拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程同步練習(xí)一、選擇題已知拋物線上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值為  A. 3 B. 4 C.  D. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是   A.  B.  C.  D. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是       A. 拋物線 B. 橢圓
C. 圓 D. 不是上述三種曲線已知拋物線上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)M到x軸的距離為（ ）A.  B. 1 C. 2 D. 4若點(diǎn)P到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡是（ ）A. 直線 B. 拋物線 C. 橢圓 D. 軌跡不存在過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作兩條垂直的弦，則   A. 2 B. 4 C.  D. 若是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，則  A.  B.  C.  D. 已知P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是    A. 5 B. 8 C.  D. 頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，又過(guò)點(diǎn)的拋物線方程是（ ）A.  B.
C. 或 D. 或拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是     A.  B.  C.  D. 拋物線的準(zhǔn)線方程為A.  B.  C.  D. 對(duì)拋物線，下列描述正確的是A. 開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為 B. 開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為
C. 開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為 D. 開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為  ．A.  B. 2 C.  D. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，直線PF與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若，則    A.  B.  C. 2 D. 二、填空題設(shè)斜率為2的直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若為坐標(biāo)原點(diǎn)的面積為4，則拋物線的方程為_______________．己知拋物線，過(guò)點(diǎn)作直線l交拋物線于另一點(diǎn)B，Q是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)Q作與y軸垂直的直線，交拋物線于點(diǎn)C，若點(diǎn)P滿足，則的最小值是_______．已知點(diǎn)，，過(guò)A的直線與拋物線相交于P，Q兩點(diǎn)．若P為AQ中點(diǎn)，則______．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降2米后水面寬______米．

 三、解答題已知?jiǎng)訄AM過(guò)點(diǎn)且與直線相切．Ⅰ求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；Ⅱ斜率為的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于點(diǎn)N，求的值．
 已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為4．
求t，p的值；
設(shè)A，B是拋物線上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．




 已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為直線l與拋物線C的準(zhǔn)線的交點(diǎn)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)．
求拋物線C的方程；
設(shè)，求直線l的方程．

 如圖，已知橢圓：，拋物線：，點(diǎn)A是橢圓與拋物線的交點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)A的直線l交橢圓于點(diǎn)B，交拋物線于點(diǎn)M不同于．
若，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
若存在不過(guò)原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．



答案和解析1.【答案】A
【解答】
解：拋物線的焦點(diǎn)，
由拋物線的定義可得：，
的最小值為點(diǎn)F到l：的距離，
的最小值為．
故選A．
2.【答案】D【解答】解：拋物線，，焦點(diǎn)在y軸正半軸，，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為．3.【答案】A【解答】解：由已知得，它表示點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于M到直線的距離，由拋物線的定義可得點(diǎn)M的軌跡是拋物線．故選A．
4.【答案】C
【解答】
解：根據(jù)拋物線方程可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，
根據(jù)拋物線定義，
，
解得，
點(diǎn)M到x軸的距離為2．
故選C．
5.【答案】B
【解答】
解：因?yàn)辄c(diǎn)P到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小1，
所以點(diǎn)P到直線的距離等于它到點(diǎn)的距離，
因此點(diǎn)P的軌跡為拋物線．
故選B．
6.【答案】D
【解答】
解：如圖所示，拋物線，可知，
設(shè)直線AB的傾斜角為，則CD的傾斜角為，
因?yàn)?/span>AB、CD都過(guò)焦點(diǎn)，設(shè)A到準(zhǔn)線的距離為d，B到準(zhǔn)線的距離為，
由拋物線的性質(zhì)可得，
，
解得，，
則，
同理可得，
，
故選D．

7.【答案】C
【解答】
解：由題意可知拋物線開(kāi)口向左，且，
因此拋物線的準(zhǔn)線方程為，因此到拋物線準(zhǔn)線的距離為，
故．
故選C．
8.【答案】D
【解答】
解：拋物線的焦點(diǎn)為，
圓的圓心為，半徑為1，
根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離，

進(jìn)而推斷出當(dāng)P，Q，F，E四點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和最小，
P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到直線距離之和的最小值為：
，
故選D．
9.【答案】D
【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，
所以設(shè)拋物線方程為或，
又點(diǎn)在拋物線上，
所以，或，，
從而所求拋物線方程為或
10.【答案】B
【解答】
解：由得 ，焦點(diǎn)在y軸上，
即，
所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．
故選B．
11.【答案】A
【解答】
解：，
拋物線的準(zhǔn)線方程為，
即．
故選A ．
12.【答案】A
【解答】解：拋物線方程，化成標(biāo)準(zhǔn)方程形式為，
可得其開(kāi)口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為．
故選A．
13.【答案】C
【解答】

解：如圖所示，由拋物線的定義知，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離d等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離．
因此點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離之和可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離之和，
其最小值為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，則距離之和的最小值為 ．
故選C．
14.【答案】B
【解答】
解：拋物線C：的焦點(diǎn)為，
準(zhǔn)線為l：，
設(shè)，，M，N到準(zhǔn)線的距離分別為，，
由拋物線的定義可知，，
于是．
，
直線MN的斜率為，
，
直線PF的方程為，
將，
代入方程，
并化簡(jiǎn)得，
，
于是．
故選B．
15.【答案】y2
【解答】解：拋物線y2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，故直線l的方程為，令，得，故的面積為，，故拋物線的方程為y2．
16.【答案】
【解答】
解： 由已知設(shè)，，
又，
所以C為PQ的中點(diǎn)，
則，
又，Q為AB的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)?/span>C，B在拋物線上，
所以
消去得，，
即P的軌跡為直線，
所以的最小值為原點(diǎn)到直線的距離．
故答案為．
17.【答案】【解析】解：拋物線的焦點(diǎn)為，即B為焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
分別作點(diǎn)P，Q到準(zhǔn)線的垂線段，垂足分別為點(diǎn)D，C，
由拋物線的定義，可得，，由，，
因?yàn)?/span>，且P為AQ的中點(diǎn)，
所以PD是的中位線，，
即，
故．
故答案為：．
于基礎(chǔ)題．

18.【答案】
 【解析】【分析】
本題主要考查了拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，則，將其坐標(biāo)代入，可得，當(dāng)水面下降2m，得，代入求解，則水面寬為．
【解答】
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，則，將其坐標(biāo)代入，得．
．
當(dāng)水面下降2m，得，將其坐標(biāo)代入，得，
水面寬 m．
故答案為．
19.【答案】解：Ⅰ由已知可得，點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到直線的距離，
所以點(diǎn)M的軌跡是拋物線．
點(diǎn)P為拋物線的焦點(diǎn)，直線即為拋物線的準(zhǔn)線．
設(shè)拋物線C的方程為，
所以，
所以，
故動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程為．
Ⅱ由已知可得直線l的方程為，
記，
由
消去y整理可得．
由韋達(dá)定理可得，
所以．
所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為．
所以線段AB的中垂線方程為．
令，可得，
所以．
所以．
又由拋物線的定義可知．
所以．
20.【答案】由拋物線定義得，所以拋物線方程為，代入點(diǎn)，可解得．
故設(shè)直線AB的方程為聯(lián)立消元得：，
則：由得：，所以：或舍去即，所以直線AB的方程為，所以直線AB過(guò)定點(diǎn)
 21.【答案】解：依題意知，解得，
所以拋物線C的方程為．
設(shè)，，則，且設(shè)直線l的方程為．
將代入，并整理得，
從而，．
所以，

．
因?yàn)?/span>，，
所以2
，
所以，解得，
所以直線l的方程為，
即或．
22.【答案】解：，則，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，
由題意可設(shè)直線l：，點(diǎn)，
將直線l的方程代入橢圓：得

點(diǎn)M的縱坐標(biāo)。
將直線l的方程代入拋物線：得
，
，可得，
因此，
由，可得，
即，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
的最大值為．
  

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