專題1.2 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件-2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)大揭秘學(xué)案

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【考綱要求】
1．理解命題的概念．
2．了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，
3. 會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系．
4．理解必要條件、充分條件與充要條件的含義.
【命題趨勢】
1. 判斷命題的真假．
2．寫出一個(gè)命題的逆命題、否命題、逆否命題等．
3．常以函數(shù)、不等式等知識(shí)為載體，考查一個(gè)命題是另一個(gè)命題的什么條件．
4．求一個(gè)命題的充要條件、充分不必要條件、必要不充分條件，或已知充要條件求參數(shù)的取值范圍等.
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).
【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識(shí)】
1．命題的概念
用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題.
eq \x(一個(gè)命題要么是真命題，要么是假命題，不能模棱兩可.)
2．四種命題及其相互關(guān)系
3．充分條件、必要條件與充要條件
(1)如果p?q，則p是q的充分條件；
①A是B的充分不必要條件是指：A?B且BA；
②A的充分不必要條件是B是指：B?A且AB，在解題中要弄清它們的區(qū)別，以免出現(xiàn)錯(cuò)誤．
(2)如果q?p，則p是q的必要條件；
(3)如果既有p?q，又有q?p，記作p?q，則p是q的充要條件．
充要關(guān)系與集合的子集之間的關(guān)系
設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
①若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．
②若AB，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件．
③若A＝B，則p是q的充要條件．
【素養(yǎng)清單?常用結(jié)論】
1．四種命題中的等價(jià)關(guān)系
原命題等價(jià)于逆否命題，否命題等價(jià)于逆命題，所以在命題不易證明時(shí)，往往找等價(jià)命題進(jìn)行證明．
2．等價(jià)轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件
p是q的充分不必要條件，等價(jià)于非q是 非p的充分不必要條件．其他情況以此類推．
【真題體驗(yàn)】
1.（2019·全國Ⅱ卷文、理7）設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是（ ）
A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行
C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面
2.（2019·全國Ⅲ卷文11）記不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.命題；命題.下面給出了四個(gè)命題
①②③④
這四個(gè)命題中，所有真命題的編號(hào)是（ ）
A．①③B．①②C．②③D．③④
3.（2019·天津卷文、理3）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.（2019·浙江卷5）若a＞0，b＞0，則“a+b≤4”是 “ab≤4”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
5.(2018·天津卷)設(shè)x∈R，則“x3＞8”是“|x|＞2”的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6.(2018·北京高考) 設(shè)a，b，c，d是非零實(shí)數(shù)，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
7. (2018·北京高考) 設(shè)a，b均為單位向量，則“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【考法拓展?題型解碼】
考法一 四種命題的相互關(guān)系及其真假判斷
解題技巧：與四種命題有關(guān)的問題的解題策略
(1)寫一個(gè)命題的其他三種命題時(shí)，需注意：
①對(duì)于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；
②若命題有大前提，寫其他三種命題時(shí)需保留大前提．
(2)判斷一個(gè)命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出反例．
(3)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假．
【例1】 (1)(2019·鄒平雙語學(xué)校月考)已知命題p：若x＜－3，則x2－2x－8＞0，則下列敘述正確的是( )
A．命題p的逆命題是“若x2－2x－8≤0，則x＜－3”
B．命題p的否命題是“若x≥－3，則x2－2x－8＞0”
C．命題p的否命題是“若x＜－3，則x2－2x－8≤0”
D．命題p的逆否命題是真命題
(2)(2019·長治二中月考)設(shè)原命題：若a＋b≥2，則a，b中至少有一個(gè)不小于1，則原命題與其逆命題的真假情況是( )
A．原命題真，逆命題假
B．原命題假，逆命題真
C．原命題與逆命題均為真命題
D．原命題與逆命題均為假命題
(3)已知命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”，則下列結(jié)論正確的是( )
A．否命題是“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則m>1”，是真命題
B．逆命題是“若m≤1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)”，是假命題
C．逆否命題是“若m>1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)”，是真命題
D．逆否命題是“若m>1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”，是真命題
考法二 充分條件、必要條件的判斷
解題技巧:充分條件、必要條件的三種判斷方法
(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷．
(2)集合法：根據(jù)p，q成立的對(duì)應(yīng)集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷．
(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷．這個(gè)方法特別適合以否定形式給出的問題，常用的是逆否等價(jià)法．①?q是?p的充分不必要條件?p是q的充分不必要條件；②?q是?p的必要不充分條件?p是q的必要不充分條件；③?q是?p的充要條件?p是q的充要條件．
【例2】 (1)(2018·北京卷)設(shè)a，b，c，d是非零實(shí)數(shù)，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)(2017·北京卷)設(shè)m，n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n0)．若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是( )
A．[21，＋∞) B．[9，＋∞)
C．[19，＋∞) D．(0，＋∞)
(2)已知條件p：|x－4|≤6；條件q：(x－1)2－m2≤0(m>0)．若?p是?q的充分不必要條件，則m的取值范圍為__________．
【易錯(cuò)警示】
易錯(cuò)點(diǎn) 邏輯關(guān)系與集合關(guān)系的轉(zhuǎn)化出錯(cuò)
【典例】 (2019·廣東六校聯(lián)考)“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是( )
A．m＞eq \f(1,4) B．0＜m＜1
C．m＞0 D．m＞1
【錯(cuò)解】：A
【錯(cuò)因分析】：是充分條件、必要條件、充要條件對(duì)應(yīng)集合關(guān)系的轉(zhuǎn)化上出現(xiàn)了失誤．事實(shí)上，充要條件時(shí)參數(shù)取值集合是必要不充分條件時(shí)參數(shù)取值集合的真子集．
【正解】【答案】C
【解析】不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，則Δ＝1－4m＜0，所以m＞eq \f(1,4).所以“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是m＞0.
誤區(qū)防范：注意區(qū)分以下兩種不同的說法
(1)A是B的充分不必要條件，是指A?B但Beq \(?,/)A．
(2)A的充分不必要條件是B，是指B?A但Aeq \(?,/)B．
以上兩種說法在充要條件的推理判斷中經(jīng)常出現(xiàn)且容易混淆，在解題中一定要注意問題的設(shè)問方式，弄清它們的區(qū)別，以免出現(xiàn)錯(cuò)誤判斷．
【跟蹤訓(xùn)練】 已知p：eq \f(1,x－2)≥1，q：|x－a|3(x－t)”是“x2＋3x－40，則 eq lg\s\d4(\f(1,2)) a< eq lg\s\d4(\f(1,2)) b＋1，命題p的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)為________．
8．能夠說明“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù)，若a＞b＞c，則a＋b＞c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為________．
9．記不等式x2＋x－6