橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程同步練習(xí)一、選擇題若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是    A.  B.  C.  D. 若過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)的弦被該點(diǎn)平分，則該弦所在的直線方程為    A.  B.  C.  D. 如圖，是雙曲線與橢圓的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)A是，在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，若，則的離心率是    
 A.  B.  C.  D. 若橢圓的離心率是，則m的值等于    A.  B.  C. 或3 D. 或3已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．在中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長(zhǎng)為      A. 6 B. 5 C. 4 D. 3已知，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，B為橢圓C的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為若為等腰三角形，則   A.  B.  C.  D. 3過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F的直線過(guò)C的上端點(diǎn)B，且與橢圓相交于點(diǎn)A，若則C的離心率為        A.  B.  C.  D. 若橢圓C：的右焦點(diǎn)坐標(biāo)是，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A.  B.  C.  D. 已知經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線AB，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為    A. 36 B. 25 C.  12 D. 24方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的一個(gè)充分不必要條件是（ ）A.  B.  C.  D. 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的值是   A. 2 B.  C. 4 D. 已知橢圓分別過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，則該橢圓的焦距為（ ）A.  B. 2 C.  D. 橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為（ ）A.  B. 4 C.  D. 若點(diǎn)M到兩定點(diǎn)，的距離之和為2，則點(diǎn)M的軌跡是（ ）A. 橢圓 B. 直線
C. 線段 D. 線段的中垂線．二、填空題過(guò)點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為          ．已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是一定點(diǎn)，則的最大值是______．橢圓的左右焦點(diǎn)為，，，離心率為，過(guò)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為______．已知兩定點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)在直線l：上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為________．三、解答題已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)定點(diǎn)．求橢圓C的方程．已知直線l：與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)在y軸上是否存在定點(diǎn)P，使得以弦AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和的面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．



 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：的下頂點(diǎn)為B，點(diǎn)M，N是橢圓上異于點(diǎn)B的動(dòng)點(diǎn)，直線BM，BN分別與x軸交于點(diǎn)P，Q，且點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．
求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)直線MN交y軸于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)M，N均在y軸右側(cè)，且時(shí)，求直線BM的方程．






 已知橢圓C：的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
求橢圓C的方程；
設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線l與中的橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍．






 已知橢圓C：，且橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最短距離為
Ⅰ求橢圓C的離心率；
Ⅱ若點(diǎn)在橢圓C上，不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，與直線OM相交于點(diǎn)N，且N是線段AB的中點(diǎn)，求面積的最大值．




 答案和解析1.【答案】B
【解答】
解：方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
，解得：．
故選B．
2.【答案】C
【解答】
解：設(shè)弦兩端點(diǎn)為，
根據(jù)題意可得，，
則
得 ，
即直線為，化簡(jiǎn)得，
故選C．
3.【答案】C
【解答】
解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，右焦點(diǎn)為，
由題意，是雙曲線與橢圓的公共焦點(diǎn)可知，
，
由雙曲線的定義可知：，，
由橢圓的定義可知：，所以，
的離心率是．
故選C．
4.【答案】C
【解答】
解：當(dāng)，即時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上

求得
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上

，求得．
故選C．
5.【答案】A
【解答】解：由橢圓定義知，兩式相加得，
即的周長(zhǎng)為16．
又因?yàn)樵?/span>中，兩邊之和是10，
所以第三邊的長(zhǎng)度為．
6.【答案】A
【解答】解：設(shè)，由橢圓的定義可得．
由題意可知，，
由于是等腰三角形，則，即，
所以，所以，，因此．
故選A
7.【答案】D
【解答】
解：過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)的直線過(guò)C的上端點(diǎn)，且與橢圓相交于點(diǎn)A，
若，設(shè)，
則，
所以，
又A在橢圓上，
則，解得，
則．
故選D．
8.【答案】A【解析】解：由題設(shè)知：，，，故橢圓方程為，
9.【答案】D
【解答】
解：橢圓方程為，
長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，
由橢圓的定義可得，
的周長(zhǎng)為

，
故選D．
10.【答案】B
【解答】解：方程可變形為，
若表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則有，解得．
易知，
所以是的充分不必要條件．
故選B．
11.【答案】C
【解答】
解：由題意，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，．
因?yàn)?/span>，，所以四邊形是平行四邊形，
所以，所以．
故選C．
12.【答案】C
【解答】
解：由題意可得：，且，
可得：，，，
所以，焦距．
故選：C．
13.【答案】C
 【解析】解：根據(jù)題意，橢圓中，，
則橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為；
14.【答案】C【解析】解：根據(jù)題意，兩定點(diǎn)，則，
而動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)和的距離之和為2，
則M的軌跡為線段，
15.【答案】
 【解答】
解：由得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，
由題意可知：設(shè)橢圓方程為：，
將代入橢圓方程得：，
整理得：解得：或，
，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
故答案為．
16.【答案】
【解答】
解：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，
設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，
根據(jù)橢圓的定義可知，
當(dāng)取得最大值時(shí)，最大，
如圖所示：

因?yàn)?/span>，
當(dāng)且僅當(dāng)P，A，三點(diǎn)共線，且在線段PA上時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最大值為：．
故答案為：．
17.【答案】20
【解答】
解：橢圓的左右焦點(diǎn)為，，，離心率為，
，解得，，，
過(guò)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
的周長(zhǎng)為．
故答案為：20．
18.【答案】
【解答】解：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，則有解得，，則，易知的最小值等于，因此橢圓C的離心率的最大值為．
19.【答案】解：由已知可得，解得
橢圓C的方程為；
由，消y得，
設(shè)，，則、是方程的兩根，
，
設(shè)，則，



假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)P，使得以弦AB為直徑的圓恒過(guò)P點(diǎn)，
則，即．
即對(duì)任意恒成立，
，
此方程組無(wú)解，
不存在定點(diǎn)滿足條件．
20.【答案】解：由，，
得直線NQ的方程為．令，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
所以橢圓的方程為．將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入，
得，解得．所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．設(shè)線法  設(shè)直線BM的斜率為，
則直線BM的方程為．
在中，令，得，
而點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn)，所以．
所以直線BN的斜率．聯(lián)立
消去y，得，解得．
用2k代替k，得．又，所以，得．故，
又，解得．
所以直線BM的方程為．
21.【答案】解：由已知得 ，，解得，
橢圓C的方程為．
直線l方程為，將其代入，
得，
設(shè)，，
，解得，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得，
為銳角，
，
，
，
，
化簡(jiǎn)得，
解得，
由且，
解得
 22.【答案】解：Ⅰ由題意，得，
則，結(jié)合，得，即，
亦即，結(jié)合，解得．
所以橢圓C的離心率為．
Ⅱ由Ⅰ得，則．
將代入橢圓方程，解得．
所以橢圓方程為．
易得直線OM的方程為．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)不可能在直線上，故直線l的斜率存在．
設(shè)直線l的方程為，與聯(lián)立，
消y得，
所以
．
設(shè)，，
則，．
由，
得AB的中點(diǎn)，
因?yàn)?/span>N在直線上，
所以，解得．
所以，得，且，



．
又原點(diǎn)O到直線l的距離，
所以

．
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，符合，且．
所以面積的最大值為：．
 

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