專題1.1 集合的概念與運算-2022年高考數(shù)學一輪復(fù)習核心素養(yǎng)大揭秘學案

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【考綱要求】
1. 了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系．
2．能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題．
3．理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集．
4．在具體情境中，了解全集與空集的含義．
5．理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．
6．理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．
7．能使用韋恩(Venn)圖表達集合的關(guān)系及運算.
【命題趨勢】
1. 利用集合的含義與表示求集合的元素或元素的個數(shù)．
2．根據(jù)集合間的關(guān)系求集合子集的個數(shù)、參數(shù)的取值或范圍．
3．考查數(shù)集的交集、并集、補集的基本運算．
4．常運用數(shù)軸或韋恩圖及數(shù)形結(jié)合思想來求解含未知參數(shù)的集合問題．
5．以集合為載體結(jié)合其他數(shù)學知識考查新概念、新性質(zhì)、新法則的創(chuàng)新問題的應(yīng)用.1.元素與集合
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容主要考查數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).
【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識】
1．集合的有關(guān)概念
(1) 集合元素的三個特性：確定性、無序性、互異性．
元素互異性，即集合中不能出現(xiàn)相同的元素，此性質(zhì)常用于求解含參數(shù)的集合問題中．
(2) 集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．
(3) 元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為eq \a\vs4\al(∈)；不屬于，記為eq \a\vs4\al(?).
(4) 五個特定的集合及其關(guān)系圖：
N*或N＋表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集．
2．集合間的基本關(guān)系
(1) 子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，則稱A是B的子集，記作A?B(或B?A)．
(2) 真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一個元素不屬于A，則稱A是B的真子集，記作AB或BA.
AB? eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A?B，,A≠B.))既要說明A中任何一個元素都屬于B，也要說明B中存在一個元素不屬于A.
(3) 集合相等：如果A?B，并且B?A，則A＝B.
兩集合相等：A＝B?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A?B，,A?B.))A中任意一個元素都符合B中元素的特性，B中任意一個元素也符合A中元素的特性．
(4) 空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．記作?.
?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．
3．集合間的基本運算
(1) 交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2) 并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為A與B的并集，記作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3) 補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．
求集合A的補集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其實是給定的條件.從全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素構(gòu)成的集合即為?UA.
【素養(yǎng)清單?常用結(jié)論】
(1) 子集的性質(zhì)：A?A，??A，A∩B?A，A∩B?B.
(2) 交集的性質(zhì)：A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
(3) 并集的性質(zhì)：A∪B＝B∪A，A∪B?A，A∪B?B，A∪A＝A，A∪?＝?∪A＝A.
(4) 補集的性質(zhì)：A∪?UA＝U，A∩?UA＝?，?U(?UA)＝A，?AA＝?，?A?＝A.
(5) 含有n個元素的集合共有2n個子集，其中有2n－1個真子集，2n－1個非空子集．
(6) 等價關(guān)系：A∩B＝A?A?B；A∪B＝A?A?B.
【真題體驗】
1.（2019·全國Ⅰ卷理1）已知集合，則=( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
.
2.（2019·全國Ⅰ卷文2）已知集合，則( )
A．B．C．D．
【答案】 C
【解析】
3.（2019·全國Ⅱ卷理1）設(shè)集合A=，B=，則A∩B=( )
A．(-∞，1)B．(-2，1)
C．(-3，-1)D．(3，+∞)
【答案】 A
【解析】
4.（2019·全國卷Ⅱ文1）已知集合，，則A∩B=( )
A．(–1，+∞)B．(–∞，2)
C．(–1，2)D．
【答案】C
【解析】
5.（2019·全國卷Ⅲ文、理1）已知集合，則( )
A． B． C． D．
【答案】 A
【解析】
6. （2019·天津卷文、理1） 設(shè)集合，則( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】
7.（2019·浙江卷1）已知全集，集合，，則=( )
A．B．C．D．
【答案】 A
【解析】
【考法拓展?題型解碼】
考法一 集合的含義與表示
歸納總結(jié)：與集合中的元素有關(guān)問題的求解策略
(1)確定集合的元素是什么，即集合是數(shù)集、點集還是其他類型的集合．
(2)看這些元素滿足什么限制條件．
(3)根據(jù)限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)，要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性．
【例1】 (1)已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
【答案】 C
【解析】因為A＝{0,1,2}，所以B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2，1,2}．故集合B中有5個元素．
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝( )
A．eq \f(9,2) B．eq \f(9,8)
C．0 D．0或eq \f(9,8)
【答案】D
【解析】當a＝0時，顯然成立；當a≠0時，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝eq \f(9,8).故a的值為0或eq \f(9,8).
考法二 集合的基本關(guān)系
歸納總結(jié)：
(1)判斷集合間的關(guān)系，要注意先對集合進行化簡，再進行判斷，并且在描述關(guān)系時，要盡量精確．
(2)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系(要注意區(qū)間端點的取舍)，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．
【例2】 (1)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，則下列結(jié)論正確的是( )
A．A＝B B．A∩B＝?
C．A?B D．B?A
【答案】D
【解析】由x＋3>0得x>－3，所以A＝{x|x>－3}，所以B?A
(2)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
【答案】A
【解析】A＝{x|0≤x≤2}，由A?B知a≥2即可
考法三 集合的基本運算
歸納總結(jié)：
集合基本運算的求解規(guī)律
(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運算，常借用Venn圖求解．
(2)集合中的元素若是連續(xù)的實數(shù)，常借助數(shù)軸求解，但是要注意端點值能否取到的情況．
(3)根據(jù)集合運算求參數(shù)，先把符號語言譯成文字語言，然后靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求解．
【例3】 (1)已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋4,x－1)≤0))))，B＝{y|y＝2x}，則A∩B＝( )
A．(0,4] B．(0,1)
C．(0,1] D．[－4,1]
【答案】B
【解析】因為A＝{x|－4≤x0}，所以A∩B＝(0,1)．故選B．
(2)(2019·黃岡調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝eq \f(1,\r(1－x2))的定義域為M，g(x)＝ln(1－x)的定義域為N，則M∪(?RN)＝( )
A．{x|x>－1} B．{x|x≥1}
C．? D．{x|－1＜x＜1}
【答案】A
【解析】由1－x>0得N＝{x|x0得M＝{x|－1