高中人教A版 (2019)3.3 拋物線優(yōu)秀練習題

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?3.3.1 拋物線及其標準方程

課程標準
核心素養(yǎng)
1.了解拋物線的實際背景，感受拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用．
2.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程.
數(shù)學抽象
直觀想象




知識點1 拋物線的定義
平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
注：①在拋物線定義中，若去掉條件“l(fā)不經(jīng)過點F”，點的軌跡還是拋物線嗎？
不一定是，若點F在直線l上，點的軌跡是過點F且垂直于直線l的直線．
②定義的實質(zhì)可歸納為“一動三定”
一個動點M；一個定點F(拋物線的焦點)；一條定直線(拋物線的準線)；一個定值(點M到點F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．
【即學即練1】設拋物線y2＝8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是(　　)
A．4　　　　　　　　　　 B．6
C．8 D．12
【解析】由拋物線的方程得＝＝2，再根據(jù)拋物線的定義，可知所求距離為4＋2＝6.故選B
【即學即練2】已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0等于(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
【解析】∵＋x0＝x0，∴x0＝1.

知識點2　拋物線標準方程的幾種形式
圖形
標準方程
焦點坐標
準線方程

y2＝2px(p>0)

x＝－

y2＝－2px(p>0)

x＝

x2＝2py(p>0)

y＝－

x2＝－2py(p>0)

y＝
注：1、拋物線方程的推導：
我們?nèi)〗?jīng)過點F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，并使原點與線段KF的中點重合，建立平面直角坐標系Oxy.設|KF|＝p(p>0)，那么焦點F的坐標為，準線l的方程為x＝－.

設M(x，y)是拋物線上任意一點，點M到準線l的距離為d.由拋物線的定義，拋物線是點的集合P＝{M||MF|＝d}．
則M到F的距離為|MF|＝，M到直線l的距離為，
所以＝，
將上式兩邊平方并化簡，得y2＝2px(p>0)．

2、p的幾何意義是焦點到準線的距離．標準方程的結構特征：頂點在坐標原點、焦點在坐標軸上．
拋物線的開口方向：拋物線的開口方向取決于一次項變量(x或y)的取值范圍．

3、四個標準方程的區(qū)分
焦點在一次項變量對應的坐標軸上，開口方向由一次項系數(shù)的符號確定．當系數(shù)為正時，開口向坐標軸的正方向；當系數(shù)為負時，開口向坐標軸的負方向．

4、（1）通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于，通徑是過焦點最短的弦.
（2）拋物線（）上一點到焦點的距離，也稱為拋物線的焦半徑.

【即學即練3】求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)焦點為，準線方程為；
(2)焦點為，準線方程為；
(3)焦點為，準線方程為；
(4)焦點為，準線方程為.
(1)由題設，，則，
而焦點為，即為，準線方程為，即為.
(2)由題設，，則，
而焦點為，即為，準線方程為，即為.
(3)由題設，，則，
而焦點為，即為，準線方程為，即為.
(4)由題設，，故，則，
而焦點為，即為，準線方程為，即為.


【即學即練4】拋物線2y2－5x＝0的焦點坐標為________，準線方程為________．
【解析】將2y2－5x＝0變形為y2＝x，
∴2p＝，p＝，
∴焦點坐標為，
準線方程為x＝－.
答案：　 x＝－

【即學即練5】如果拋物線y2＝2px的準線是直線x＝－2，那么它的焦點坐標為________．
【解析】因為準線方程為x＝－2＝－，即p＝4，所以焦點為(2,0)．

【即學即練6】經(jīng)過點(2,4)的拋物線的標準方程為(　　)
A．y2＝8x　　　　　 B．x2＝y(tǒng)
C．y2＝8x或x2＝y(tǒng) D．無法確定
【解析】由題設知拋物線開口向右或開口向上，設其方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，將(2,4)代入可得p＝4或p＝，所以所求拋物線的標準方程為y2＝8x或x2＝y(tǒng)，故選C.

【即學即練7】焦點在y軸上，焦點到準線的距離為5的拋物線的標準方程為____________．
【解析】設方程為x2＝2my(m≠0)，由焦點到準線的距離為5，知|m|＝5，m＝±5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標準方程分別為x2＝10y和x2＝－10y.



考點一 拋物線的標準方程
解題方略：
1、求拋物線的標準方程的方法
定義法
根據(jù)定義求p，最后寫標準方程
待定系數(shù)法
設標準方程，列有關的方程組求系數(shù)
直接法
建立恰當?shù)淖鴺讼?，利用拋物線的定義列出動點滿足的條件，列出對應方程，化簡方程
注：當拋物線的焦點位置不確定時，應分類討論，也可以設y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以簡化討論過程．　　　　
2、用待定系數(shù)法求拋物線標準方程的步驟

【例1-1】求適合下列條件的拋物線的標準方程：
(1)過點M(－6,6)；
(2)焦點F在直線l：3x－2y－6＝0上．
【解析】(1)由于點M(－6,6)在第二象限，
∴過M的拋物線開口向左或開口向上．
若拋物線開口向左，焦點在x軸上，
設其方程為y2＝－2px(p>0)，
將點M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
∴p＝3.∴拋物線的方程為y2＝－6x.
若拋物線開口向上，焦點在y軸上，
設其方程為x2＝2py(p>0)，
將點M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，
∴p＝3，∴拋物線的方程為x2＝6y.
綜上所述，拋物線的標準方程為y2＝－6x或x2＝6y.
(2)①∵直線l與x軸的交點為(2,0)，
∴拋物線的焦點是F(2,0)，∴＝2，∴p＝4，
∴拋物線的標準方程是y2＝8x.
②∵直線l與y軸的交點為(0，－3)，
即拋物線的焦點是F(0，－3)，
∴＝3，∴p＝6，
∴拋物線的標準方程是x2＝－12y.
綜上所述，所求拋物線的標準方程是y2＝8x或x2＝－12y.


變式1：拋物線的焦點F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點A，|AF|＝5，求拋物線的標準方程．
【解析】設所求焦點在x軸上的拋物線的標準方程為y2＝2ax(a≠0)，點A(m，－3)．
由拋物線的定義得|AF|＝＝5，
又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9.
∴所求拋物線的標準方程為y2＝±2x或y2＝±18x.

變式2：若拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點與橢圓＋＝1的上焦點重合，則該拋物線的準線方程為(　　)
A．y＝－1 B．y＝1
C．y＝－2 D．y＝2
【解析】∵橢圓＋＝1的上焦點坐標為(0,2)，∴拋物線的焦點坐標為(0,2)，∴拋物線的準線方程為y＝－2，故選C.


考點二 拋物線定義的應用
解題方略：
拋物線定義的兩種應用
(1)實現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化．根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線定義可以實現(xiàn)點點距離與點線距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題．
(2)解決最值問題．在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題．　　　
（一）利用拋物線的定義解決軌跡問題
【例2-1】若動點M(x，y)到點F(4,0)的距離比它到直線x＋5＝0的距離小1，則點M的軌跡方程是(　　)
A．x＋4＝0 B．x－4＝0
C．y2＝8x D．y2＝16x
【解析】依題意可知，點M到點F的距離等于點M到直線x＝－4的距離，因此其軌跡是拋物線，且p＝8，頂點在原點，焦點在x軸正半軸上，所以其方程為y2＝16x，故選D.


變式1：若位于y軸右側(cè)的動點M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大.求點M的軌跡方程．
【解析】由于位于y軸右側(cè)的動點M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大，
所以動點M到F的距離與它到直線l：x＝－的距離相等．
由拋物線的定義知動點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線(不包含原點)，
其方程應為y2＝2px(p>0)的形式，
而＝，所以p＝1,2p＝2，
故點M的軌跡方程為y2＝2x(x≠0)．


變式2：動圓P與定圓A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且與直線l：x＝1相切，求動圓圓心P的軌跡方程．
【解析】如圖，設動圓圓心P(x，y)，過點P作PD⊥l于點D，
作直線l′：x＝2，過點P作PD′⊥l′于點D′，連接PA.
設圓A的半徑為r，動圓P的半徑為R，可知r＝1.
∵圓P與圓A外切，∴|PA|＝R＋r＝R＋1.
又∵圓P與直線l：x＝1相切，
∴|PD′|＝|PD|＋|DD′|＝R＋1.
∵|PA|＝|PD′|，即動點P到定點A與到定直線l′的距離相等，
∴點P的軌跡是以A為焦點，以l′為準線的拋物線．
設拋物線的方程為y2＝－2px(p＞0)，可知p＝4，
∴所求動圓圓心P的軌跡方程為y2＝－8x.

變式3：已知動點的坐標滿足，則動點的軌跡方程為_____________．
【解析】設直線，則動點到點的距離為，動點到直線的距離為，又因為，
所以動點M的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，其軌跡方程為．
故答案為：

（二）利用拋物線的定義求距離或點的坐標
【例2-2】設拋物線C：y2＝4x上一點P到y(tǒng)軸的距離為4，則點P到拋物線C的焦點的距離是(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．5
C．6 D．7
【解析】拋物線C的準線方程為x＝－1，設拋物線C的焦點為F，由拋物線的定義知，|PF|＝d(d為點P到拋物線C的準線的距離)，又d＝4＋1＝5，所以|PF|＝5.故選B


變式1：若拋物線y2＝－2px(p＞0)上有一點M，其橫坐標為－9，且點M到焦點的距離為10，求點M的坐標．
【解析】由拋物線方程y2＝－2px(p＞0)，得焦點坐標為F，準線方程為x＝.設點M到準線的距離為d，則d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，解得p＝2，故拋物線方程為y2＝－4x.設點M的縱坐標為y0，由點M(－9，y0)在拋物線上，得y0＝±6，故點M的坐標為(－9,6)或(－9，－6)．


（三）與拋物線定義有關的最大(小)值問題

【例2-3】已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，求點P到點(0,2)的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值．
【解析】由拋物線的定義可知，拋物線上的點到準線的距離等于它到焦點的距離．由圖可知，點P，點(0,2)和拋物線的焦點F三點共線時距離之和最小，

所以最小距離d＝＝.

變式1：已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，求點P到A(3,2)的距離與P到焦點的距離之和的最小值．
【解析】將x＝3代入y2＝2x，

得y＝±.
所以點A在拋物線內(nèi)部．
設點P為其上一點，點P到準線(設為l)x＝－的距離為d，
則|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
由圖可知，當PA⊥l時，|PA|＋d最小，最小值是.
即|PA|＋|PF|的最小值是.

變式2：已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，求點P到直線3x－4y＋＝0的距離與P到該拋物線的準線的距離之和的最小值．
【解析】如圖，作PQ垂直于準線l于點Q，

|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.
|A1F|的最小值為點F到直線3x－4y＋＝0的距離d＝＝1.
即所求最小值為1.

變式3：已知P為拋物線x2＝12y上一個動點，Q為圓(x－4)2＋y2＝1上一個動點，則點P到點Q的距離與點P到x軸距離之和的最小值是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】由拋物線的方程可知焦點F(0,3)，則準線方程為y＝－3，
如圖，過點P作x軸的垂線，垂足為點A，延長PA交準線于點B，設圓(x－4)2＋y2＝1的圓心為點C.

根據(jù)拋物線的定義可得|PA|＝|PB|－|AB|＝|PF|－|AB|，
∴|PA|＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－|AB|＝|PF|＋|PQ|－3，
∴當|PA|＋|PQ|最小時，則|PF|＋|PQ|最小，即F，P，Q(Q位于C，P之間)三點共線時，|PA|＋|PQ|最小，
∴(|PF|＋|PQ|)min＝|FC|－|QC|＝－1＝4，
∴(|PA|＋|PQ|)min＝(|PF|＋|PQ|)min－3＝4－3＝1.故選D

變式4：已知拋物線的焦點為，為拋物線上的動點，直線與拋物線的另一交點為，關于點的對稱點為，則的最小值為（???????）
A．3 B．5 C．6 D．10
【解析】取的中點為，過分別作準線的垂線交準線于，連接.點到準線的距離為，由定義可知，，，所以（當三點共線時取等號），即的最小值為.
故選：D


考點三 拋物線的實際應用
解題方略：
1、涉及拱橋、隧道的問題，通常需建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，利用拋物線的標準方程進行求解．
2、求拋物線實際應用的五個步驟

【例3-1】河上有一拋物線形拱橋，當水面距拱橋頂5 m時，水面寬為8 m，一小船寬4 m，高2 m，載貨后船露出水面上的部分高0.75 m，問：水面上漲到與拋物線拱橋拱頂相距多少米時，小船開始不能通航？
【解析】如圖，以拱橋的拱頂為原點，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標系．設拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，由題意可知，點B(4，－5)在拋物線上，故p＝，得x2＝－y.當船面兩側(cè)和拋物線接觸時，船不能通航，設此時船面寬為AA′，則A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高為0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2 m時，小船開始不能通航．



變式1：某大橋在漲水時有最大跨度的中央橋孔，已知上部呈拋物線形，跨度為20米，拱頂距水面6米，橋墩高出水面4米．現(xiàn)有一貨船欲過此孔，該貨船水下寬度不超過18米，目前吃水線上部中央船體高5米，寬16米，且該貨船在現(xiàn)有狀況下還可多裝1 000噸貨物，但每多裝150噸貨物，船體吃水線就要上升0.04米．若不考慮水下深度， 問：該貨船在現(xiàn)在狀況下能否直接或設法通過該橋孔？為什么？
【解析】如圖所示，以拱頂為原點，過拱頂?shù)乃街本€為x軸，豎直直線為y軸，建立直角坐標系．
因為拱頂距水面6米，橋墩高出水面4米，所以A(10，－2)．
設橋孔上部拋物線方程是x2＝－2py(p>0)，
則102＝－2p×(－2)，所以p＝25，
所以拋物線方程為x2＝－50y，即y＝－x2.
若貨船沿正中央航行，船寬16米，而當x＝8時，
y＝－×82＝－1.28，
即船體在x＝±8之間通過點B(8，－1.28)，此時B點距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船體高為5米，所以無法通行．
又因為5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，
150×7＝1 050(噸)，
所以若船通過增加貨物通過橋孔，則要增加1 050噸，而船最多還能裝1 000噸貨物，所以貨船在現(xiàn)有狀況下不能通過橋孔．

變式2：如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2 m，水面寬4 m．水位下降1 m后，水面寬________ m.

【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的方程為x2＝－2py(p＞0)，則點(2，－2)在拋物線上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.當y＝－3時，x2＝6，所以水面寬為2 m.
答案：2


題組A 基礎過關練
1、根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程．
(1)焦點到準線的距離是5；
(2)焦點F在y軸上，點A(m，－2)在拋物線上，且|AF|＝3.
【解析】(1)由題意知p＝5，則2p＝10.因為沒有說明焦點所在坐標軸和開口方向，所以四種類型的拋物線都有可能，故標準方程可為y2＝10x，y2＝－10x，x2＝10y，x2＝－10y.
(2)由題意可設拋物線的標準方程為x2＝－2py(p＞0)．由|AF|＝3，得＋2＝3，所以p＝2.所以拋物線的標準方程為x2＝－4y.

2、已知拋物線的焦點為F(a,0)(a＜0)，則拋物線的標準方程是(　　)
A．y2＝2ax B．y2＝4ax
C．y2＝－2ax D．y2＝－4ax
【解析】因為拋物線的焦點為F(a,0)(a＜0)，所以拋物線的標準方程為y2＝4ax，故選B.

3、若拋物線y2＝－2px(p＞0)上有一點M，其橫坐標為－9，它到焦點的距離為10，則點M的坐標為________．
【解析】由拋物線方程y2＝－2px(p＞0)，
得其焦點坐標為F，
準線方程為x＝.
設點M到準線的距離為d，
則d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，
得p＝2，故拋物線方程為y2＝－4x.
由點M(－9，y)在拋物線上，得y＝±6，
故點M的坐標為(－9,6)或(－9，－6)．

4、拋物線y＝12x2上的點到焦點的距離的最小值為________．
【解析】將方程化為標準形式是x2＝y(tǒng)，因為2p＝，所以p＝.故到焦點的距離最小值為.

5、過點A(3,0)且與y軸相切的圓的圓心軌跡為(　　)
A．圓 B．橢圓 C．直線 D．拋物線
【解析】由題意可知，動圓的圓心到點A的距離與到y(tǒng)軸的距離相等，滿足拋物線的定義，故應選D.


6、已知拋物線C：4x＋ay2＝0恰好經(jīng)過圓M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圓心，則拋物線C的焦點坐標為_______，準線方程為________．
【解析】圓M的圓心為(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，將拋物線C的方程化為標準方程得y2＝4x，故焦點坐標為(1,0)，準線方程為x＝－1.
答案：(1,0)　x＝－1

7、設點A的坐標為(1，)，點P在拋物線y2＝8x上移動，P到直線x＝－1的距離為d，則d＋|PA|的最小值為(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由題意知拋物線y2＝8x的焦點為F(2,0)，點P到準線x＝－2的距離為d＋1，于是|PF|＝d＋1，
所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值為|AF|－1＝4－1＝3.
題組B 能力提升練
8、對標準形式的拋物線，給出下列條件：
①焦點在y軸上；②焦點在x軸上；③拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6；④由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標為(2,1)．
其中滿足拋物線方程為y2＝10x的是________．(要求填寫適合條件的序號)
【解析】拋物線y2＝10x的焦點在x軸上，②滿足，①不滿足；設M(1，y0)是y2＝10x上一點，則|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不滿足；由于拋物線y2＝10x的焦點為，過該焦點的直線方程為y＝k，若由原點向該直線作垂線，垂足為(2,1)時，則k＝－2，此時存在，所以④滿足．
答案：②④

9、設拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上的一點，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝________.
【解析】如圖，∠AFE＝60°，

因為F(2,0)，
所以E(－2,0)，
則＝tan 60°，
即|AE|＝4，
所以點P的坐標為(6,4)，
故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8.


10、已知F是拋物線y2＝4x的焦點，M，N是該拋物線上兩點，|MF|＋|NF|＝8，則MN的中點到準線的距離為(　　)
A．5 B．4
C．3 D.
【解析】∵F是拋物線y2＝4x的焦點，∴F(1,0)，準線方程為x＝－1，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴|MF|＋|NF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，解得x1＋x2＝6，
∴線段MN中點的橫坐標為3，
∴線段MN的中點到準線的距離為3＋1＝4.故選B


11、已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點M(1，m)到其焦點的距離為5，雙曲線x2－＝1的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，則實數(shù)a＝________.
【解析】根據(jù)拋物線的定義得1＋＝5，p＝8.不妨取M(1,4)，則AM的斜率為2，由已知得－×2＝－1，故a＝.

12、已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　)
A．2 B．3 C. D.
【解析】易知直線l2：x＝－1恰為拋物線y2＝4x的準線，

如圖所示，動點P到l2：x＝－1的距離可轉(zhuǎn)化為PF的長度，
其中F(1,0)為拋物線y2＝4x的焦點．由圖可知，距離和的最小值即F到直線l1的距離d＝＝2.

13、已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上一點M(m，－3)到焦點的距離為5，求m的值、拋物線方程和準線方程．
【解析】法一：如圖所示，設拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)，則焦點F，準線l：y＝，作MN⊥l，垂足為N，
則|MN|＝|MF|＝5，又|MN|＝3＋，所以3＋＝5，
即p＝4.所以拋物線方程為x2＝－8y，準線方程為y＝2.
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2.
法二：設所求拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則焦點為F.∵M(m，－3)在拋物線上，且|MF|＝5，
故解得
∴拋物線方程為x2＝－8y，m＝±2，準線方程為y＝2.

14、設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，F(xiàn)為拋物線的焦點．
(1)若點P到直線x＝－1的距離為d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
【解析】(1)依題意，拋物線的焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1.
由拋物線的定義，知|PF|＝d，
于是問題轉(zhuǎn)化為求|PA|＋|PF|的最小值．
如圖，連接AF，交拋物線于點P，此時|PA|＋d最小，最小值為＝.

(2)把點B的橫坐標代入y2＝4x中，得y＝±2，
因為2>2，所以點B在拋物線內(nèi)部．
過點B作BQ垂直于準線于點Q，交拋物線于點P1(如圖)．

由拋物線的定義，知|P1Q|＝|P1F|，
則|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值為4.

15、如圖，吊車梁的魚腹部分AOB是一段拋物線，寬7m，高0.7m，求這條拋物線的方程．

【解析】根據(jù)題意，設該拋物線的方程為，將點代入可得，于是該拋物線的方程為.

題組C 培優(yōu)拔尖練
16、設F為拋物線y2＝4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若＋＋＝0，則||＋||＋||＝________.
【解析】設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)．
由＋＋＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，
即x1＋x2＋x3＝3，
||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6.

17、已知拋物線上一點到準線的距離為，到直線：的距離為，則的最小值為__________．
【解析】由題意，拋物線的焦點坐標為，準線方程為，
如圖所示，根據(jù)拋物線的定義可知，點P到拋物線準線的距離等于點P到焦點F的距離，
過焦點F作直線：的垂線，此時取得最小值，
由點到直線的距離公式可得，
即的最小值為3.



18、(多選)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點，PQ垂直于l且交l于點Q，若∠PFx＝60°，則(　　)
A．△PQF為等邊三角形 B．|PQ|＝4
C．S△PQF＝4 D．xP＝4
【解析】如圖，因PQ∥x軸，
∴∠QPF＝∠PFx＝60°，
由拋物線定義知|PQ|＝|PF|，
∴△PQF為等邊三角形．
因F(1,0)，過F作FM⊥PQ，垂足為M.∴xM＝1，∴|MQ|＝2.
∴|PQ|＝4，∴S△PQF＝×2×4＝4，xP＝3.
故選A、B、C.

19、為響應國家“節(jié)能減排，開發(fā)清潔能源”的號召，小華制作了一個太陽灶，如圖所示．集光板由拋物面(拋物線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)得到)形的反光鏡構成，已知鏡口圓的直徑為2 m，鏡深0.25 m，為達到最佳吸收太陽光的效果，容器灶圈應距離集光板頂點(　　)

A．0.5 m B．1 m C．1.5 m D．2 m
【解析】若使吸收太陽光的效果最好，容器灶圈應在拋物面對應軸截面的拋物線的焦點處，
如圖，畫出拋物面的軸截面，并建立坐標系，

設拋物線方程為x2＝2py(p>0)，集光板端點A(1,0.25) ，
代入拋物線方程可得2×0.25p＝1，p＝2，
所以拋物線方程為x2＝4y，故焦點坐標是F(0,1)．
所以容器灶圈應距離集光板頂點1 m.故選B


20、如圖，汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線的焦點F處.已知燈口直徑是，燈深，求燈泡與反射鏡的頂點O的距離.

【解析】以軸為x軸，反射鏡的頂點為原點建立平面直角坐標系，
如圖，由題可知，設拋物線方程為
則有，得，
所以燈泡與反射鏡的頂點O的距離為.




21、如圖所示，A地在B地東偏北45°方向，相距2 km處，B地與東西走向的高鐵線(近似看成直線)l相距4 km.已知曲線形公路PQ上任意一點到B地的距離等于到高鐵線l的距離，現(xiàn)要在公路旁建造一個變電房M(變電房與公路之間的距離忽略不計)，分別向A地、B地送電．

(1)試建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，求曲線形公路PQ所在曲線的方程；
(2)問變電房M應建在相對A地的什么位置(方位和距離)，才能使架設電路所用電線長度最短？并求出最短長度．
【解析】(1)如圖所示，以過點B且垂直于l(垂足為K)的直線為y軸，線段BK的中點O為原點，建立直角坐標系xOy，則B(0,2)，A(2,4)．

因為曲線形公路PQ上任意一點到B地的距離等于到高鐵線l的距離，所以PQ所在的曲線是以B(0,2)為焦點，l為準線的拋物線．設拋物線方程為x2＝2py(p＞0)，則p＝4，故曲線形公路PQ所在曲線的方程為x2＝8y.
(2)要使架設電路所用電線長度最短，即|MA|＋|MB|的值最?。?br /> 如圖所示，過M作MH⊥l，垂足為H，依題意得|MB|＝|MH|，∴|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MH|，故當A，M，H三點共線時，|MA|＋|MH|取得最小值，即|MA|＋|MB|取得最小值，此時M.
故變電房M建在A地正南方向且與A地相距 km處時，所用電線長度最短，最短長度為6 km.