專(zhuān)題09 二項(xiàng)式定理A組 基礎(chǔ)鞏固1．（2021·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）在的展開(kāi)式中的系數(shù)為20，則常數(shù)（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式，求得的項(xiàng)數(shù)后，由系數(shù)為20可得參數(shù)值．【詳解】由題意得二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，依題意，令，則，，解得．故選：A．2．（2022·河南南陽(yáng)·高三期末（理））已知，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)求得正確答案.【詳解】依題意..故選：C3．（2022·四川綿陽(yáng)·二模（理））二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（       ）A． B． C．10 D．15【答案】A【解析】【分析】首先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，再令求出，再代入計(jì)算可得；【詳解】解：二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以，故的系數(shù)為；故選：A4．（2022·河南駐馬店·高三期末（理））的展開(kāi)式中的系數(shù)為（       ）A．－50 B．－10 C．10 D．50【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理得出展開(kāi)式的通項(xiàng)，求出，，進(jìn)而得出的系數(shù).【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則，，故展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：A5．（2022·四川敘州·高三期末（理））若的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（       ）A．240 B．－240 C．160 D．－160【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式可求得，再由二項(xiàng)定理展開(kāi)式的通項(xiàng)求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】由二項(xiàng)式定理性質(zhì)可知，二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以，根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 ，令，則，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為240.故選：A.6．（2022·遼寧葫蘆島·高二期末）的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】寫(xiě)出展開(kāi)式通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)計(jì)算即可得解.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，可得，因此，展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.7．（2022·遼寧·大連市一0三中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試） 展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（       ）A．8 B．28 C．56 D．70【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求得，再結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)確定的值，即可求解.【詳解】由 展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為，令，可得，解得，即，則展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)為.故選：B.8．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為128，則展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（       ）A．0 B．2 C．3 D．5【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和求出，得到通項(xiàng)公式，求出有理項(xiàng)個(gè)數(shù).【詳解】由題展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為，解得，所以二項(xiàng)式為，則展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，1，2…，7.所以當(dāng)，3，6時(shí)，為有理項(xiàng)，所以展開(kāi)式中有理項(xiàng)共3項(xiàng).故選：C.9．（2022·廣東羅湖·高三期末）的各項(xiàng)系數(shù)和為（       ）A． B．27 C．16 D．【答案】A【解析】【分析】使用二項(xiàng)式定理將式子展開(kāi)即可求解.【詳解】，各項(xiàng)系數(shù)和為.故選：A.10．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））若的展開(kāi)式中的系數(shù)為75，則（       ）A．-3 B．-2 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】結(jié)合二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式以及多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算可得，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為，由題知，，解得．故選：A.11．（2020·北京房山·一模）的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（       ）A．40 B． C．80 D．【答案】D【解析】【分析】求出的展開(kāi)式為，在令，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>的展開(kāi)式為令，所以的系數(shù)為.故選：D.12．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則該二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（       ）A． B． C．640 D．320【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求的 展開(kāi)式中項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，從而可求出的值；然后再利用二項(xiàng)式定理求該二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為， 令，得；令，得(舍去). 故的展開(kāi)式中的系數(shù)為，解得.令，得(舍去)；令，得.故的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：A. 13．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中的系數(shù)是________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令的次數(shù)等于5，求出的值，從而可求出答案【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令8－3r＝5，得r＝1，故所求的系數(shù)是－4故答案為：14．（2022·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測(cè)（理））若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為__________.【答案】28【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出冪指數(shù)n，再求出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可推理計(jì)算作答.【詳解】因二項(xiàng)式的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，則，解得，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，由，即得：，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為28.故答案為：2815．（2022·福建寧德·模擬預(yù)測(cè)）若二項(xiàng)武的展開(kāi)式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的最小值是_________．【答案】7【解析】【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為0，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)，令，得，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，有最小值為7.故答案為：7.故答案為：.16．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)______．【答案】3【解析】【分析】先求得通項(xiàng)公式，再令，求得k＝3，代入求解即可.【詳解】由二項(xiàng)式定理可得：展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則由，解得k＝3，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為，解得a＝3．故答案為：317．（2021·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)（理））若的展開(kāi)式中的系數(shù)是，則實(shí)數(shù)a的值是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，求得含的項(xiàng)為，從而求得參數(shù)值.【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，則，解得，故答案為：-218．（2021·上海嘉定·一模）的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為____________【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算即可.【詳解】解：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，故當(dāng)時(shí)，的二項(xiàng)展開(kāi)式中的項(xiàng)為，其系數(shù)為.故答案為：19．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為，則實(shí)數(shù)___________.【答案】2【解析】【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)式的展開(kāi)式公式，令，結(jié)合題意即可求出參數(shù)a【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為 令，解得，因?yàn)槌?shù)項(xiàng)為14，所以，解得，故答案為：220．（2021·上海·模擬預(yù)測(cè)）二項(xiàng)展開(kāi)式中的x的有理項(xiàng)的系數(shù)和為______【答案】255【解析】【分析】易得展開(kāi)式的通項(xiàng)為，再由為有理數(shù)求解.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，若為有理數(shù)，則，所以x的有理項(xiàng)的系數(shù)和為，故答案為：255  
B組 能力提升21．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選題）下列關(guān)于多項(xiàng)式的展開(kāi)式的結(jié)論中，正確的是（       ）A．各項(xiàng)系數(shù)之和為 B．各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為C．不存在項(xiàng) D．常數(shù)項(xiàng)為【答案】AD【解析】【分析】賦值法判斷A、B；根據(jù)已知多項(xiàng)式，結(jié)合二項(xiàng)式定理判斷C、D的正誤.【詳解】令得，故A 正確﹔取多項(xiàng)式，將代入多項(xiàng)式可得，故B錯(cuò)誤﹔由題設(shè)，，若要得到含項(xiàng)，只需個(gè)因式中個(gè)取，剩下個(gè)取，故C錯(cuò)誤;個(gè)因式中個(gè)取，個(gè)取，剩下個(gè)取，得5個(gè)因式中個(gè)取個(gè)取，剩下個(gè)取，得，5個(gè)因式中均取，得.故常數(shù)項(xiàng)為，D正確.故選：AD.22．（2021·山西大附中模擬預(yù)測(cè)）（多選題）關(guān)于多項(xiàng)式的展開(kāi)式，下列結(jié)論正確的是（       ）A．各項(xiàng)系數(shù)之和為1B．各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為212C．存在常數(shù)項(xiàng)D．x3的系數(shù)為40【答案】BCD【解析】【分析】令，可以判斷A； 多項(xiàng)式的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和與多項(xiàng)式的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和相等,可判斷選項(xiàng)B；利用通項(xiàng)公式可判斷C，D.【詳解】由題意令可得，各項(xiàng)系數(shù)之和為26，故A錯(cuò)誤；多項(xiàng)式的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和與多項(xiàng)式的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和相等，故令，得各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為212，故B正確；由，易知該多項(xiàng)式的展開(kāi)式中一定存在常數(shù)項(xiàng)，故C正確；由題中的多項(xiàng)式可知，若出現(xiàn)x3，可能的組合只有和，結(jié)合排列組合的性質(zhì)可得x3的系數(shù)為，故D正確.故選：BCD.23．（2021·山東·模擬預(yù)測(cè)）（多選題）已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1，則下列結(jié)論正確的有（       ）A． B．展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為256C．展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 D．展開(kāi)式系數(shù)的絕對(duì)值的和為【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，令二項(xiàng)式中的為1得到展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和得到，求解；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)和為,由于，從而展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為128；對(duì)于C選項(xiàng)，通項(xiàng)公式，令得到，從而得到展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；對(duì)于D選項(xiàng)，展開(kāi)式系數(shù)的絕對(duì)值的和為的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，最后在二項(xiàng)式中令求解即可.【詳解】令二項(xiàng)式中的為1得到展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為，所以，則，故A正確；展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故B錯(cuò)誤；展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，故展開(kāi)式中無(wú)常數(shù)項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；展開(kāi)式系數(shù)的絕對(duì)值的和為的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，令得，故D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】(1)二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類(lèi)問(wèn)題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．(2)求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理討論求解．24．（2021·河北石家莊·一模）（多選題）關(guān)于，則（       ）A． B．C． D．【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，B，D，分別令、、代入已知關(guān)系式即可求解，選項(xiàng)C，利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】令，則，即，故A正確；令，則，即，所以，故B錯(cuò)誤；根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：，故C錯(cuò)誤；令，則，令，則，兩式相加可得，①兩式相減可得，②②①可得，所以，故D正確.故選：AD25．（2021·福建·漳州三中三模）（多選題）已知的展開(kāi)式中的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，記展開(kāi)式中的第項(xiàng)的系數(shù)為，二項(xiàng)式系數(shù)為，，則下列結(jié)論正確的是（       ）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列的所有項(xiàng)之和為729C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為20【答案】BD【解析】【分析】先由二項(xiàng)式系數(shù)之和，求出；再由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，得出與，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的數(shù)列中的項(xiàng)，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>的展開(kāi)式中的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，所以，則；即；又展開(kāi)式中的第項(xiàng)為，因此展開(kāi)式中的第項(xiàng)的系數(shù)為，二項(xiàng)式系數(shù)為；對(duì)于數(shù)列有，，，，，，；所以該數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)；，故B正確；對(duì)于數(shù)列有，，，，，，；所以該數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，故C錯(cuò)；且該數(shù)列的最大項(xiàng)為，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，得出與，進(jìn)而即可求解.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊(cè)電子課本

6.3 二項(xiàng)式定理

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