3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（2）  -A基礎(chǔ)練一、選擇題1．（2020·河北桃城衡水中學(xué)期末）已知橢圓，若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，離心率為，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(   )A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闄E圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，所以，即，又離心率為，所以，解得：，則=，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．2.（2020全國(guó)高二課時(shí)練）橢圓有一條光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，一定經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn).假設(shè)光線沿直線傳播且在傳播過(guò)程中不會(huì)衰減，橢圓的方程為，則光線從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，到首次回到該焦點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程不可能為（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】由題意可得,, ,所以,.①若光線從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)沿軸方向出發(fā)到長(zhǎng)軸端點(diǎn)(較近的)再反射,則所經(jīng)過(guò)的路程為,②若光線從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)沿軸方向出發(fā)到長(zhǎng)軸端點(diǎn)(較遠(yuǎn)的)再反射,則所經(jīng)過(guò)的路程為.③若光線從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)沿非軸方向出發(fā),則所經(jīng)過(guò)的路程為，故選:B3．（2020·金華市曙光學(xué)校月考）無(wú)論k為何值，直線和曲線交點(diǎn)情況滿足（   ）A．沒(méi)有公共點(diǎn) B．一個(gè)公共點(diǎn) C．兩個(gè)公共點(diǎn) D．有公共點(diǎn)【答案】D  【解析】因?yàn)?/span>過(guò)定點(diǎn)，且橢圓的上頂點(diǎn)也為，所以當(dāng)直線的斜率為時(shí)，此時(shí)直線與橢圓相切，僅有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不為零時(shí)，此時(shí)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以無(wú)法確定直線與橢圓的公共點(diǎn)是一個(gè)還是兩個(gè)，故選：D.4. （2019·安徽安慶月考）橢圓的左焦點(diǎn)為，若關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，則橢圓的離心率為（  ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A為，且A在橢圓上，即，∴，∴橢圓C的離心率．5．（多選題）（2020廣東濠江高二月考）橢圓的焦距為，則的值為（    ）A．9 B．23 C． D．【答案】AB【解析】橢圓的焦距為，即得.依題意當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，則，解得；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，則，解得，∴的值為9或23.6．（多選題）（2020全國(guó)高二課時(shí)練）嫦娥四號(hào)月球探測(cè)器于2018年12月8日搭載長(zhǎng)征三號(hào)乙運(yùn)載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點(diǎn)43分左右，嫦娥四號(hào)順利進(jìn)入了以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓形軌道，如圖中軌道③所示，其近月點(diǎn)與月球表面距離為100公里，遠(yuǎn)月點(diǎn)與月球表面距離為400公里，已知月球的直徑約為3476公里，對(duì)該橢圓下述四個(gè)結(jié)論正確的是（    ）A．焦距長(zhǎng)約為300公里 B．長(zhǎng)軸長(zhǎng)約為3988公里 C．兩焦點(diǎn)坐標(biāo)約為 D．離心率約為【答案】AD【解析】設(shè)該橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，半焦距長(zhǎng)為.依題意可得月球半徑約為，，，，，，橢圓的離心率約為，可得結(jié)論A、D項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)闆](méi)有給坐標(biāo)系，焦點(diǎn)坐標(biāo)不確定，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上可知，正確的為AD，故選：AD.二、填空題7. （2020·全國(guó)課時(shí)練習(xí)）若直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則斜率的值是_______.【答案】【解析】已知直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，由消去并整理，得，由題意知，，解得：.8．光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出,被橢圓反射后會(huì)經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn);光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出,被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出.如圖,一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn),的橢圓與雙曲線構(gòu)成,現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出,依次經(jīng)與反射,又回到了點(diǎn),歷時(shí)秒;若將裝置中的去掉,此光線從點(diǎn)發(fā)出,經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn),歷時(shí)秒;若,則與的離心率之比為______.【答案】【解析】如圖,由雙曲線定義得:①,由橢圓定義得: ②,②①得:;橢圓雙曲線“復(fù)合”光學(xué)裝置中,光線從出發(fā)到回到左焦點(diǎn)走過(guò)的路程為:對(duì)于單橢圓光學(xué)裝置,光線經(jīng)過(guò)次反射后回到左焦點(diǎn),路程為;由于兩次光速相同,路程比等于時(shí)間比,,..9. （2020·福建漳州高二月考）已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，線段與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為的中位線，且，則________.【答案】6【解析】如圖所示，因?yàn)?/span>為的中位線，且，所以，由橢圓定義可得：.10．（2020上海華師大二附中月考）已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為________【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，則，可得，橢圓的左焦點(diǎn)為，，，則，二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，.因此，的最大值為.三、解答題11．我國(guó)計(jì)劃發(fā)射火星探測(cè)器，該探測(cè)器的運(yùn)行軌道是以火星（其半徑）的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．如圖，已知探測(cè)器的近火星點(diǎn)（軌道上離火星表面最近的點(diǎn)）到火星表面的距離為，遠(yuǎn)火星點(diǎn)（軌道上離火星表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）到火星表面的距離為．假定探測(cè)器由近火星點(diǎn)第一次逆時(shí)針運(yùn)行到與軌道中心的距離為時(shí)進(jìn)行變軌，其中分別為橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸的長(zhǎng)，求此時(shí)探測(cè)器與火星表面的距離（精確到）．【解析】設(shè)所求軌道方程為．．于是．所以所求軌道方程為．設(shè)變軌時(shí)，探測(cè)器位于，則．解方程組，得（由題意）．所以探測(cè)器在變軌時(shí)與火星表面的距離為．所以探測(cè)器在變軌時(shí)與火星表面的距離約為. 12. （2020全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C:經(jīng)過(guò)點(diǎn), 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn). (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若點(diǎn)在第一象限，且,求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；【解析】（1）由已知得，，∴，，同理，∴，，∴，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)（），則，，∴，∴，即點(diǎn)橫坐標(biāo)取值范圍是．  

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

3.1 橢圓

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