二輪大題專(zhuān)練21—圓錐曲線(xiàn)（橢圓：定值定點(diǎn)問(wèn)題1）1．已知橢圓短軸長(zhǎng)為2，是的左焦點(diǎn)，，是上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，周長(zhǎng)的最大值為8．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率為且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，若直線(xiàn)，的斜率分別為，，且，求直線(xiàn)的斜率，并判斷的值是否為定值？若為定值，試求出此定值；否則，說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，右交點(diǎn)為．由題意，則，當(dāng)過(guò)右焦點(diǎn)時(shí)，周長(zhǎng)取最大值，，且，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，，，由，得，，，由題知，，，（舍去）或，此時(shí)，，則，故直線(xiàn)的斜率為，．2．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且該橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，試問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)使得直線(xiàn)與直線(xiàn)恰關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）由題意可得①，由點(diǎn)在橢圓上可得②，聯(lián)立①②解得，，所以橢圓的方程為．（2）當(dāng)直線(xiàn)為非軸時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，得，△，設(shè)，，，定點(diǎn)，，，則，，直線(xiàn)與直線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，等價(jià)于直線(xiàn)，的斜率互為相反數(shù)，所以，即，因?yàn)?/span>，，所以，，所以，從而可得，即，所以當(dāng)，即，時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)直線(xiàn)為軸時(shí)，，也符合題意，綜上，存在軸上的定點(diǎn)，，使得直線(xiàn)與直線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)． 3．已知圓，點(diǎn)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，若線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)和相交于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)．動(dòng)直線(xiàn)交曲線(xiàn)于，兩點(diǎn)，且始終滿(mǎn)足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，作交于點(diǎn)．（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）證明：為定值．解：（1）由圓，可得圓心，半徑，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，又由點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，所以，所以，由橢圓的定義知，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，其中，，，所以曲線(xiàn)的方程為．（2）證明：①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)：設(shè)的方程為：，動(dòng)直線(xiàn)交曲線(xiàn)于，兩點(diǎn)，且始終滿(mǎn)足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，代入橢圓方程可得：，得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為：，．②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為：，，，，，聯(lián)立，可得．由△得，且，，又因?yàn)?/span>，所以，即，即，代入解得，，從而．綜上，為定值．4．已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為，，上、下項(xiàng)點(diǎn)分別為，，四邊形的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)、分別交直線(xiàn)于，兩點(diǎn)，判斷是否為定值，并說(shuō)明理由．解：（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程為．（2）方法1：若直線(xiàn)的斜率不存在，則直線(xiàn)方程為，此時(shí)可得，，，所以．若直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入，整理得，易得△恒成立．設(shè)，，，，，，則，由直線(xiàn)的方程可得點(diǎn)，由直線(xiàn)的方程可得點(diǎn)，所以所以綜上，為定值．方法2：顯然直線(xiàn)的斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入，整理得，易得△恒成立．設(shè)，，，，，，則，由直線(xiàn)的方程可得點(diǎn)，由直線(xiàn)的方程可得點(diǎn)，所以所以．為定值．5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，△面積的最大值為，且當(dāng)時(shí)，．（1）求橢圓的方程；（2）若直線(xiàn)與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為、，且，都不在軸上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，若橫坐標(biāo)為的點(diǎn)在直線(xiàn)上，求證：直線(xiàn)過(guò)．解：（1）依題意，①，②；由①可得，，即③；由②可得，④將④代入③中，整理可得，，即，即；因?yàn)?/span>，故，則，故橢圓的方程為；（2）證明：設(shè)，，，；①當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，，，且，故，，，這時(shí)直線(xiàn)的方程為，即．令，得，所以直線(xiàn)過(guò)；②當(dāng)直線(xiàn)不與軸垂直時(shí)，可設(shè)其方程為，代入．整理得，所以，，因?yàn)?/span>，，，，，所以直線(xiàn)的方程為．因?yàn)?/span>，，所以，這說(shuō)明直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)．綜上所述，直線(xiàn)過(guò)．6．如圖，拋物線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)、，線(xiàn)段交軸于點(diǎn)，橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別是、，且．（1）求拋物線(xiàn)與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)是線(xiàn)段上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)、分別交橢圓于點(diǎn)、，求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)與橢圓的方程分別為和，由點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，得，所以，故拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因?yàn)?/span>，，又，且所以，得．由點(diǎn)在橢圓上，所以，得．故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：設(shè)，其中，且，則直線(xiàn)、的方程分別為，．將代入，整理得，得或．當(dāng)時(shí)，，所以同理可得，所以直線(xiàn)的斜率，故直線(xiàn)的方程為．所以當(dāng)時(shí)，，這說(shuō)明直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．7．已知橢圓的離心率為，且其右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為5．（1）求的方程；（2）點(diǎn)，在上，且為原點(diǎn)），證明：存在定點(diǎn)，使得到直線(xiàn)的距離為定值．（1）解：由題意得，解得，，故橢圓的方程是．（2）證明：①若直線(xiàn)與軸垂直，由對(duì)稱(chēng)性可知，將點(diǎn)，代入橢圓方程中，解得，②若直線(xiàn)不與軸垂直，設(shè)直線(xiàn)的方程是，，，，，由，消去整理得，故，，又，則，即，故，整理得，即，因?yàn)辄c(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，故存在定點(diǎn)，到直線(xiàn)的距離為定值．綜上，存在定點(diǎn)，使得到直線(xiàn)的距離為定值．8．已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)，斜率為的直線(xiàn)不過(guò)點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，；為坐標(biāo)原點(diǎn)）．直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由．解：（1）由題意可得，解得，，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，，，聯(lián)立，整理得，則，，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，即，整理得，即，則直線(xiàn)的方程為，故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．

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