二輪大題專(zhuān)練25—圓錐曲線(xiàn)（拋物線(xiàn)：最值范圍問(wèn)題）1．如圖，已知點(diǎn)，，是拋物線(xiàn)上的三個(gè)不同的點(diǎn)，且是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．（Ⅰ）若直線(xiàn)的斜率為1，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）求三角形的面積的最小值．解：（1）直線(xiàn)的斜率為1，直線(xiàn)的傾斜角為，即，又是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，直線(xiàn)與軸平行，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)為原點(diǎn)，．（2）由對(duì)稱(chēng)性知，不妨設(shè)點(diǎn)在軸的右側(cè)（包括軸），且，，，，，則，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，得，，，，同理可得，，，，化簡(jiǎn)可得，，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故三角形的面積的最小值為1．2．已知拋物線(xiàn)，為拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，為其焦點(diǎn)，且．（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)，若直線(xiàn)、分別交直線(xiàn)于、兩點(diǎn)，求的最小值．解：（1）由拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，焦點(diǎn)為，且，解得，故拋物線(xiàn)的方程為；（2）由，設(shè)，，，，直線(xiàn)的方程為，由消去，整理得，所以，，從而有，由解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，令，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上所述，當(dāng)，即時(shí)，的最小值是．3．設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于．拋物線(xiàn)上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，且該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）自引直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于、兩個(gè)不同的點(diǎn)，設(shè)．若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由拋物線(xiàn)的方程可得準(zhǔn)線(xiàn)的方程為，由拋物線(xiàn)的性質(zhì)可得到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，所以，解得：，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為：；（2）由（1）可得點(diǎn)，由題意可得直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，設(shè)，，，，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程：，整理可得：，可得：△，即或，①，，②因?yàn)?/span>．即，，，所以，③，由若，可得：，解得：，所以：，由①②③，所以，且，實(shí)數(shù)的取值范圍，，．4．已知圓的方程為，直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，是圓的一條切線(xiàn)為切點(diǎn)），并且點(diǎn)到直線(xiàn)的距離恰好等于切線(xiàn)長(zhǎng)．（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡方程；（Ⅱ）已知直線(xiàn)的方程為，過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作（Ⅰ）中軌跡的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別是，兩點(diǎn)，求面積的最小值．解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)為，因此，整理可得，即點(diǎn)的軌跡方程為：；（Ⅱ）對(duì)拋物線(xiàn)，求導(dǎo)可得，故在，處的切線(xiàn)方程為：，整理可得：，同理在，處的切線(xiàn)方程為：，設(shè)直線(xiàn)上一點(diǎn)，，故，在直線(xiàn)上，即直線(xiàn)的方程為．聯(lián)立可得．，，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故面積的最小值為4．5．已知斜率為1的直線(xiàn)與圓切于點(diǎn)，且點(diǎn)在拋物線(xiàn)上．（1）求的值；（2）若不過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)的值．解：（1）設(shè)切線(xiàn)方程為，由題意可知到切線(xiàn)的距離，解得或舍，得切線(xiàn)方程為．設(shè)，則，可得，，由在拋物線(xiàn)上，可得，解得；（2）設(shè)，，，，由可得，所以，，，因?yàn)閳A心到直線(xiàn)的距離為，所以，所以，由于不過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)和圓均有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，解得或．令，則，，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取得等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且為．6．如圖，已知拋物線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，且（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）若直線(xiàn)的傾斜角為，求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；（2）求面積的最小值及取得最小值時(shí)直線(xiàn)的方程．解：（1）因?yàn)橹本€(xiàn)的傾斜角為，且過(guò)點(diǎn)，所以直線(xiàn)的方程為，又，所以直線(xiàn)的方程為，因?yàn)?/span>是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，所以，，所以到直線(xiàn)的距離為；（2）①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，此時(shí)，，所以的面積為；②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，易得直線(xiàn)的斜率不為0，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，可得，則△，設(shè)，，，，則，，所以，因?yàn)?/span>，所以直線(xiàn)的方程為，因?yàn)?/span>是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，所以，，所以到直線(xiàn)的距離，所以，綜上可得，，故的面積的最小值為，此時(shí)直線(xiàn)的方程為． 

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