二輪大題專練29—圓錐曲線（探索性問題1）1．已知橢圓，直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，，線段的中點為．（1）若，點在橢圓上，、分別為橢圓的兩個焦點，求的范圍；（2）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（3）若過點，射線與橢圓交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時直線斜率；若不能，說明理由．解：（1），橢圓，兩個焦點，設，，，，，的范圍是，（4分）（2）設，的坐標分別為，，，，則兩式相減，得，，即，故；（8分）（3）直線過點，直線不過原點且與橢圓有兩個交點的充要條件是且．設，，設直線，即，由（2）的結論可知，代入橢圓方程得，，（10分）由與，聯(lián)立得．（12分）若四邊形為平行四邊形，那么也是的中點，所以，即，整理得解得，．所以當時，四邊形為平行四邊形．（16分）2．在平面直角坐標系中，已知橢圓的焦距為4，且過點．（1）求橢圓的方程（2）設橢圓的上頂點為，右焦點為，直線與橢圓交于、兩點，問是否存在直線，使得為的垂心，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．解：（1）由已知可得，解得，，所以橢圓的方程為．（2）由已知可得，，，，，可設直線的方程為，代入橢圓方程整理，得．設，，，，則，，，，即．，，，即．，或．由△，得．又時，直線過點，不合要求，，故存在直線滿足題設條件．3．已知橢圓，離心率，且過點．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）若直線上有一點，且與軸交于點，過的直線交橢圓于，兩點，交直線于點，是否存在實數使得恒成立？若存在，求出；若不存在，說明理由．解：（Ⅰ）由題意可得，且，又，解得：，，所以橢圓的方程為：；（Ⅱ）當直線的斜率為0時，根據橢圓的對稱性，設，，，設點，，，又因為，所以；當直線的斜率不為0時，設，，，，，直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓的方程：，整理可得：，則，，故，易知點，則，假設存在實數，則，無解，因此不存在這樣的使得恒成立，綜上所述，只有當直線與軸重合時，．4．已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設動直線過橢圓的右焦點，且與橢圓交于，兩點．在軸上是否存在定點，使得恒成立？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）由題意得，即，又橢圓經過點，可得，解得，，所以橢圓的方程為；（2）假設存在符合條件的點，設，，，，則，，，，，①當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由，得，可得△成立，且，，，，對于任意的值，上式為定值，故，解得，此時，為定值；②當直線的斜率不存在時，直線，，，，由，得為定值，綜合①②知，符合條件的點存在，其坐標為，．5．已知橢圓的焦距為4，點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）過點引圓的兩條切線，，切線，與橢圓的另一個交點分別為，，試問直線的斜率是否為定值？若是，求出其定值，若不是，請說明理由．解：（1）橢圓的焦距為4，所以，左焦點，右焦點，則，，所以，即，則橢圓的方程為．（2）設，則，所以設，則，所以所以，是方程的兩根，即．設，，，聯(lián)立有，，．同理：．．6．已知橢圓的兩個焦點分別為，，，，以橢圓短軸為直徑的圓經過點．（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓相交于、兩點，設點，記直線，的斜率分別為，，問：是否為定值？并證明你的結論．解：（1）橢圓的兩個焦點分別為，，，，以橢圓短軸為直徑的圓經過點，，解得，，橢圓的方程為．（2）是定值．證明如下：設過的直線：或者①時，代入橢圓，，令，，，，．②代入橢圓，設，，，．則，，，，，，．7．已知橢圓的離心率為，過橢圓的左焦點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于，兩點，且橢圓截直線所得弦長為．（1）求橢圓的方程；（2）線段的垂直平分線與軸交于點，求點橫坐標的取值范圍；（3）試問在軸上是否存在一點，使得恒為定值？若存在，求出點的坐標及該定值；若不存在，請說明理由．解：（1）由題意橢圓過點，且橢圓的離心率為，則滿足方程組，解得，，所以橢圓方程為，（2）設直線的方程為，聯(lián)立方程，消去整理得，△，設點，，，，，，的中點，，則，所以，的垂直平分線的方程為，令得，因為，所以，所以點的橫坐標的取值范圍為．（3）假設存在，設，．結合第（2）問知：，所以所以設則對任意恒成立，所以，解得，，所以存在點，使得為定值．8．已知橢圓的右焦點為，右準線為．過點作與坐標軸都不垂直的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，為坐標原點，且直線與右準線交于點．（1）求橢圓的標準方程；（2）若，求直線的方程；（3）是否存在實數，使得恒成立？若存在，求實數的值；若不存在，請說明理由．解：（1）由題意可得，，解得，，則橢圓的方程為；（2）由，設的方程為，，交軸于，交于，由，可得，設，即有，解得，所以，的斜率為，由，可得，則，可得的中點的坐標為，，所以，即有，解得，則的方程為，（3）設，，由橢圓的，，且，由橢圓的焦半徑公式可得，，設的方程為，，所以，可得，，，，，，可得，，假設存在實數，使得恒成立，由，所以存在，且實數的值為1．  

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