第二篇 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題2.8 函數(shù)與方程【考綱要求】1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個(gè)數(shù)．2．根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解【命題趨勢(shì)】函數(shù)的零點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題是熱點(diǎn)，經(jīng)?？疾楹瘮?shù)零點(diǎn)存在的區(qū)間、零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷和利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍等內(nèi)容，難度不大.【核心素養(yǎng)】本講內(nèi)容主要考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識(shí)】1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．函數(shù)的零點(diǎn)不是函數(shù)y＝f(x)與x軸的交點(diǎn)，而是y＝f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也就是說(shuō)函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù).2．函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn)，而不能判斷函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)，而且連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件.3．二分法的定義對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．【素養(yǎng)清單?常用結(jié)論】有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)．(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)．【真題體驗(yàn)】1. 【2019年高考浙江】已知，函數(shù)．若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則（   ）A．a<–1，b<0                                           B．a<–1，b>0   C．a>–1，b<0                                         D．a>–1，b>0 2.【2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】已知函數(shù)．若g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（   ）A．[–1，0）                                                 B．[0，+∞） C．[–1，+∞）                                             D．[1，+∞）3.【2017年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則a=（   ）A．                                             B．C．                                             D．14.【2018年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．5.【2018年高考江蘇】若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為________．6.【2018年高考浙江】已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)λ=2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是___________．【考法拓展?題型解碼】考法一　函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷解題技巧：判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法(1)當(dāng)能直接求出零點(diǎn)時(shí)，就直接求出進(jìn)行判斷．(2)當(dāng)不能直接求出時(shí)，可根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷．(3)當(dāng)用零點(diǎn)存在性定理也無(wú)法判斷時(shí)可畫出圖象判斷．【例1】 (1)函數(shù)f(x)＝1－xlog2x的零點(diǎn)所在區(qū)間是(　　)A．  B．C．(1,2)  D．(2,3) (2)若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(　　)A．(a，b)和(b，c)內(nèi)  B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)  D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)考法二　函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷解題技巧:函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)所具有的性質(zhì)．(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．【例2】 (1)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x，則方程f(x)＝log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　)A．2  B．3  C．4  D．多于4(2)已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)y＝f(f(x))＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　)A．4  B．3  C．2  D．1考法三　函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用解題技巧:函數(shù)零點(diǎn)應(yīng)用問(wèn)題的常見類型及解題策略(1)已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)或方程的根求參數(shù)應(yīng)分三步：①判斷函數(shù)的單調(diào)性；②利用零點(diǎn)存在性定理，得到參數(shù)滿足的不等式；③解不等式，即得參數(shù)的取值范圍．(2)已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，解答此類問(wèn)題常利用數(shù)形結(jié)合法．(3)借助函數(shù)零點(diǎn)比較大小，要比較f(a)與f(b)的大小，通常先比較f(a)，f(b)與0的大?。?/span>【例3】 (1)若函數(shù)f(x)＝3ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A．  B．(－∞，－1)∪C．  D．(－∞，－1)(2)已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)F(x)＝f(x)－a2＋a＋1(a∈R)總有零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是(　　)A．(－∞，0)∪(1，＋∞)  B．[－1,2)C．[－1,0]∪(1,2]  D．[0,1](3)(2019·安慶摸底考試)若函數(shù)f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【易錯(cuò)警示】易錯(cuò)點(diǎn)　忽視零點(diǎn)存在性定理的不可逆性【典例】 若函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2在區(qū)間[0,4]上至少有一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【錯(cuò)解】：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－2ax＋2在區(qū)間[0,4]上至少有一零點(diǎn)，所以f(0)·f(4)＜0，即2(18－8a)＜0，解得a＞.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【錯(cuò)因分析】：導(dǎo)致上述錯(cuò)誤的原因是連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上若滿足f(a)·f(b)＜0，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，反之就不一定成立．如y＝x2－2x－3在區(qū)間[－2,4]上有兩個(gè)零點(diǎn)－1與3，但f(－2)＝5，f(4)＝5，f(－2)·f(4)＝25＞0，本題錯(cuò)解正是因?yàn)閼?yīng)用了這一不一定成立的結(jié)論而導(dǎo)致的．【答案】：[，＋∞)【正解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－2ax＋2在區(qū)間[0,4]上至少有一零點(diǎn)，且f(0)＝2＞0，所以或解得 ≤a≤4或a＞4，即a≥ .所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[，＋∞)．【誤區(qū)防范】零點(diǎn)的存在性定理不可逆因?yàn)?/span>f(a)·f(b)＜0可以推出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)．但是，已知函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)，不一定能推出f(a)·f(b)＜0.【跟蹤訓(xùn)練】 設(shè)函數(shù)f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c(a＞0，a，c∈R)，試討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)是否有零點(diǎn)？有幾個(gè)？    【遞進(jìn)題組】1．函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)－的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是(　　)A．(0,1)  B．(1,2)C．(2,3)  D．(3,4)2．函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)A．1  B．2 C．3  D．43．已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零點(diǎn)依次為a，b，c，則(　　)A．a<b<c  B．c<b<aC．c<a<b  D．b<a<c4．(2019·蘭州模擬)已知奇函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)λ的值是(　　)A．  B．C．－  D．－5．若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【考卷送檢】 一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝x3＋2x－1的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(　　)A．(0,1)  B．(1,2)C．(2,3)  D．(3,4)2．用二分法找函數(shù)f(x)＝2x＋3x－7在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)近似值，取區(qū)間中點(diǎn)2，則下一個(gè)存在零點(diǎn)的區(qū)間為(　　)A．(0,1)  B．(0,2)C．(2,3)  D．(2,4)3．f(x)＝2sin πx－x＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)A．4  B．5C．6  D．74．(2019·延吉模擬)已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)g(x)＝f(x)－x的零點(diǎn)為(　　)A．0  B．－1，－2C．－1,0  D．－2，－1,05．(2019·惠州調(diào)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x2－5，若實(shí)數(shù)a，b分別是f(x)，g(x)的零點(diǎn)，則(　　)A．g(a)＜0＜f(b)  B．f(b)＜0＜g(a)C．0＜g(a)＜f(b)  D．f(b)＜g(a)＜06．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點(diǎn)，則a＝(　　)A．－  B．C．  D．1二、填空題7．若二次函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋4在(1，＋∞)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．8．定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2 019x＋log2 019x，則在R上，函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________．9．(2018·浙江卷)已知λ∈R，f(x)＝當(dāng)λ＝2時(shí)，不等式f(x)＜0的解集是________；若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是________．三、解答題10．關(guān)于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在區(qū)間[0,2]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．    11．(2019·無(wú)錫中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，滿足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)當(dāng)x∈[－1,2]時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；(3)若函數(shù)g(x)＝f(x)－mx的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,2)和(2,4)內(nèi)，求m的取值范圍．      12．(2019·石家莊一模)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋(x＞0)，其中e表示自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)若g(x)＝m有實(shí)根，求m的取值范圍；(2)確定t的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根．       13．若y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足：①f(x)是偶函數(shù)；②f(x＋2)是偶函數(shù)；③當(dāng)0＜x≤2時(shí)，f(x)＝log2 019x，當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝0，則方程f(x)＝－2 019在區(qū)間(1,10)內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和為(　　)A．0    B．10C．12    D．24  

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