高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修第三冊(cè)6.3 二項(xiàng)式定理優(yōu)秀學(xué)案設(shè)計(jì)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 掌握二項(xiàng)式定理，能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理；
2. 掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，并能運(yùn)用通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)；
3. 會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題.
重點(diǎn)難點(diǎn)
1．重點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理分析的展開式，得到二項(xiàng)式定理.
2．難點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開式，用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.
課前預(yù)習(xí) 自主梳理
知識(shí)點(diǎn)一二項(xiàng)式定理
(a＋b)n＝ (n∈N*)．
(1)這個(gè)公式所表示的規(guī)律叫做二項(xiàng)式定理．
(2)展開式：等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，展開式中一共有項(xiàng)．
(3)二項(xiàng)式系數(shù)：各項(xiàng)的系數(shù) (k∈{0,1,2，…，n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)二二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)
(a＋b)n展開式的第項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，記作Tk＋1＝_ _.
思考二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)相同嗎？
答案一般不同．前者僅為Ceq \\al(k,n)，而后者是字母前的系數(shù)，故可能不同．
知識(shí)點(diǎn)三二項(xiàng)式定理及其相關(guān)概念
注意二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念
自主檢測(cè)
1.判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”．
(1)二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是相等的.( )
(2)(x-1)5的展開式中x4項(xiàng)的系數(shù)為-5.( )
(3)(a+b)n的展開式中一定有常數(shù)項(xiàng).( )
(4) (a＋b)n的展開式中共有n項(xiàng)．( )
(5)在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜?xiàng)沒有影響．( )
(6)Ceq \\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展開式中的第k項(xiàng)．( )
2.二項(xiàng)式的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（）
A．1140B．1330C．190D．210
3.在的展開式中，的系數(shù)為（）
A．B．2C．D．6
4.在的展開式中，的系數(shù)為（）
A．B．1C．D．4
5.已知，則（）
A．-18B．18C．-256D．256
新課導(dǎo)學(xué)
學(xué)習(xí)探究
環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
上一節(jié)學(xué)習(xí)了排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，本節(jié)我們用它們解決一個(gè)在數(shù)學(xué)上有著廣泛應(yīng)用的a+bn展開式的問題。
問題1：我們知道，
，
．
（1）觀察以上展開式，分析其運(yùn)算過程，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能寫出的展開式嗎？
（3）進(jìn)一步地，你能寫出的展開式嗎？
我們來分析的展開過程．根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，

可以看到，是2個(gè)相乘，只要從一個(gè)中選一項(xiàng)（選或），再從另一個(gè)中選一項(xiàng)（選或），就得到展開式的一項(xiàng)．于是，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，在合并同類項(xiàng)之前，的展開式共有項(xiàng)，而且每一項(xiàng)都是的形式．
環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念
下面我們?cè)賮矸治鲆幌滦稳绲耐愴?xiàng)的個(gè)數(shù)．
當(dāng)時(shí)，，這是由2個(gè)中都不選得到的．因此，出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(gè)中取0個(gè)（都?。┑慕M合數(shù)，即只有1個(gè)．
當(dāng)時(shí)，，這是由1個(gè)中選，另1個(gè)中選得到的．由于選定后，的選法也隨之確定，因此，出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(gè)中取1個(gè)的組合數(shù)，即共有2個(gè)．
當(dāng)時(shí)，，這是由2個(gè)中都選得到的．因此，出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(gè)中取2個(gè)的組合數(shù)，即只有1個(gè)．
由上述分析可以得到
．
環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念
問題1：依照上述過程，你能利用計(jì)數(shù)原理，寫出，的展開式嗎？
；
．
問題2：你能猜想出(a＋b)n展開式嗎？
從上述對(duì)具體問題的分析得到啟發(fā)，對(duì)于任意正整數(shù)，我們有如下猜想：
（1）
追問：你能說明這一猜想的正確性嗎？
學(xué)生思考、討論、交流.
教師找?guī)酌砭瓦@一猜想的正確性進(jìn)行說明，教師給予適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)與指導(dǎo).
1．二項(xiàng)式定理
(a＋b)n＝_________________________ (n∈N*)．
(1)這個(gè)公式所表示的規(guī)律叫做二項(xiàng)式定理．
(2)展開式：等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，展開式中一共有______項(xiàng)．
(3)二項(xiàng)式系數(shù)：各項(xiàng)的系數(shù)____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)．
Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn
n＋1 ； Ceq \\al(k,n)
環(huán)節(jié)四辨析理解，深化概念
下面我們對(duì)上述猜想的正確性予以說明．
由于是個(gè)相乘，每個(gè)在相乘時(shí)有兩種選擇，選或，而且每個(gè)中的或都選定后，才能得到展開式的一項(xiàng)．因此，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，在合并同類項(xiàng)之前，的展開式共有項(xiàng)，其中每一項(xiàng)都是的形式．
對(duì)于每個(gè)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是由個(gè)選，另外個(gè)中選得到的．由于選定后，的選法也隨之確定，因此，出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從個(gè)中取個(gè)的組合數(shù)，這樣，的展開式中，共有個(gè)，將它們合并同類項(xiàng)，就可以得以上述二項(xiàng)展開式．
公式（1）叫做二項(xiàng)式定理（binmial therem），右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)．式中的叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng)：
．
在二項(xiàng)式定理中，若設(shè)，，則得到公式：
．
2．二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式
(a＋b)n展開式的第______項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，記作Tk＋1＝______.
k＋1 ； Ceq \\al(k,n)an－kbk
二項(xiàng)式定理形式上的特點(diǎn)
(1)二項(xiàng)展開式有n+1項(xiàng),而不是n項(xiàng).
(2)二項(xiàng)式系數(shù)都是Cnk(k=0,1,2,…,n),它與二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等.
(3)二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n,即Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n.
(4)在排列方式上,按照字母a的降冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由n次逐項(xiàng)減少1次直到0次,同時(shí)字母b按升冪排列,次數(shù)由0次逐項(xiàng)增加1次直到n次.
組織學(xué)生分析二項(xiàng)展開式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，教師要強(qiáng)調(diào)二項(xiàng)式系數(shù)是與二項(xiàng)式的次數(shù)有關(guān)的組合數(shù).
2.教師提出以下問題引導(dǎo)學(xué)生理解二項(xiàng)式定理:
(1)二項(xiàng)展開式有多少項(xiàng)?
(2)各項(xiàng)的次數(shù)有什么規(guī)律?
(3)如果令,你能寫出二項(xiàng)式的展開式嗎?從函數(shù)的觀點(diǎn)看這個(gè)展開式,它是一個(gè)什么函數(shù)?
3.對(duì)于二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),教師提出以下問題幫助學(xué)生理解:
(1)如果把看作一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,這個(gè)數(shù)列有多少項(xiàng)?
(2)字母代表的是什么?
環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化
例1求的展開式．
解：
1.(a+b)n的二項(xiàng)展開式有n+1項(xiàng),是和的形式,各項(xiàng)的冪指數(shù)規(guī)律是:(1)各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.(2)字母a按降冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0;字母b按升冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n.
2.逆用二項(xiàng)式定理可以化簡(jiǎn)多項(xiàng)式,體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn),向二項(xiàng)展開式的形式靠攏.
例2（1）求的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)；
（2）求的展開式中的系數(shù)．
解：
二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的求解策略
(1)二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)Cnk(k∈{0,1,2,…,n}),它與二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等,
要注意區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)”與二項(xiàng)展開式中“項(xiàng)的系數(shù)”這兩個(gè)概念.
(2)第k+1項(xiàng)的系數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號(hào),而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Cnk.例如,在(1+2x)7的
展開式中,第4項(xiàng)是T4=C7317-3(2x)3,其二項(xiàng)式系數(shù)是C73=35,而第4項(xiàng)的系數(shù)是C7323=280.
環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升
1.教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，并讓學(xué)生回答下列問題：
（1）二項(xiàng)式定理是如何得出的？二項(xiàng)式定理的內(nèi)容是什么？二項(xiàng)式定理中的字母a,b分別可以表示什么？
（2）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)如何表示？
（3）某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與這一項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別是什么？如何求二項(xiàng)式系數(shù)及項(xiàng)的系數(shù)？
2.求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的常用方法
(1)對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng))．
(2)對(duì)于有理項(xiàng)，一般是先寫出通項(xiàng)公式，求其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)．解這類問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)集，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解．
(3)對(duì)于二項(xiàng)展開式中的整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)一致．
3.在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸．
4.常見誤區(qū)：二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別，Ceq \\al(k,n)an－kbk是展開式的第k＋1項(xiàng)．
環(huán)節(jié)七目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置
完成教材：教材第34頁習(xí)題6.3第2~6題.
備用練習(xí)
1.二項(xiàng)式(a＋b)2n的展開式的項(xiàng)數(shù)是( )
A．2nB．2n＋1C．2n－1D．2(n＋1)
2.若的展開式有16項(xiàng)，則自然數(shù)的值為（）
A．9B．10C．11D．16
3.如果的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng),則正整數(shù)n的最小值為( )
A．3B．5C．6D．10
4.的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為3，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）
A．?32B．32C．?64D．64
5.在的展開式中，x2項(xiàng)的系數(shù)為（）
A．30B．45C．60D．90
二項(xiàng)式定理
公式(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn，稱為二項(xiàng)式定理
二項(xiàng)式系數(shù)
(k＝0，1，…，n)
通項(xiàng)
Tk＋1＝
二項(xiàng)式定理的特例
(1＋x)n＝Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)x＋Ceq \\al(2,n)x2＋…＋Ceq \\al(k,n)xk＋…＋Ceq \\al(n,n)xn

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