【考綱要求】
1.理解坐標(biāo)系的作用．
2.了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況．
3.能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．
4.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形的方程，通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義..
【命題趨勢】
極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)在高考中主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程.
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容體現(xiàn)對數(shù)學(xué)抽象，直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查
【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識】
1．平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換
設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝λ·x，λ＞0，,y′＝μ·y，μ＞0))的作用下，點(diǎn)P(x，y)對應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換．
2．極坐標(biāo)系
(1)極坐標(biāo)系的概念
①極坐標(biāo)系：
如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，點(diǎn)O叫做極點(diǎn)，自極點(diǎn)O引一條射線Ox，Ox叫做極軸；再選定一個(gè)長度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系．
②極坐標(biāo)：
一般地，沒有特殊說明時(shí)，我們認(rèn)為ρ≥0，θ可取任意實(shí)數(shù)．
③點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系：
一般地，極坐標(biāo)(ρ，θ)與(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一個(gè)點(diǎn)，特別地，極點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0，θ)(θ∈R)，與直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示．
如果規(guī)定ρ>0,0≤θ0，所以負(fù)值舍去．故a＝1．故答案為：1．
【名師點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，直線與圓相切的充要條件的應(yīng)用．首先把曲線和直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步利用圓心到直線的距離等于半徑求出結(jié)果．
6.【2017年高考北京卷理數(shù)】在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0），則|AP|的最小值為__________．
【答案】1
【解析】將圓的極坐標(biāo)方程化為普通方程為，整理為標(biāo)準(zhǔn)方程，所以圓心為，又點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，所以的最小值就是．故答案為：1．
【名師點(diǎn)睛】（1）熟練運(yùn)用互化公式：將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；（2）直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，關(guān)鍵要掌握好互化公式，研究極坐標(biāo)系下圖形的性質(zhì)時(shí)，可轉(zhuǎn)化為在直角坐標(biāo)系的情境下進(jìn)行．
【考法拓展?題型解碼】
考法一 平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換
歸納總結(jié)
平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換來表示，在伸縮變換eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝λ·x，λ＞0，,y′＝μ·y，μ＞0))作用下，直線仍然變成直線，拋物線仍然變成拋物線，雙曲線仍然變成雙曲線，圓可以變成橢圓，橢圓也可以變成圓．
【例1】 (1)在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y(tǒng).))求點(diǎn)Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－2))經(jīng)過φ變換所得的點(diǎn)A′的坐標(biāo)．
(2)求直線l：y＝6x經(jīng)過φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y(tǒng)))變換后所得到的直線l′的方程．
【答案】見解析
【解析】(1)設(shè)A′(x′，y′)，由伸縮變換φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y(tǒng)，))得到eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,y′＝\f(1,2)y，))
由于點(diǎn)A的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－2))，于是x′＝3×eq \f(1,3)＝1，y′＝eq \f(1,2)×(－2)＝－1，所以A′(1，－1)為所求．
(2)設(shè)直線l′上任意一點(diǎn)P′(x′，y′)，由上述可知，將eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)x′，,y＝2y′))代入y＝6x中得2y′＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x′))，所以y′＝x′，即y＝x為所求．
考法二 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化
歸納總結(jié)
極坐標(biāo)方程與普通方程的互化技巧
(1)巧用極坐標(biāo)方程兩邊同乘以ρ或同時(shí)平方的技巧，將極坐標(biāo)方程構(gòu)造成含有ρcs θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化簡得到普通方程．
(2)巧借兩角和差公式，轉(zhuǎn)化ρsin(θ±α)或ρ＝sin(θ±α)的結(jié)構(gòu)形式，進(jìn)而利用互化公式得到普通方程．
(3)將直角坐標(biāo)方程中的x轉(zhuǎn)化為ρcs θ，將y換成ρsin θ，即可得到其極坐標(biāo)方程．
【例2】 (2018·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcs θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；
(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程．
【答案】見解析
【解析】(1)由x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，得C2的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知，C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓．由題意知，C1是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線，記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.因?yàn)辄c(diǎn)B在圓C2的外部，所以C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到l1所在直線的距離為2，所以eq \f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq \f(4,3)或k＝0.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k＝－eq \f(4,3)時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)l2與C2只有一共公共點(diǎn)時(shí)，A到l2所在直線的距離為2，所以eq \f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝0或k＝eq \f(4,3).經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k＝eq \f(4,3)時(shí)，l2與C2沒有公共點(diǎn)．綜上所述，C1的方程為y＝－eq \f(4,3)|x|＋2.
考法三 極坐標(biāo)方程的求法與應(yīng)用
歸納總結(jié)
已知極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離、線段長等幾何問題時(shí)，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，或用極坐標(biāo)解決較麻煩，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決．
【例3】 (2016·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs t，,y＝1＋asin t))(t為參數(shù)，a＞0)．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4cs θ.
(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；
(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0 ＝2，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.
【答案】見解析
【解析】 (1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓．
將x＝ρcs θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0，,ρ＝4cs θ.))
若ρ≠0，由方程組得16cs 2θ－8cs θsin θ＋1－a2＝0，由tan θ＝2，可得16cs 2θ－8cs θsin θ＝0，從而1－a2＝0，又a>0，所以a＝1.
a＝1時(shí)，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，且在C3上．所以a＝1.
【易錯(cuò)警示】
易錯(cuò)點(diǎn) 忽略變量的取值范圍
【典例】 求極坐標(biāo)方程ρ＝eq \f(2＋2cs θ,sin2θ)所對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程．
【錯(cuò)解】：由ρ＝eq \f(2＋2cs θ,sin2 θ)(sin θ≠0)得ρ＝eq \f(2,1－cs θ)(cs θ≠1)，
所以ρ＝2＋ρcs θ(cs θ≠1)(sin θ≠0)得eq \r(x2＋y2)＝x＋2，
則y2＝4x＋4，故y2＝4x＋4即為所求．
【錯(cuò)因分析】：忽略變量的取值范圍，導(dǎo)致錯(cuò)誤．
【正解】：由ρ＝eq \f(2＋2cs θ,sin2θ)(sin θ≠0)得ρ＝eq \f(2,1－cs θ)(cs θ≠±1)，
所以ρ－ρcs θ＝2(cs θ≠±1)，(*)
所以eq \r(x2＋y2)＝x＋2，化簡得y2＝4x＋4，
當(dāng)cs θ＝1時(shí)，(*)式不成立；
當(dāng)cs θ＝－1時(shí)，由(*)式知ρ＝1，所以x＝ρcs θ＝－1.
綜上可知，y2＝4x＋4(x≠－1)即為所求．
【跟蹤訓(xùn)練】 已知直線l的參數(shù)方程為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs φ，,y＝－2＋tsin φ))(t為參數(shù)，0≤φ0得|sin φ|>eq \f(\r(3),2)，因?yàn)?≤φ

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