橢圓的簡單幾何性質(zhì)同步練習(xí)一、選擇題已知有相同兩焦點(diǎn)、的橢圓和雙曲線，P是它們的一個交點(diǎn)，則的形狀是（ ）A. 銳角三角形 B. 直角三角形
C. 鈍角三角形 D. 隨m，n變化而變化已知橢圓：，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB被點(diǎn)M平分，則直線AB的方程為     A.  B.  C.  D. 若過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的弦被該點(diǎn)平分，則該弦所在的直線方程為    A.  B.
C.  D. 已知橢圓的一個焦點(diǎn)是圓的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點(diǎn)為    A.  B.  C.  D. 我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”其中，如圖，設(shè)點(diǎn)，，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，、和、是“果圓”與x，y軸的交點(diǎn)，若是邊長為1的等邊三角形，則a，b的值分別為A. 5，4 B. ，1 C. 5，3 D. ，1如圖，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，的面積為的正三角形，則的值為（ ）A.
B.
C.
D. 已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為    A.  B.  C.  D. 已知，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）A.  B.  C.  D. 已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，P是它們的一個交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為（ ）A. 3 B. 2 C.  D. 已知橢圓C：的離心率為，短軸長為2，過右焦點(diǎn)F且斜率為的直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．若，則k=（ ）A. 1 B.  C.  D. 2已知，是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，過且垂直x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且，則C的方程為（ ）A.  B.  C.  D. 已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則弦長A.  B.  C.  D. 若橢圓的右焦點(diǎn)為F，且與直線交于P，Q兩點(diǎn)，則的周長為（ ）A.  B.  C. 6 D. 8橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上的點(diǎn)M滿足：，且，則
 A. 1 B.  C.  D. 2二、填空題已知拋物線C：的焦點(diǎn)F與的一個焦點(diǎn)重合，過焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩不同點(diǎn)，拋物線C在A，B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)M，且M的橫坐標(biāo)為2，則弦長________．設(shè)M是橢圓C：上一點(diǎn)，以M為圓心的圓與x軸相切，切點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)F，圓M與y軸相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若為等邊三角形，則橢圓C的離心率為________．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為_________．設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，若，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是_________．三、解答題（本大題共4小題，共48.0分）已知橢圓四個頂點(diǎn)中的三個是邊長為的等邊三角形的頂點(diǎn)．Ⅰ求橢圓E的方程；Ⅱ設(shè)直線與圓相切且交橢圓E于兩點(diǎn)，求線段的最大值．


 已知橢圓的兩個頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)P為橢圓上異于A，B的點(diǎn)，設(shè)直線PA的斜率為，直線PB的斜率為，且．
求橢圓C的離心率；
若，設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)，與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，求面積的最大值．


 已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為3，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
Ⅰ求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
Ⅱ過右焦點(diǎn)F傾斜角為的直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，求的面積．



 已知橢圓C：的焦距為2，A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，M，N為橢圓C上的兩點(diǎn)異于A，，連結(jié)AM，BN，MN，且BN斜率是AM斜率的3倍．求橢圓C的方程；證明：直線MN恒過定點(diǎn)．


 答案和解析1.【答案】B
【解答】
解：由題意，不妨設(shè)P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，，，則，，
，
兩曲線有相同的焦點(diǎn)，
，
，
，
即，
是直角三角形，
故選B．
2.【答案】A
【解答】
解：設(shè)、，
則，，
，
，得．
．
又為AB中點(diǎn)，
，．
直線AB的斜率為．
直線AB的方程為，即．
故選：A．
3.【答案】A
【解答】
解：設(shè)弦的兩端點(diǎn)為， ， P 為AB 中點(diǎn)得，
 由A ， B 在橢圓上有
兩式相減得，
即，
即，即，
則斜率，且過點(diǎn)，有，
整理得．
故選 A．
4.【答案】D
【解答】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
圓心坐標(biāo)是，
．
又，
．
橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的左頂點(diǎn)為．
故選D．
5.【答案】D【解析】解：由題意可得，
，解得，
又，得，即，．
6.【答案】B
【解答】
解：的面積為的正三角形，
，
解得．
代入橢圓方程可得：，與聯(lián)立解得：．
故選B．
7.【答案】A
 【解答】解：設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)，，，，，所以，，由，設(shè)線段的中點(diǎn)為M，則則，，則，，可得，解得，則橢圓的離心率為．故選A．
8.【答案】C
【解答】
解：設(shè)橢圓方程為，焦距為2c，橢圓上任一點(diǎn)，
由的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)，
則，得恒成立，
代入橢圓方程化簡得，又，
所以，化簡得，
得，可得，
又，，
故選C．
9.【答案】D
 【解答】
解：不妨設(shè)，分別為左、右焦點(diǎn)，P為第一象限的點(diǎn)，如圖：
設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，
則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義知，，
，．
設(shè)，在中，，
由余弦定理得，，
化簡得，即，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
則的最大值為，
故選D．
10.【答案】B
【解答】
解：橢圓C：的離心率為，短軸長為2，
可得：，，解得：，，，
橢圓方程為，
過右焦點(diǎn)F且斜率為的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，
設(shè)，，
，，
設(shè)直線AB方程為，
代入，消去x，可得，
，，
，，
解得：．
故選：B．
11.【答案】C
【解答】解：，是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，可得，
過且垂直x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且，
令橢圓方程中，得，
可得，
化簡得，
解得，則，
所求的橢圓方程為：．
故選：C．
12.【答案】A
【解答】
解：設(shè)，，
代入橢圓方程得，，

相減得，
．
，，．
，
化為，又，解得，．
橢圓E的方程為 ．
AB的斜率為，且過，
直線AB的方程為，即，代入橢圓方程，得．
．
．
故選：A．
13.【答案】B【解析】解：直線l過橢圓C的左焦點(diǎn)，
直線經(jīng)過左焦點(diǎn)，
的周長

，
14.【答案】C
 【解析】解：設(shè)，，因?yàn)?/span>，則，，
又，，
在中，由余弦定理可得：，
式平方減去式得：，得：．
故選：C．
設(shè)，，由數(shù)量積及的大小可得，再由橢圓的定義可得，在中，由余弦定理可得b的值．
本題考查橢圓的性質(zhì)及數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．
15.【答案】10
【解答】
解：由題意可得，則，拋物線方程為．
設(shè)直線AB方程為，，，其中，．
由得，
所以在點(diǎn)A處的切線方程為，化簡得， 
同理可得在點(diǎn)B處的切線方程為 
聯(lián)立得，
又的橫坐標(biāo)為2，
．
將AB方程代入拋物線得，
，
，
，
．
故答案為10．
16.【答案】
【解答】
解：如圖，過M作軸于N，由為等邊三角形，
可得，
再由題意可得，則圓M為，
取，可得，，
，即，
解得：．
故答案為：．
17.【答案】6
【解答】
解：由題意，，
設(shè)點(diǎn)，
則有，
解得，
因?yàn)?/span>
所以，
此二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的對稱軸為，
因?yàn)?/span>，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
故答案為6．
18.【答案】或
【解答】解：設(shè)．由，
得．又A，B均在橢圓上，所以有解得或所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為或．
19.【答案】解：Ⅰ由題意，橢圓上下頂點(diǎn)與左右頂點(diǎn)其中的一個構(gòu)成等邊三角形，
所以，即，
所以橢圓E的方程為，
Ⅱ圓，因?yàn)橹本€與圓相切，
所以，即；
聯(lián)立得，，
設(shè)，所以
由弦長公式得，
將代入：
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
故弦長最大值為．
20.【答案】解：設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，
則，整理得：，
又，，，
聯(lián)立兩個方程則，
解得．
由知，又，
橢圓C的方程為．
由題意，設(shè)直線l的方程為：，
代入橢圓的方程有：，
則，
設(shè)，，
則，，
則的面積


，
令，，則有，
代入上式有，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
所以面積的最大值為．
21.【答案】解：Ⅰ橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
由橢圓C上的點(diǎn)到F的最大距離為，則，
，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
Ⅱ設(shè)，，
由已知可設(shè)直線MN的方程為：，
聯(lián)立方程組消去x得：．
，，．
的面積
22.【答案】解：

所以
橢圓C的方程為；
連結(jié)BM，設(shè)，
則，
點(diǎn)在橢圓上，
，
，
，
當(dāng)MN斜率不存在時(shí)，設(shè)，不妨設(shè)M在x軸上方，
，
，
；
當(dāng)MN斜率存在時(shí)，設(shè)，
由，整理，得，
，
，
化簡可得，即或，
當(dāng)時(shí)，，恒過定點(diǎn)，當(dāng)斜率不存在亦符合；
當(dāng)，，過點(diǎn)與點(diǎn)B重合，舍去，
直線恒過定點(diǎn)．
  

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