專題6.1 不等關系與不等式-2022年高考數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)大揭秘學案-學案下載-教習網(wǎng)

【考綱要求】
1.了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關系．
2.了解不等式(組)的實際背景．
3.掌握不等式的性質及應用.
【命題趨勢】
利用作差、作商法比較大小，利用不等式的性質判斷關于不等式的命題的真假.
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容主要考查邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)..
【素養(yǎng)清單?基礎知識】
1．兩個實數(shù)比較大小的方法
(1)作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＞0?a ＞ b?a，b∈R?，,a－b＝0?a ＝ b?a，b∈R?，,a－b＜0?a ＜ b?a，b∈R?.))
(2)作商法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＞1?a ＞ b?a∈R，b＞0?，,\f(a,b)＝1?a ＝ b?a∈R，b＞0?，,\f(a,b)＜1?a ＜ b?a∈R，b＞0?.))
2．不等式的基本性質
3.不等式的一些常用性質
(1)倒數(shù)的性質
①a＞b，ab＞0?eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)；
②a＜0＜b?eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)；
③a＞b＞0，d>c>0?eq \f(a,c)＞eq \f(b,d)；
④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?eq \f(1,b)＜eq \f(1,x)＜eq \f(1,a).
(2)有關分數(shù)的性質
若a＞b＞0，m＞0，則：
①eq \f(b,a)＜eq \f(b＋m,a＋m)，eq \f(b,a)＞eq \f(b－m,a－m)(b－m＞0)；
②eq \f(a,b)＞eq \f(a＋m,b＋m)，eq \f(a,b)＜eq \f(a－m,b－m)(b－m＞0)．
【真題體驗】
1.【2019年高考全國II卷理數(shù)】若a>b，則（）
A．ln(a?b)>0 B．3a0 D．│a│>│b│
2.【2019年高考全國I卷理數(shù)】古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是（）
A．165 cmB．175 cm
C．185 cmD．190 cm
3.【2018年高考全國III卷理數(shù)】設，，則（）
A． B．
C． D．
4.【2017年高考山東卷理數(shù)】若，且，則下列不等式成立的是（）
A． B．
C． D．
5.【2017年高考北京卷理數(shù)】能夠說明“設a，b，c是任意實數(shù)．若a＞b＞c，則a+b＞c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為___________.
【考法解碼?題型拓展】
考法一比較兩個數(shù)(式)的大小
解題技巧：比較大小的常用方法
(1)作差法：其基本步驟為作差、變形、判斷符號、得出結論．用作差法比較大小的關鍵是判斷差的正負，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等變形方法．
(2)作商法：即判斷商與1的關系，得出結論．要特別注意當商與1的大小確定后必須對商式分子分母的正負進行判斷，這是用作商法比較大小時最容易漏掉的關鍵步驟．
(3)單調(diào)性法：利用有關函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?br>(4)特殊值驗證法：對于一些題目，有的給出取值范圍，可采用特殊值驗證法比較大小．
【例1】 (1)已知a1，a2∈(0,1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關系是( )
A．M＜N B．M＞N
C．M＝N D．不確定
(2)對于0＜a＜1，給出下列四個不等式：
①lga(1＋a)＜lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))；
②lga(1＋a)＞lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))；
③a1＋a＜a1＋eq \s\up10(\f(1,a))；
④a1＋a＞a1＋eq \s\up10(\f(1,a)).
其中成立的是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
(3)若a＝eq \f(ln 3,3)，b＝eq \f(ln 4,4)，c＝eq \f(ln 5,5)，則( )
A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
考法二不等式的性質及簡單應用
歸納總結
(1)判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明．常用的推理判斷需要利用不等式的性質．
(2)在判斷一個關于不等式的命題真假時，先把要判斷的命題和不等式性質聯(lián)系起來考慮，找到與命題相近的性質，并應用性質判斷命題真假，當然判斷的同時還要用到其他知識，比如對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質等．
(3)解決與充分、必要條件相結合的問題時，先用不等式的性質分別判斷p?q和q?p是否正確，再得出結論，要注意特殊值法的應用．
【例2】 (1)已知a，b，c，d為實數(shù)，則“a＞b且c>d”是“ac＋bd＞bc＋ad”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)若eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)＜0，則下列不等式：①a＋b＜ab；②eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＞eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))；③a＜b；④ab＜b2中，正確的不等式有( )
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
考法三應用不等式的性質求范圍
誤區(qū)防范：應用不等式性質求范圍問題的注意點
應用不等式的性質求某些代數(shù)式的取值范圍應注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值范圍．解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，最后通過“一次性”不等關系的運算求解范圍．此外，這類問題還可以用線性規(guī)劃的知識求解．
【例3】三個正數(shù)a，b，c滿足a≤b＋c≤2a，b≤a＋c≤2b，則eq \f(b,a)的取值范圍是__________．
【易錯警示】
易錯點忽視參數(shù)之間的制約關系，擴大了范圍
【典例】已知函數(shù)f(x)＝ax2－c，－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍．
【錯解】：由題意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4≤a－c≤－1，,－1≤4a－c≤5，))由不等式的性質可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤a≤3，,1≤c≤7，))故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤9a≤27，,－7≤－c≤－1，))因此－7≤f(3)≤26.
【錯因分析】：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4≤a－c≤－1，,－1≤4a－c≤5，))得到a，c自身的取值范圍是正確的，但事實上，a，c之間還存在著相互制約的關系，錯解中忽略了這種制約關系，從而將f(3)的范圍擴大了．
【正解】：設f(3)＝mf(1)＋nf(2)，則9a－c＝m(a－c)＋n(4a－c)，即9a－c＝(m＋4n)a－(m＋n)c，比較a，c的系數(shù)可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋4n＝9，,m＋n＝1，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(5,3)，,n＝\f(8,3)，))即f(3)＝－eq \f(5,3)f(1)＋eq \f(8,3)f(2)．
又－4≤f(1)≤－1，所以eq \f(5,3)≤－eq \f(5,3)f(1)≤eq \f(20,3)；
－1≤f(2)≤5，所以－eq \f(8,3)≤eq \f(8,3)f(2)≤eq \f(40,3).
所以－1≤－eq \f(5,3)f(1)＋eq \f(8,3)f(2)≤20，即－1≤f(3)≤20.
【誤區(qū)防范】：求代數(shù)式的取值范圍的問題
由a＜f(x，y)＜b，c＜g(x，y)＜d求F(x，y)的取值范圍，可利用待定系數(shù)法解決，設F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等變形求得m，n，再利用不等式的性質求得F(x，y)的取值范圍．
【跟蹤訓練】已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，則z＝2x－3y的取值范圍__________．(答案用區(qū)間表示)
【遞進題組】
1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，則f(x)，g(x)的大小關系是( )
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)＞g(x)
C．f(x)＜g(x)
D．隨x值的變化而變化
2．若a，b∈R且a＞b，則下列不等式恒成立的是( )
A．a(chǎn)2＞b2 B. eq \f(a,b)＞1
C．2a＞2b D．lg(a－b)＞0
3．已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是( )
A．若a＞b，則ac2＞bc2
B．若eq \f(a,c)＞eq \f(b,c)，則a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，則eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)
D．若a2＞b2且ab＞0，則eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)
4．已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足b＋c≤3a，則eq \f(c,a)的取值范圍為( )
A．(1，＋∞) B．(0,2)
C．(1,3) D．(0,3)
【考卷送檢】
一、選擇題
1．設a，b為實數(shù)，則“a

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