，即，②設(shè)直線，直線且；設(shè)，、，，由，得，同理，由，得，得，同理得，又，則，（由已知、同號(hào)、也同號(hào)，上式中的絕對(duì)值可以去掉），又，整理得得，，不妨取，，或，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為或；所以直線方程為：，即存在直線，使得成立．8．已知橢圓的離心率為，，為上的一點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為，點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求的方程．解：（1）根據(jù)題意得：，解得，，．所以橢圓的方程為：．（2）由題意，設(shè)直線的方程為，代入得，當(dāng)△，即時(shí)，直線與橢圓相交，設(shè)，，，，則，，所以△，，設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．此時(shí)，四邊形的面積最大，直線的方程為：．9．已知點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，為的對(duì)稱中心，點(diǎn)，分別是軸，軸上的動(dòng)點(diǎn)，且．記滿足的點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）直線交于，兩點(diǎn)，射線，分別交于，兩點(diǎn)．設(shè)，的縱坐標(biāo)分別為，當(dāng)取得最小值時(shí)，求的斜率．解：（1）設(shè)點(diǎn)，，，由題意知，則，由，得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得，則，代入，得．，，故的方程為；（2）聯(lián)立，得，設(shè)，，，，則，，直線的斜率為，直線的方程為，由，得，則，同理可得，，整理得，則，由均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，此時(shí)的斜率為．10．已知橢圓，右焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為4．（1）求橢圓的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，線段中點(diǎn)為，且為坐標(biāo)原點(diǎn)），求所有滿足條件的直線方程．解：（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程為：（2）因?yàn)橹本€過點(diǎn)，若軸，則、是的短軸端點(diǎn)，顯然不滿足條件，所以設(shè)直線方程為：，設(shè)，，，，，則有，，先把的方程化為，再聯(lián)立方程得，，由，和中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，所以，所以，解得，，，所以方程為：、和．故答案為：（1）橢圓的方程為：，（2）直線方程為：、和． 

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