【考綱要求】
1. 了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念．
2．在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)．
3．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段).
【命題趨勢】
1. 對函數(shù)的基本概念與定義域的考查常與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合出題．
2．考查函數(shù)的值域及最值．
3．函數(shù)的表示方法，主要考查分段函數(shù)求值，或者研究含參數(shù)的分段函數(shù)問題．
4．函數(shù)的新定義問題，主要考查函數(shù)的綜合知識，以其他知識為背景，分析后仍然用函數(shù)知識去解決，此類問題綜合性比較強.
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容主要考查數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識】
1．函數(shù)與映射的概念
(1)函數(shù)：一般地，設(shè)A，B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．
(2)映射：一般地，設(shè)A，B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個映射．
2．函數(shù)的有關(guān)概念
(1)函數(shù)的定義域、值域：
在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．
求函數(shù)定義域的策略
(1)確定函數(shù)的定義域常從解析式本身有意義，或從實際出發(fā)．
(2)如果函數(shù)y＝f(x)是用表格給出，則表格中x的集合即為定義域．
(3)如果函數(shù)y＝f(x)是用圖象給出，則圖象在x軸上的投影所覆蓋的x的集合即為定義域．
(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系．
(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).
兩函數(shù)值域與對應(yīng)關(guān)系相同時，兩函數(shù)不一定相同．
(4)函數(shù)的表示法：表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法．
3．分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．
關(guān)于分段函數(shù)的3個注意
(1)分段函數(shù)雖然由幾個部分構(gòu)成，但它表示同一個函數(shù)．
(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函數(shù)的定義域不可以相交．
【真題體驗】
1．已知數(shù)集A＝{1,2,3,4}，設(shè)f：x→y，g：x→y都是由A到A的函數(shù)，其對應(yīng)關(guān)系如下表(從上到下)，則與f(g(2))相同的是( )
表1 函數(shù)f的對應(yīng)關(guān)系
表2 函數(shù)g的對應(yīng)關(guān)系
A．g(f(1)) B．g(f(2))
C．g(f(3)) D．g(f(4))
【答案】B
【解析】 f(g(2))＝f(3)＝2，g(f(2))＝g(4)＝2.故選B．
2．(2019·齊魯名校協(xié)作體聯(lián)考)下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是( )
A．f(x)＝eln x，g(x)＝x
B．f(x)＝eq \f(x2－4,x＋2)，g(x)＝x－2
C．f(x)＝eq \f(sin 2x,2cs x)，g(x)＝sin x
D．f(x)＝|x|，g(x)＝eq \r(x2)
【答案】D
【解析】 A，B，C項的解析式相同，但定義域不同，只有D項正確．
3．已知函數(shù)f(x)＝eq \r(x－1)，若f(a)＝3，則實數(shù)a＝__________.
【答案】 10
【解析】 因為f(a)＝eq \r(a－1)＝3，所以a－1＝9，即a＝10.
4．設(shè)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x∈?－∞，a?，,x2，x∈[a，＋∞?，))若f(2)＝4，則a的取值范圍為__________．
【答案】 (－∞，2]
【解析】 因為f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，則a的取值范圍為(－∞，2]．
【考法拓展?題型解碼】
考法一 求函數(shù)定義域
歸納總結(jié)
(1)求具體函數(shù)y＝f(x)的定義域
(2)求抽象函數(shù)的定義域一般有兩種情況：
①已知y＝f(x)的定義域是A，求y＝f(g(x))的定義域，可由g(x)∈A求出x的范圍，即為y＝f(g(x))的定義域；
②已知y＝f(g(x))的定義域是A，求y＝f(x)的定義域，可由x∈A求出g(x)的范圍，即為y＝f(x)的定義域．
【例1】 (1)y＝eq \r(\f(x－1,2x))－lg2(4－x2)的定義域是( )
A．(－2,0)∪(1,2) B．(－2,0]∪(1,2)
C．(－2,0)∪[1,2) D．[－2,0]∪[1,2]
【答案】C
【解析】(1)要使函數(shù)有意義，必須eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－1,2x)≥0，,x≠0，,4－x2>0，))
所以x∈(－2,0)∪[1,2)．
(2)若函數(shù)f(x)＝eq \r(mx2＋mx＋1)的定義域為實數(shù)集，則實數(shù)m的取值范圍是__________．
【答案】[0,4]
【解析】函數(shù)定義域為R?mx2＋mx＋1≥0對?x∈R恒成立，當m＝0時，f(x)＝1，滿足條件；當m≠0時，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,Δ＝m2－4m≤0))?0

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