高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修第三冊6.3 二項式定理優(yōu)秀學(xué)案設(shè)計-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1.利用計數(shù)原理分析二項式的展開過程，歸納、猜想出二項式定理，并用計數(shù)原理加以證明；
2.會應(yīng)用二項式定理求解二項展開式；
3.通過經(jīng)歷二項式定理的探究過程，體驗“歸納、猜想、證明”的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，提高自己觀察、分析、概括的能力，以及 “從特殊到一般”、“從一般到特殊”等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用能力；
4.感受二項式定理體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)的內(nèi)在和諧、對稱美，了解相關(guān)數(shù)學(xué)史內(nèi)容.
重點難點
重點：二項式系數(shù)的性質(zhì)（對稱性、增減性與最大值和各二項式系數(shù)的和）；
難點：1.理解增減性與最大值時，根據(jù)n的奇偶性確定相應(yīng)的分界點；
2.利用賦值法證明二項式系數(shù)的性質(zhì)，數(shù)學(xué)思想方法的滲透.
課前預(yù)習(xí) 自主梳理
知識點1 二項式系數(shù)的性質(zhì)
在求二項式系數(shù)的最大值時，要注意討論n的奇偶性．
思考若(a＋b)n的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，則n的值可以為多少？
答案 n＝7或8或9.
知識點2 楊輝三角的特點
(1)在同一行中,每行兩端都是1,與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等.
(2)在相鄰的兩行中,除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和,即 QUOTE ??+1? Cn+1r= QUOTE ???-1 Cnr-1+ QUOTE ??? Cnr.
自主檢測
1.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．
（1）二項展開式中系數(shù)最大項是中間一項(共奇數(shù)項)或中間兩項(共偶數(shù)項)．( )
(2)二項展開式的偶數(shù)項系數(shù)和等于奇數(shù)項系數(shù)和．( )
(3)二項展開式項的系數(shù)是先增后減的．( )
(4)二項展開式中系數(shù)最大項是中間一項(共奇數(shù)項)或中間兩項(共偶數(shù)項).( )
(5)二項式展開式的偶數(shù)項系數(shù)和等于奇數(shù)項系數(shù)和.( )
(6)二項展開式項的系數(shù)是先增后減的.( )
(7)楊輝三角中每行兩端的數(shù)都是1.( )
【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×(7)√
【詳解】(1)二項展開式中項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的，二項式系數(shù)最大項是中間一項(共奇數(shù)項)或中間兩項(共偶數(shù)項)，但是項的系數(shù)的最大值與項其他數(shù)字因數(shù)的大小有關(guān)．
(2)在二項式(a＋b)n中只有當(dāng)a，b的系數(shù)都為1時，展開式的偶數(shù)項系數(shù)和才等于奇數(shù)項系數(shù)和．
(3)二項式系數(shù)是隨n的增加先增后減的，二項展開式項的系數(shù)和a，b的系數(shù)有關(guān)．
(4)二項展開式中項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的,二項式系數(shù)最大項是中間一項(共奇數(shù)項)或中間兩項(共偶數(shù)項),但是項的系數(shù)的最大值與項其他數(shù)字因數(shù)的大小有關(guān).
(5)在二項式(a+b)n中只有當(dāng)a,b的系數(shù)都為1時,展開式的偶數(shù)項系數(shù)和才等于奇數(shù)項系數(shù)和.
(6)二項式系數(shù)是隨n的增加先增后減的,二項式項的系數(shù)和a,b的系數(shù)有關(guān).
(7)根據(jù)楊輝三角的特點可知.
2.在的展開式中第4項的二項式系數(shù)是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接根據(jù)二項式定理可知第項的二項式系數(shù)為計算可得；
【詳解】解：的展開式中第4項的二項式系數(shù)為
故選：A
3.二項式的展開式中所有二項式系數(shù)之和為，則二項式的展開式中常數(shù)項為（）
A．9B．15C．135D．540
【答案】C
【分析】根據(jù)所有二項式系數(shù)之和為，求出，再根據(jù)通項公式可求出結(jié)果.
【詳解】由二項式的展開式中所有二項式系數(shù)之和為，得，即，
所以，
令，得，
所以二項式的展開式中常數(shù)項為.
故選：C．
4.展開式中的常數(shù)項是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項.
【詳解】展開式的通項公式為
，
令，可得，
故展開式的常數(shù)項為.
故選：A.
5.若的展開式中含項的系數(shù)為，常數(shù)項為，則函數(shù)在上的最小值為（）
A．-200B．-100C．160D．220
【答案】B
【分析】，寫出展開式的通項，令x的指數(shù)等于2，即可求得m，令x的指數(shù)等于0，即可求出n，從而可求的函數(shù)在上的最小值.
【詳解】解：因為，
所以展開式的通項為 .
令，得，則；
令，得，則 .
所以，
當(dāng)時，.
故選：B.
新課導(dǎo)學(xué)
學(xué)習(xí)探究
環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
復(fù)習(xí)二項式定理：……，.其中的展開式的二項式系數(shù)有很多有趣的性質(zhì).
的展開式的二項式系數(shù)
，，，…，，…，
有很多有趣的性質(zhì)，而且我們可以從不同角度進行研究．
設(shè)計意圖：通過先復(fù)習(xí)引入，調(diào)動學(xué)生已有的相關(guān)知識，再從學(xué)生熟悉的實例出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念
探究
用計算工具計算的展開式的二項式系數(shù)，并填入表6.3-1．
問題1填寫表格觀察二項式系數(shù)的變化，是否能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
表6.3-1
通過計算、填表，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
從表6.3-1可以發(fā)現(xiàn)，每一行中的系數(shù)具有對稱性．除此以外還有什么規(guī)律呢？為了便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，上表還可以寫成如圖6.3-1所示的形式．
………………………11
……………………121
…………………1331
………………14641
……………15101051
…………1615201561
圖6.3-1
觀察圖6.3-1，你還能發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律？
表示形式的變化常常能幫助我們發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律．
對于的展開式的二項式系數(shù)
，，，…，，
設(shè)計意圖：學(xué)生通過填表的活動，鞏固二項式定理的知識和二項式系數(shù)的運算，并發(fā)現(xiàn)二項式系數(shù)具有的一些規(guī)律；同時引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這樣的表格不利于觀察二項式系數(shù)的更多規(guī)律，進而引發(fā)思考：哪種表示形式更方便觀察呢？借此引出算術(shù)三角形，為下面觀察得出二項式系數(shù)的性質(zhì)作準(zhǔn)備.
環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念
問題2對于的展開式的二項式系數(shù)，我們還可以從函數(shù)的角度分析它們，可以看成是以為自變量的函數(shù)，其定義域是.對于確定的，我們還可以畫出它的圖象.能否畫出時，函數(shù)的圖象？
當(dāng)時，函數(shù)的圖象是7個離散點，如圖6.3-2所示．
追問1：觀察函數(shù)圖象，當(dāng)時，你發(fā)現(xiàn)二項式系數(shù)什么規(guī)律？
追問2：能否畫出時函數(shù)的圖象，比較它們的異同，你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
設(shè)計意圖：學(xué)生通過教師的引導(dǎo)，學(xué)習(xí)感受從多角度認(rèn)識同一事物；經(jīng)過獨立的思考，為交流合作做好鋪墊；通過學(xué)習(xí)小組的交流合作及成果展示，不同的想法得以展示，獲得學(xué)習(xí)的成就感.同時可以對教材上沒有出現(xiàn)的性質(zhì)進行補充或者證明，教師要充分肯定學(xué)生在學(xué)習(xí)中的創(chuàng)新精神.
分析圖6.3-1和圖6.3-2，可以得到二項式系數(shù)的以下性質(zhì)．
環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念
問題1:如何用組合的意義解釋二項式系數(shù)的對稱性？
1．對稱性
與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等．事實上，這一性質(zhì)可直接由得到．
= 1 \* GB3 ①你能用組合的意義解釋一下這個“組合等式”嗎？
直線將函數(shù)的圖象分成對稱的兩部分，它是圖象的對稱軸．
設(shè)計意圖：前面通過觀察與歸納，概括出了二項式系數(shù)的對稱性，該性質(zhì)是二項式系數(shù)的性質(zhì)之一.此處結(jié)合組合數(shù)的知識，給出了一個證明方法，讓學(xué)生靈活運用知識，并感受思想方法的多樣性和重要性.
問題2：如何證明二項式系數(shù)的對稱性、增減性與最大值呢？
2．增減性與最大值
因為
，
即
，
所以，當(dāng)，即時，隨的增加而增大；由對稱性知，當(dāng)時，隨的增加而減?。?dāng)是偶數(shù)時，中間一項取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時，中間的兩項與相等，且同時取得最大值．
設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的角度分析與論證二項式系數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生利用幾何直觀、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決問題的能力.這一過程不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而且有利于學(xué)生理解本節(jié)課的核心數(shù)學(xué)知識，發(fā)展其數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.
3．各二項式系數(shù)的和
問題3：如何利用的展開式求的展開式的各二項式系數(shù)的和？
已知
，
令，得
．
這就是說，的展開式的各二項式系數(shù)的和等于．
設(shè)計意圖：利用賦值法求各二項式系數(shù)的和，使學(xué)生體會賦值法的好處，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng).
環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化
例3求證：在的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和．
分析：奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為
，
偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和為
．
由于
中的，可以取任意實數(shù)，因此我們可以通過對，適當(dāng)賦值來得到上述兩個系數(shù)和．
②實際上，，既可以取任意實數(shù)，也可以取任意多項式，還可以是別的．我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取，的值．
證明：在展開式
中，令，，則得
．
即
．
因此，
，
即在的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和．
環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升
教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，并讓學(xué)生回答下列問題：
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你知道二項式系數(shù)有哪些性質(zhì)？你還能發(fā)現(xiàn)其他的一些性質(zhì)嗎？
二項式系數(shù)的性質(zhì)、值法求各項系數(shù)的和．
一般地，展開式的二項式系數(shù)有如下性質(zhì)：
（對稱性）
當(dāng)n為偶數(shù)時，最大，而當(dāng)n為奇數(shù)時，，且同時取得最大值
（3）（4）
二項式系數(shù)與函數(shù)、數(shù)列有什么關(guān)系？如何用函數(shù)、數(shù)列的觀點來研究二項式系數(shù)？
常見誤區(qū)：賦值時應(yīng)注意展開式中項的形式，杜絕漏項．
(3)本節(jié)課體現(xiàn)了哪些重要的思想方法？
一般與特殊、函數(shù)與方程．
設(shè)計意圖：通過問題形式，回顧二項式系數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，總結(jié)歸納研究二項式系數(shù)的思想方法.
環(huán)節(jié)七目標(biāo)檢測，作業(yè)布置
完成教材：教材第34頁練習(xí)第1,2,3,4題.
備用練習(xí)
1.在的展開式中，的系數(shù)為
A．5B．C．10D．
【答案】D
【解析】根據(jù)二項式定理計算即可.
【詳解】解：在的展開式中的項為的系數(shù)為-10，
故選：D.
2.在的展開式中，含項的系數(shù)是（）
A．40B．80C．D．
【答案】A
【解析】由題可知的展開式中，含項的系數(shù)就是的展開式中，含項的系數(shù)減去含項的系數(shù)
【詳解】解：的展開式中，含項的系數(shù)就是的展開式中，含項的系數(shù)減去含項的系數(shù)，
因為的展開式的通項公式為，
所以的展開式中，含項的系數(shù)為
故選：A
3.在的展開式中的系數(shù)是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】首先寫出展開式的通項，再令，即可求解.
【詳解】的展開式的通公式為，
令.則，
故的系數(shù)是，
故選：A
【點睛】本題主要考查了求二項式展開式中某一項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.
4.展開式中的系數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】寫出展開式通項，令的指數(shù)為，分別求出求出、參數(shù)的值，代入通項后即可得解.
【詳解】的展開式通項為，
因為，
在中，令，
在，令，可得，
因此，展開式中的系數(shù)為.
故選：D.
5.已知，若，那么自然數(shù)（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】令等式中的求出展開式的各項系數(shù)和，令求出展開式的常數(shù)項，利用二項展開式的通項公式求出，列出方程求出.
【詳解】解：令得：，即，
；
令得：，
，
，
，解得.
故選：B.
對稱性
在(a＋b)n的展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即Ceq \\al(m,n)＝eq \a\vs4\al(Ceq \\al(n－m,n))
增減性與最大值
增減性：當(dāng)k＜eq \f(n＋1,2)時，Ceq \\al(k,n)隨k的增大而增大；由對稱性可知，當(dāng)k＞eq \f(n＋1,2)時，Ceq \\al(k,n)隨k的增大而減小.
最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時，中間一項取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間兩項，相等，且同時取得最大值
各二項式系數(shù)的和
①2n＝Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)
②Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1
即在(a＋b)n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和
n
的展開式的二項式系數(shù)
1
2
3
4
5
6

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