專題2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)-2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)大揭秘學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

【考綱要求】
1. 掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，會求二次函數(shù)的最值(值域)、單調(diào)區(qū)間．
2．了解冪函數(shù)的概念．
3．結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq \f(1,x)，y＝x eq \s\up4(\f(1,2)) 的圖象，了解它們的變化情況.
【命題趨勢】
1. 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，經(jīng)常與其他知識綜合考查．
2．冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，很少單獨(dú)出題．
3．二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，經(jīng)常與導(dǎo)數(shù)、不等式綜合考查.
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容主要考查直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).
【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識】
1．二次函數(shù)解析式的三種形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)；
兩根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
二次函數(shù)系數(shù)的特征
(1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系數(shù)a的正負(fù)決定圖象的開口方向及開口大??；
(2)－eq \f(b,2a)的值決定圖象對稱軸的位置；
(3)c的取值決定圖象與y軸的交點(diǎn)；
(4)b2－4ac的正負(fù)決定圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)．
3．冪函數(shù)的概念
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中底數(shù)x是自變量，α為常數(shù)．
冪函數(shù)的特征
(1)自變量x處在冪底數(shù)的位置，冪指數(shù)α為常數(shù)；
(2)xα的系數(shù)為1；
(3)只有一項(xiàng)．
4．五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【素養(yǎng)清單?常用結(jié)論】
1．一元二次不等式恒成立的條件
(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要條件是“a>0，且Δ0.
3．若a＝2－ eq \s\up4(\f(3,2)) ，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))3，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3，則a，b，c的大小關(guān)系是( )
A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【答案】C
【解析】 a＝2－ eq \s\up4(\f(3,2)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))3，根據(jù)函數(shù)y＝x3是R上的增函數(shù)，且eq \f(2,5)＜eq \f(1,2)＜eq \f(\r(2),2)，得
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))3＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))3，即b＜c＜a.
4．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋5滿足條件f(－1)＝f(3)，則f(2)的值為( )
A．5 B．6
C．8 D．與a，b的值有關(guān)
【答案】A
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ax2＋bx＋5滿足條件f(－1)＝f(3)，所以f(x)＝ax2＋bx＋5的圖象關(guān)于x＝eq \f(－1＋3,2)＝1對稱，則f(2)＝f(0)＝5.故選A．
5．對任意的x∈[－2,1]，不等式x2＋2x－a≤0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，3]
C．[0，＋∞) D．[3，＋∞)
【答案】D
【解析】設(shè)f(x)＝x2＋2x－a(x∈[－2,1])，其對稱軸為x＝－1，所以當(dāng)x＝1時，f(x)取得最大值3－a，所以3－a≤0，解得a≥3.故選D．
6．(2019·杭州測試)若函數(shù)f(x)＝x2－2x＋1在區(qū)間[a，a＋2]上的最小值為4，則實(shí)數(shù)a的取值集合為( )
A．[－3,3] B．[－1,3]
C．{－3,3} D．{－1，－3,3}
【答案】C
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2的圖象的對稱軸為直線x＝1，f(x)在區(qū)間[a，a＋2]上的最小值為4，所以當(dāng)a≥1時，f(x)min＝f(a)＝(a－1)2＝4，a＝－1(舍去)或a＝3；當(dāng)a＋2≤1，即a≤－1時，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，a＝1(舍去)或a＝－3；當(dāng)a＜1＜a＋2，即－1＜a＜1時，f(x)min＝f(1)＝0≠4.故a的取值集合為{－3,3}．故選C．
二、填空題
7．已知函數(shù)f(x)＝x eq \s\up4(\f(1,2)) ，且f(2x－1)