【考綱要求】
1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系．
2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題．
3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.
【命題趨勢】
圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系在高考中幾乎是年年考，一般單獨命題．但有時也與圓錐曲線等知識綜合，重點考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容主要考查數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng).
【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識】
1．直線與圓的位置關(guān)系(半徑為r，圓心到直線的距離為d)
2．圓與圓的位置關(guān)系(兩圓半徑為r1，r2，d＝|O1O2|)
【素養(yǎng)清單?常用結(jié)論】
(1)圓的切線方程常用結(jié)論
①過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
②過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)直線被圓截得的弦長
弦心距d、弦長l的一半eq \f(1,2)l及圓的半徑r構(gòu)成一直角三角形，且有r2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)l))2.
【真題體驗】
1.【2019年高考浙江卷】已知圓的圓心坐標是，半徑長是.若直線與圓C相切于點，則=___________，=___________．
2.【2018年高考北京卷理數(shù)】在平面直角坐標系中，記d為點P（cs θ，sin θ）到直線的距離，當θ，m變化時，d的最大值為
A．1 B．2
C．3 D．4
3.【2018年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是
A．B．
C．D．
4.【2018年高考江蘇卷】在平面直角坐標系中，A為直線上在第一象限內(nèi)的點，，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D．若，則點A的橫坐標為________．
【考法拓展?題型解碼】
考法一 直線與圓的位置關(guān)系
歸納總結(jié)
判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法
(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．
(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．
(3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．
上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題．
【例1】 (1)直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是( )
A．相交 B．相切
C．相離 D．不確定
(2)已知點P(a，b)(ab≠0)是圓x2＋y2＝r2內(nèi)的一點，直線m是以P為中點的弦所在的直線，直線l的方程為ax＋by＝r2，那么( )
A．m∥l，且l與圓相交 B．m⊥l，且l與圓相切
C．m∥l，且l與圓相離 D．m⊥l，且l與圓相離
考法二 弦長問題
歸納總結(jié)
弦長的兩種求法
(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個一元二次方程．在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長公式求弦長．
(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2eq \r(r2－d2).
【例2】 (2017·全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點，點C的坐標為(0,1)，當m變化時，解答下列問題：
(1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；
(2)證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值．
考法三 圓的切線問題
誤區(qū)防范
求圓的切線方程應(yīng)注意的問題
求過某點的圓的切線問題時，應(yīng)首先確定點與圓的位置關(guān)系，再求切線方程．若點在圓上(即為切點)，則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點的切線有兩條，此時應(yīng)注意斜率不存在的切線．
【例3】 已知點P(eq \r(2)＋1,2－eq \r(2))，點M(3,1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求過點P的圓C的切線方程；
(2)求過點M的圓C的切線方程．
考法四 圓與圓的位置關(guān)系
歸納總結(jié)
(1)判斷兩圓的位置關(guān)系多用幾何法，即用兩圓圓心距與半徑和或差的關(guān)系判斷，一般不采用代數(shù)法．
(2)求兩圓公共弦長的方法是在其中一圓中，由弦心距d，半弦長eq \f(l,2)，半徑r所在線段構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解．若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差得到．
【例4】 已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值時兩圓外切？
(2)m取何值時兩圓內(nèi)切？
(3)求m＝45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．
【易錯警示】
易錯點 忽略題目中的隱含條件
【典例】 曲線y＝1＋eq \r(4－x2)與直線y＝k(x－2)＋4有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,12))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,12)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(3,4))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,12)，\f(3,4)))
【錯解】：由y＝1＋eq \r(4－x2)得x2＋(y－1)2＝4，表示以(0,1)為圓心，2為半徑的圓．而直線y＝k(x－2)＋4恒過點(2,4)．由直線y＝k(x－2)＋4與圓x2＋(y－1)2＝4相交，得圓心到直線的距離eq \f(|3－2k|,\r(1＋k2))＜2，解得k＞eq \f(5,12).故選B.
【錯因分析】：錯解中由y＝1＋eq \r(4－x2)得x2＋(y－1)2＝4時，忽視了y的范圍，錯把曲線當成整個圓．
【正解答案】D
【正解】：由y＝1＋eq \r(4－x2)得x2＋(y－1)2＝4(y≥1)．如圖所示為半圓．
而直線y＝k(x－2)＋4恒過點(2,4)．設(shè)A(－2,1)，B(2,1)，P(2,4)．所以當斜率k滿足kPM＜k≤kPA時滿足題意，而MP的斜率滿足eq \f(|3－2k|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝eq \f(5,12)，kPA＝eq \f(4－1,2－?－2?)＝eq \f(3,4).所以eq \f(5,12)＜k≤eq \f(3,4).
【跟蹤訓練】 過點(eq \r(2)，0)引直線l與曲線y＝eq \r(1－x2)相交于A，B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于__________．
【遞進題組】
1．經(jīng)過點M(2,1)作圓x2＋y2＝5的切線，則切線方程為( )
A.eq \r(2)x＋y－5＝0 B.eq \r(2)x＋y＋5＝0
C．2x＋y－5＝0 D．2x＋y＋5＝0
2．(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[eq \r(2) ,3eq \r(2)] D．[2eq \r(2)，3eq \r(2)]
3．若直線x－y＝2被圓(x－1)2＋(y＋a)2＝4所截得的弦長為2eq \r(2)，則實數(shù)a的值為 ( )
A．－2或6 B．0或4
C．－1或eq \r(3) D．－1或3
4．(2018·全國卷Ⅰ)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點，則|AB|＝__________.
5．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦長為2eq \r(3)，則a＝__________.
【考卷送檢】
一、選擇題
1．若圓x2＋y2＝16和圓(x－a)2＋y2＝1相切，則a的值為( )
A．±3 B．±5
C．±3或±5 D．3或5
2．圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為( )
A．內(nèi)切 B．相交
C．外切 D．相離
3．已知直線l：y＝kx＋2(k∈R)，圓M：(x－1)2＋y2＝6，圓N：x2＋(y＋1)2＝9，則直線l( )
A．必與圓M相切，不可能與圓N相交
B．必與圓M相交，不可能與圓N相切
C．必與圓M相切，不可能與圓N相切
D．必與圓M相交，不可能與圓N相離
4．(2019·鄂南高中期中)已知圓C與直線y＝x及x－y－4＝0都相切，圓心在直線y＝－x上，則圓C的方程為( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
5．若直線l：y＝kx＋1被圓C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，則直線l的方程是( )
A．x＝0 B．y＝1
C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0
6．圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為( )
A．5eq \r(2)－4 B.eq \r(17)－1
C．6－2eq \r(2) D.eq \r(17)
二、填空題
7．若直線y＝kx與圓x2＋y2－4x＋3＝0相切，則k的值是________．
8．已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0與圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圓C1與圓C2相外切，則實數(shù)m＝________.
9．(2018·全國卷Ⅲ改編)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是________．
三、解答題
10．已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，分別求滿足下列條件的圓的切線方程．
(1)與直線l1：x＋y－4＝0平行；
(2)與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)過切點A(4，－1)．
11．(2019·湖北穩(wěn)派教育聯(lián)考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，且y軸和直線x－eq \r(3)y＋2＝0均與圓C相切．
(1)求圓C的標準方程；
(2)設(shè)點P(0,1)，若直線y＝x＋m與圓C相交于M，N兩點，且∠MPN為銳角，求實數(shù)m的取值范圍．
12．(2019·唐山調(diào)考)在△OAB中，已知O(0,0)，A(8,0)，B(0,6)，△OAB的內(nèi)切圓的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝4，P是圓上一點．
(1)求點P到直線l：4x＋3y＋11＝0的距離的最大值和最小值；
(2)若S＝|PO|2＋|PA|2＋|PB|2，求S的最大值和最小值．
13．(2019·南昌二中月考)已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為( )
A．7 B．6
C．5 D．4
相離
相切
相交
圖形
量化
方程觀點
Δ＜0
Δ＝0
Δ＞0
幾何觀點
d＞r
d＝r
d＜r
相離
外切
相交
內(nèi)切
內(nèi)含
圖形
量的關(guān)系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|

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