一、選擇題
給出下列命題：
①若向量a , b共線，則向量a , b所在的直線平行；
②若向量a , b所在的直線為異面直線，則向量a , b一定不共面；
③已知空間的三個向量a , b , c，則對于空間的任意一個向量p總存在實數(shù)x , y , z，使得p=xa+yb+zc．
其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
已知向量a=(1, x, 2)，b=(0, 1, 2)，c=(1, 0, 0)，若a,b,c共面，則x等于 ( )
A. ?1B. 1C. 1或?1D. 1 或0
若{a,b,c}為空間的一組基底，則下列各項中，能構(gòu)成基底的一組向量是( )．
A. {a,a+b,a?b}B. {b,a+b,a?b}
C. {c,a+b,a?b}D. {a+b,a?b,a+2b}
如圖，直三棱柱ABC –A1B1C1中，若CA=a，CB=b，CC1=c，則A1B等于( )
A. a+b-cB. a-b+cC. b-a-cD. b-a+c
下列說法中正確的是（ ）
A. 用分別在兩條異面直線上的兩條有向線段表示兩個向量，則這兩個向量一定不共面
B. 若存在有序?qū)崝?shù)對(x,y)使得OP=xOA+yOB，則O，P，A，B四點共面
C. 若三個向量共面，則這三個向量的起點和終點一定共面
D. 向量a,b,c共面就是它們所在的直線共面
已知空間向量m=(3,1，3)，n=(?1,λ,?1)，且m//n，則實數(shù)λ=( )
A. ?13B. ?3C. 13D. 6
若對任意一點O和不共線的三點A,B,C有OP→=xOA→+yOB→+zOC→，則x+y+z=1是四點P,A,B,C共面的（ ）
A. 必要不充分條件B. 充分不必要條件
C. 充要條件D. 即不充分也不必要條件
如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，N為BB1的靠近B的三等分點，若A1B1=a，A1D1=b，A1A=c，則下列向量中與MN相等的向量是（ ）
A. ?12a+12b+13cB. 12a+12b?13c
C. 12a?12b?13cD. ?12a?12b+23c
已知a=(m,2，?4)，b=(3,?4,n)，且a//b，則m，n的值分別為：（ ）
A. m=?32,n=8B. m=32,n=8
C. m=?32,n=?8D. 無法確定
已知向量a=(?1,2,1), b=(3,x,y)，且a//b，那么|b|=( )
A. 36B. 6C. 9D. 18
已知兩個向量a=(2,?1,3),b=(4,m,n)，且a//b，則m+n的值為( )
A. ?4B. 4C. ?8D. 8
如圖，在三棱錐A?BCD中，點F在棱AD上，且AF=3FD，E為BC中點，則等于( )
A. B.
C. -12AC+12AB-23ADD. 12AC-12AB+23AD
二、填空題
已知直線l與平面α垂直，直線l的一個方向向量為u=(1,3,z)，向量v=(3,?2,1)與平面α平行，則z=______．
若空間向量a=(x,2,2)和b=(1,1,1)的夾角為銳角，則x的取值范圍是_______．
已知向量AB=(2,4，5)，CD=(3,x，y)，若AB//CD，則xy=________．
如圖，已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，∠BAA1=∠DAA1=∠BAD=60o. M為CC1的中點，則AM長度為________．
三、解答題
已知a=(1,2，?2)．
(1)求與a共線的單位向量b；
(2)若a與單位向量c=(0,m，n)垂直，求m，n的值．
已知向量a=?2,?1,2,b=?1,1,2,c=x,2,2．
(Ⅰ)當(dāng)c=22時，若向量ka+b與c垂直，求實數(shù)x和k的值;
(Ⅱ)若向量c與向量a,b共面，求實數(shù)x的值．
如圖，已知M、N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點，且GM：GA=1：3，設(shè)AB=a,AC=b,AD=c，試用a,b,c表示BG,BN．
如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中點，設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)用a、b、c表示AE；
(2)求|AE|.
答案和解析
1.【答案】A．
【解答】
解：由于向量是可自由平移的，所以向量a,b共線，不一定向量a,b所在的直線平行，故命題①不正確；
因為向量是可自由平移的，向量a,b所在的直線為異面直線，則向量a,b也可能共面，故命題②不正確；
由空間向量基本定理，可知只有當(dāng)三個向量a,b,c不共面的時候，由它們做基底，才有后面的結(jié)論，故命題③不正確．
即3個命題都不正確．
故選A．
2.【答案】B
【解答】
解：c=(1,0,0)=λa+μb=(λ,λx,2λ)+(0,μ,2μ)，
∴1=λ0=λx+μ0=2λ+2μ解得λ=1μ=?1x=1,
故選B．
3.【答案】C
【解答】
解：若c，a+b，a?b共面，則c=λ(a+b)+m(a?b)=(λ+m)a+(λ?m)b，則a，b，c為共面向量，與{a,b,c}為空間向量的一組基底矛盾，
故c，a+b，a?b可構(gòu)成空間向量的一組基底．
故選C．
4.【答案】C
【解答】
解： 因為三棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱，
所以四邊形ACC1A1是平行四邊形，
所以A1B→=CB→?CA1→=CB→?(CA→+CC1→)=?a→+b→?c→．
故選C．
5.【答案】B
【解答】
解：A.分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量可以是共面向量，故A錯；
B.若存在有序?qū)崝?shù)對(x,y)使得OP=xOA+yOB，即OP=xOA+yOB+(1?x?y)OC(C與O重合)，由共面向量定理得O，P，A，B四點共面，故B對；
C.若空間中三個向量共面，假設(shè)這三個向量平行，且不位于同一平面上，
則這三個向量的起點和終點不共面，故C錯；
D.向量a,b,c共面，則它們所在直線可能共面，也可能不共面，故D錯，
故選B．
6.【答案】A
【解析】解：∵m//n，∴可設(shè)km=n，∴?1=3kλ=k?1=3k，
解得λ=k=?13．
故選：A．
由m//n，可設(shè)km=n，可得?1=3kλ=k?1=3k，解出即可得出．
本題考查了向量共線定理、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
7.【答案】C
【解答】
解：對任意一點O和不共線的三點A、B、C有OP=xOA+yOB+zOC，x+y+z=1?四點P、A、B、C共面；
因此x+y+z=1是四點P、A、B、C共面的充要條件．
故選：C．
8.【答案】C
【解答】
解：MN=MB+BN=12D1B1+13BB1=12(A1B1?A1D1)?13A1A=12a?12b?13c，
故選C．
9.【答案】A
【解析】解：a=(m,2，?4)，b=(3,?4,n)，
由a//b，設(shè)a=λb，
即m=3λ2=?4λ?4=λn，
解得λ=?12m=?32n=8，
即m=?32，n=8．
故選：A．
由a//b可設(shè)a=λb，列方程求出m、n的值．
10.【答案】A
【解答】
解：∵a//b，
∴存在實數(shù)λ使得b=λa，
∴3=?λx=2λy=λ，解得λ=?3，x=?6，y=?3．
∴b=32+?62+?32=36．
故選A．
11.【答案】B
【解答】
解：，
∴存在實數(shù)k使得a=kb，
解得k=12，m=?2，n=6，
則m+n=4．
故選B．
12.【答案】B
【解答】
解：由題意得：FE=AE?AF=12AB+AC?34AD．
故選B．
13.【答案】3
【解析】解：直線l與平面α垂直，
∵直線l的一個方向向量為u=(1,3,z)，向量v=(3,?2,1)與平面α平行，
∴μ?v=3?6+z=0，
解得z=3．
故答案為：3．
由直線l與平面α垂直，得到直線l的方向向量與平面α的方向向量垂直，由此能求出結(jié)果．
14.【答案】x>?4且x≠2
【解答】
解：空間向量a→=(x,2,2)和b→=(1,1,1)的夾角為銳角，
則a·b=x+2+2>0且a與b不共線，
所以x>?4且x≠2．
故答案為x>?4且x≠2．
15.【答案】45
【解答】
解：∵AB//CD，∴存在非零實數(shù)k，使得AB=kCD．
∴2=3k4=kx5=ky，則xy=20k2=20(23)2=45．
故答案為：45．
16.【答案】26
【解答】
解：因為AM=AC+CM=AB+AD+12AA1，
所以，由條件得：AM2=AB+AD+12AA12=AB+AD+12AA12
=AB2+AD2+14AA12+2AB·AD+AB·AA1+AD·AA1
=22+22+14×42+2×2×2×12+2×4×12+2×4×12=24，
所以AM=26，即AM長度為26．
故答案為：26．
17.【答案】 解：(1)設(shè)b=(λ,2λ,?2λ)，而b為單位向量，所以|b|=1，
即λ2+4λ2+4λ2=9λ2=1，所以λ=±13．
所以b=(13,23,-23)或b=(-13,-23,23).
(2)由題意，知a·c=0,c=1,即1×0+2m-2n=0,m2+n2+02=1,
解得m=22,n=22或m=-22,n=-22.
18.【答案】解：(Ⅰ)因為c=22，所以x=0．
且ka+b=?2k?1,1?k,2k+2．
因為向量ka+b與c垂直，
所以ka+b?c=0．
即2k+6=0．
所以實數(shù)k的值為?3．
(Ⅱ)因為向量c與向量a,b共面，所以c=λa+μbλ,μ∈R．
因為x,2,2=λ?2,?1,2+μ?1,1,2，
x=?2λ?μ,2=μ?λ,2=2λ+2μ,
所以x=?12λ=?12μ=32
所以實數(shù)x的值為?12．
19.【答案】解：BG=BA+AG=BA+34AM
=?a+14a+b+c=?34a+14b+14c，
BN=BA+AN=BA+13(AC+AD)
=?a+13b+13c．
20.【答案】解：(1)如圖所示，∵BC=AD，CE=12CC1=12AA1，
∴AE=AB+BC+CE=a+b+12c．
(2)∵|AE|2=(a+b+12c)2=a2+b2+14c2+2a?b+a?c+b?c=32+42+14×42+0+3×4×12+4×4×12=43．
∴|AE|=43．

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1.2 空間向量基本定理

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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