專題9.2 排列與組合-2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)大揭秘學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

【考綱要求】
1.理解排列、組合的概念．
2.能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．
3.能用排列與組合解決簡單的實際問題
【命題趨勢】
兩個計數(shù)原理與排列、組合的綜合問題是高考的熱點，以考查基本概念、基本方法
(如“含”“不含”問題、相鄰問題、相間問題)為主，主要考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、補(bǔ)集思想和邏輯思維能力
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容體現(xiàn)對數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查.
【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識】
1.排列、組合的定義
2.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)
【素養(yǎng)清單?常用結(jié)論】
正確理解組合數(shù)的性質(zhì)
(1)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)：從n個不同元素中取出m個元素的方法數(shù)等于取出剩余n－m個元素的方法數(shù).
(2)Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n＋1)：從n＋1個不同元素中取出m個元素可分以下兩種情況：①不含特殊元素A有Ceq \\al(m,n)種方法；②含特殊元素A有Ceq \\al(m－1,n)種方法.
【真題體驗】
1．用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為( )
A．8 B．24
C．48 D．120
【答案】C
【解析】Ceq \\al(1,2)×Aeq \\al(3,4)＝2×4×3×2＝48.
2．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必須在A的右側(cè)(A，B可以不相鄰)，那么不同的排法共有( )
A．24種 B．60種
C．90種 D．120種
【答案】B
【解析】可先排C，D，E三人，共有Aeq \\al(3,5)種，剩余A，B兩人只有一種排法．故滿足條件的排法共有Aeq \\al(3,5)×1＝60(種)．
3．方程3Aeq \\al(3,x)＝2Aeq \\al(2,x＋1)＋6Aeq \\al(2,x)的解為__________．
【答案】 5
【解析】由排列數(shù)公式可知
3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，
因為x≥3且x∈N+，所以3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，
即3x2－17x＋10＝0，(3x－2)(x－5)＝0，所以x＝5.
4．已知eq \f(1,C\\al(m,5))－eq \f(1,C\\al(m,6))＝eq \f(7,10C\\al(m,7))，則Ceq \\al(m,8)＝__________.
【答案】 28
【解析】由已知得m的取值范圍為{m|0≤m≤5，m∈Z}，有eq \f(m?。?－m）！,5！)－eq \f(m?。?－m）！,6！)＝eq \f(7×（7－m）！,10×7！)m！，整理可得m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2.
故Ceq \\al(m,8)＝Ceq \\al(2,8)＝28.
【考法拓展?題型解碼】
考法一排列問題
答題模板
(1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進(jìn)行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法．
(2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法．
【例1】 (1)3名男生，4名女生，選其中5人排成一排，則有______種不同的排法．
(2)將某大學(xué)4名大四學(xué)生安排到某城市的甲、乙、丙、丁四所中學(xué)進(jìn)行教學(xué)實習(xí)，要求每所學(xué)校都分一名學(xué)生，且學(xué)生A不分到甲校，則不同的實習(xí)安排方案共有__________種．
【答案】 (1)2 520 (2)18
【解析】(1)問題即為從7個元素中選出5個全排出，有Aeq \\al(5,7)＝2 520種排法．
(2)先將A分配到乙校，再分配另外3個學(xué)生，有Aeq \\al(3,3)種方法，同理可得，將A分配到丙丁各有Aeq \\al(3,3)種，則共有3Aeq \\al(3,3)＝18(種)．
考法二組合問題
歸納總結(jié)
(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型．“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?br>(2)“至少”或“最多”含有幾個元素的題型，考慮逆向思維，用間接法處理．
【例2】 (1)(2019·河南開封調(diào)研)某地實行高考改革，考生除參加語文、數(shù)學(xué)、英語統(tǒng)一考試外，還需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科．學(xué)生甲要想報考某高校的法學(xué)專業(yè)，就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學(xué)生甲的選考方法種數(shù)為( )
A．6 B．12
C．18 D．19
(2)要從12人中選出5人去參加一項活動，A，B，C三人必須入選，則有__________種不同選法．
【答案】(1)D (2)36
【解析】(1)方法一：在物理、政治、歷史中選一科的選法有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,3)＝9(種)；在物理、政治、歷史中選兩科的選法有Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,3)＝9(種)；物理、政治、歷史三科都選的選法有1種．所以學(xué)生甲的選考方法共有9＋9＋1＝19(種)．故選D.
方法二：從六科中選考三科的選法有Ceq \\al(3,6)種，其中包括了沒選物理、政治、歷史中任意一科的選法，這種選法有1種，因此學(xué)生甲的選考方法共有Ceq \\al(3,6)－1＝19(種)，故選D.
(2)只需從A，B，C之外的9人中選擇2人，即有Ceq \\al(2,9)＝36(種)選法．
考法三排列組合的綜合問題
答題模板
利用先選后排法解決問題的三個步驟
【例3】從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為( )
A．300 B．216
C．180 D．162
【答案】C
【解析】分兩類：第1類，不取0，即從1,2,3,4,5中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，共有Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)＝72(個)；
第2類，取0，此時2和4只能取一個，再取兩個奇數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，共有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,3)(Aeq \\al(4,4)－Aeq \\al(3,3))＝108(個)，所以滿足題意的四位數(shù)共有72＋108＝180(個)．
考法四分組分配問題
解題技巧
分組分配問題的處理策略
(1)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配，在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．注意各種分組類型中，不同分組方法的差異．
(2)對于相同元素的“分配”問題，常用的方法是采用“隔板法”．
【例4】 (1)(2017·全國卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有( )
A．12種 B．18種
C．24種 D．36種
(2)(2017·浙江卷)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有__________種不同的選法(用數(shù)字作答)．
【答案】 (1)D (2)660
【解析】 (1)因為安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，所以必有1人完成2項工作．先把4項工作分成3組，即2,1,1，有Ceq \\al(2,4)＝6(種)，再分配給3個人，有Aeq \\al(3,3)＝6(種)，所以不同的安排方式共有6×6＝36(種)．
(2)分兩步，第一步，選出4人，由于至少1名女生，故有Ceq \\al(4,8)－Ceq \\al(4,6)＝55(種)不同的選法；第二步，從4人中選出隊長、副隊長各1人，有Aeq \\al(2,4)＝12(種)不同的選法．根據(jù)分步乘法計算原理知共有55×12＝660(種)不同的選法．
【易錯警示】
易錯點平均分組可能重復(fù)計算
【典例】某交通崗共有3人，從周一到周日的7天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有( )種．
A．5 040 B．1 260
C．210 D．630
【錯解】：B 把從周一到周日7天分為3組，第一組選2天，第二組選2天，剩下的3天給第三組，這三組再分給三人，共有：Ceq \\al(2,7)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,3)Aeq \\al(3,3)＝1 260.(平均分組問題中的重復(fù)計數(shù))
【錯因分析】：本題是一個平均分組問題；錯解中的挑選方法可能為第一組挑選的是周一、周二，第二組挑選的是周三、周四；也可能是第一組挑選的是周三、周四，第二組挑選的是周一、周二，所以在全排列的過程中就重復(fù)計算了．
【正解】：選D eq \f(C\\al(2,7)C\\al(2,5)C\\al(3,3),A\\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)＝630種．
誤區(qū)防范
平均分組中很容易重復(fù)計算，一定要細(xì)心．
【跟蹤訓(xùn)練】將5名志愿者分配到3個不同的奧運(yùn)場館參加接待工作，每個場館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為( )
A．540種 B．300種
C．180種 D．150種
【答案】D
解析要將5名志愿者分配到3個不同的地方，每個地方至少一人，首先要將這5個人分成3組，因此有2種分組方案：1,1,3與1,2,2.當(dāng)按1,1,3方案分組時，有Ceq \\al(3,5)·Aeq \\al(3,3)＝60(種)方法；當(dāng)按1,2,2方案分組時，先進(jìn)行平均分組，有eq \f(C\\al(2,5)C\\al(2,3),A\\al(2,2))＝15(種)分組方法，因此有15×Aeq \\al(3,3)＝90(種)方法．所以一共有60＋90＝150(種)方案．故選D.
【遞進(jìn)題組】
1．(2019·福州八中模擬)甲、乙等5人在9月3號參加了紀(jì)念抗日戰(zhàn)爭勝利70周年閱兵慶典后，在天安門廣場排成一排拍照留念，甲和乙必須相鄰且都不站在兩端的排法有( )
A．12種 B．24種
C．48種 D．120種
【答案】B
【解析】甲乙相鄰，將甲乙捆綁在一起看作一個元素，共有Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(2,2)種排法，甲乙相鄰且在兩端有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,2)種排法，故甲乙相鄰且都不站在兩端的排法有Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(2,2)－Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,2)＝24(種)．
2．(1)某學(xué)校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠(yuǎn)地區(qū)的三所中學(xué)進(jìn)行教學(xué)交流，每所中學(xué)至少派一名教師，則不同的分配方法有( )
A．80種 B．90種
C．120種 D．150種
(2)國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教，現(xiàn)有6個免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有__________種不同的分派方法．
【答案】 (1)D (2)90
【解析】(1)有兩類情況：①其中一所學(xué)校3名教師，另兩所學(xué)校各一名教師的分法有Ceq \\al(3,5)Aeq \\al(3,3)＝60(種)；②其中一所學(xué)校1名教師，另兩所學(xué)校各兩名教師的分法有eq \f(C\\al(1,5)C\\al(2,4)A\\al(3,3),A\\al(2,2))＝90(種)，所以共有150種，故選D.
(2)先把6個畢業(yè)生平均分成3組，有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(3,3))種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有Aeq \\al(3,3)＝6(種)方法，故6個畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(3,3))·Aeq \\al(3,3)＝90(種)分派方法．
3．“漸升數(shù)”是指每個數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù)(如1 458)，若把四位“漸升數(shù)”按從小到大的順序排列，則第30個數(shù)為__________．
【答案】 1 359
【解析】“漸升數(shù)”由小到大排列，形如
的“漸升數(shù)”共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(個)；形如的“漸升數(shù)”共有5個；形如的“漸升數(shù)”共有4個，故此時共有21＋5＋4＝30(個)，因此按從小到大的順序排列的四位“漸升數(shù)”的第30個數(shù)為1 359.
4．由0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，求：
(1)有多少個含有2,3，但它們不相鄰的五位數(shù)？
(2)有多少個數(shù)字1,2,3必須由大到小順序排列的六位數(shù)？
【答案】見解析
【解析】(1)先不考慮0是否在首位，0,1,4,5先排三個位置，則有Aeq \\al(3,4)個，2,3去排四個空位，有Aeq \\al(2,4)個，即有Aeq \\al(3,4)Aeq \\al(2,4)個；而0在首位時，有Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(2,3)個，即有Aeq \\al(3,4)Aeq \\al(2,4)－Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(2,3)＝252(個)含有2,3，但它們不相鄰的五位數(shù)．
(2)在六個位置先排0,4,5，先不考慮0是否在首位，則有Aeq \\al(3,6)個，去掉0在首位，即有(Aeq \\al(3,6)－Aeq \\al(2,5))個，0,4,5三個元素排在六個位置上留下了三個空位，1,2,3必須由大到小進(jìn)入相應(yīng)位置，并不能自由排列，所以有Aeq \\al(3,6)－Aeq \\al(2,5)＝100(個)六位數(shù)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(另：用倍縮法得\f(A\\al(1,5)A\\al(5,5),A\\al(3,3))＝100)).
【考卷送檢】
一、選擇題
1．在實驗室進(jìn)行的一項物理實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，則實驗順序的編排方法共有( )
A．34種 B．48種
C．96種 D．124種
【答案】C
【解析】設(shè)6個程序分別是A，B，C，D，E，F(xiàn)，A安排在第一步或最后一步，有Aeq \\al(1,2)種方法．將B和C看作一個元素，它們自身之間有Aeq \\al(2,2)種方法，與除A外的其他程序進(jìn)行全排列，有Aeq \\al(4,4)種方法，由分步計數(shù)原理得實驗順序的編排方法共有Aeq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)＝96(種)，故選C.
2．甲、乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、中山大學(xué)這3所大學(xué)就讀，則每所大學(xué)至少保送1人的不同保送方法種數(shù)為( )
A．150 B．180
C．240 D．540
【答案】A
【解析】分為兩類，第一類為2＋2＋1，即有2所大學(xué)分別保送2名同學(xué)，方法種數(shù)為Ceq \\al(2,5)·Ceq \\al(2,3)·eq \f(A\\al(3,3),A\\al(2,2))＝90，第二類為3＋1＋1，即有1所大學(xué)保送3名同學(xué)，方法種數(shù)為Ceq \\al(3,5)·Aeq \\al(3,3)＝60，故不同的保送方法種數(shù)為150，故選A.
3．在5×5的棋盤中，放入3顆黑子和2顆白子，它們均不在同一行且不在同一列，則不同的排列方法種數(shù)為( )
A．150 B．200
C．600 D．1 200
【答案】D
【解析】首先放入3顆黑子，在5×5的棋盤中，選出三行三列，共Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,5)種方法，然后放入3顆黑子，每一行放1顆黑子，共3×2×1種方法，然后在剩下的兩行兩列放2顆白子，所以不同的方法種數(shù)為Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,5)×3×2×1×2×1＝1 200，故選D.
4．市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0～9這十個數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù))，某車主第一個號碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號碼只想在1,3,6,9中選擇，則他的車牌號碼可選的所有可能情況有( )
A．180種 B．360種
C．720種 D．960種
【答案】D
【解析】按照車主的要求，從左到右第一個號碼有5種選法，第二個號碼有3種選法，其余三個號碼各有4種選法．因此車牌號碼可選的所有可能情況有5×3×4×4×4＝960(種)．
5．“住房”“醫(yī)療”“教育”“養(yǎng)老”“就業(yè)”成為現(xiàn)今社會關(guān)注的五個焦點．小趙想利用國慶節(jié)假期調(diào)查一下社會對這些熱點的關(guān)注度．若小趙準(zhǔn)備按照順序分別調(diào)查其中的4個熱點，則“住房”作為其中的一個調(diào)查熱點，但不作為第一個調(diào)查熱點的種數(shù)為( )
A．13 B．24
C．18 D．72
【答案】D
【解析】可分三步：第一步，先從“醫(yī)療”“教育”“養(yǎng)老”“就業(yè)”這4個熱點中選出3個，有Ceq \\al(3,4)種不同的選法；第二步，在調(diào)查時，“住房”安排的順序有Aeq \\al(1,3)種可能情況；第三步，其余3個熱點調(diào)查的順序有Aeq \\al(3,3)種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得，不同調(diào)查順序的種數(shù)為Ceq \\al(3,4)Aeq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＝72.
6．(2019·石家莊質(zhì)檢)中小學(xué)校車安全問題引起社會的關(guān)注，為了徹底消除校車安全隱患，某市購進(jìn)了50臺完全相同的校車，準(zhǔn)備發(fā)放給10所學(xué)校，每所學(xué)校至少2臺，則不同的發(fā)放方案的種數(shù)有( )
A．Ceq \\al(9,41) B．Ceq \\al(9,38)
C．Ceq \\al(9,40) D．Ceq \\al(9,39)
【答案】D
【解析】首先每個學(xué)校配備一臺，這個沒有順序和情況之分，剩下40臺；將剩下的40臺像排隊一樣排列好，則這40臺校車之間有39個空．對這39個空進(jìn)行插空(隔板)，比如說用9個隔板隔開，就可以隔成10部分了．所以是在39個空里選9個空插入隔板，所以是Ceq \\al(9,39).
二、填空題
7．4個不同的小球放入編號為1,2,3,4的4個盒中，則恰有1個空盒的放法共有________種(用數(shù)字作答)．
【答案】 144
【解析】4個球分成3組，每組至少1個，即分成小球個數(shù)分別為2,1,1的3組，有eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2)C\\al(1,1),A\\al(2,2))種，然后將3組球放入4個盒中的3個，分配方法有Aeq \\al(3,4)種，因此，方法共有eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2)C\\al(1,1),A\\al(2,2))×Aeq \\al(3,4)＝144(種)．
8．?dāng)?shù)字1,2,3,4,5,6按如圖形式隨機(jī)排列，設(shè)第一行的數(shù)為N1，其中N2，N3分別表示第二、三行中的最大數(shù)，則滿足N1

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