考法一 二項(xiàng)式的展開式
【例1-1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）求的展開式．
【答案】答案見解析
【解析】．
【例1-2】（2023·黑龍江）（ ）.
A．1B．－1
C．(－1)nD．3n
【答案】C
【解析】原式=.故選：C.
【一隅三反】
1．（2023·甘肅）若對(duì)，恒成立，其中，則（ ）
A．B．0C．2D．3
【答案】C
【解析】由，
得，所以，.故選：C.
2．（2023·安徽安慶）如果，則 .
【答案】
【解析】依題意，
，解得，
.
故答案為：
（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（1）求的展開式
（2）求的展開式；
（3）化簡．
【答案】（1）（2）答案見解析；（3）
【解析】（1）
.
（2）
.
（3）原式
.
考法二 二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)
【例2-1】（2024·四川綿陽）的展開式中，x的系數(shù)為（ ）
A．B．C．5D．10
【答案】A
【解析】的展開式的通項(xiàng)為．
令，得．的系數(shù)為．故選：A．
【例2-2】．（2024·湖南）二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【解析】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，
令，所以常數(shù)項(xiàng)為，故選：A
【例2-3】（2024·云南）寫出展開式中的一個(gè)有理項(xiàng)為 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】展開式的通項(xiàng)公式為
所以展開式中的有理項(xiàng)分別為：時(shí)，；
時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.
故答案為：（四個(gè)有理項(xiàng)任寫其一均可）.
【一隅三反】
1．（2024·河南）展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．672B．C．D．5376
【答案】D
【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，
令，得，所以二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：D
2．（2024安徽）展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，令，得．∴，
依題意，∴．故選：A.
3．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）的展開式中，有理項(xiàng)是第 項(xiàng)．
【答案】3
【解析】的展開式的通項(xiàng)，其中，
當(dāng)為有理項(xiàng)時(shí)，為整數(shù)，結(jié)合，所以，即有理項(xiàng)是展開式中的第3項(xiàng)，
故答案為：3
考法三 兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的系數(shù)
【例3-1】（2024·廣東廣州）在展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】顯然，
則展開式第項(xiàng)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以展開式中含的項(xiàng)為，即展開式中的系數(shù)為0.
故選：B
【例3-2】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）的展開式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為，所以．
令，解得，
．令，解得．
由題意，可知，所以．故選：D．
【一隅三反】
1．（2023·湖北）若的展開式中的的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)（ ）
A．8B．7C．9D．10
【答案】B
【解析】由題意知，展開式的通項(xiàng)公式為，故的系數(shù)為，解得.故選：B．
2．（2024·廣東·）的展開式中的系數(shù)為 .
【答案】
【解析】的展開式中的項(xiàng)為：，
所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：
3．（2024·山東濱州）的展開式中的系數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】的通項(xiàng)公式為，
令得，，此時(shí)，
令得，，此時(shí)，
故的系數(shù)為故答案為：
考法四 三項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)
【例4-1】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．721B．-61C．181D．-59
【答案】D
【解析】=的展開式的通項(xiàng)公式為
=，
其中的展開式的通項(xiàng)公式為，
當(dāng)時(shí)，，，常數(shù)項(xiàng)為；
當(dāng)時(shí)，，，常數(shù)項(xiàng)為；
當(dāng)時(shí)，，，常數(shù)項(xiàng)為；
故常數(shù)項(xiàng)為++.
故選：D
【例4-2】（2023·廣東廣州）的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）.
【答案】
【解析】由于，所以的展開式中含的項(xiàng)為，所以的展開式中的系數(shù)為.
故答案為：
【一隅三反】
1（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為 ．
【答案】92
【解析】，
又展開式的通項(xiàng)，
展開式的通項(xiàng)，
所以含的項(xiàng)為
則含的系數(shù).
故答案為：.
2．（2024·福建）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．B．C．70D．72
【答案】C
【解析】方法一：展開式中，
第項(xiàng)，
所以常數(shù)項(xiàng)為，
方法二：展開式中，
第項(xiàng)，
當(dāng)時(shí)，展開式中常數(shù)項(xiàng)為；
當(dāng)時(shí)，展開式中常數(shù)項(xiàng)為；
當(dāng)時(shí)，，
所以的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為70，
故選：C．
3．（2023上·河北唐山）的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．208B．C．217D．
【答案】B
【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可得，
的展開式中，含的項(xiàng)為.
所以，的展開式中的系數(shù)為.故選：B.
考法五 （二項(xiàng)式）系數(shù)的最值
【例5-1】（2023上·遼寧朝陽·高三建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在二項(xiàng)式的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的是（ ）
A．第3項(xiàng)B．第4項(xiàng)
C．第5項(xiàng)D．第3項(xiàng)和第4項(xiàng)
【答案】B
【解析】二項(xiàng)式的展開式共有7項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的是第4項(xiàng).故選：B.
【例5-2】（2023·四川雅安）的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)是（ ）
A．第4項(xiàng)B．第5項(xiàng)C．第6項(xiàng)D．第7項(xiàng)
【答案】C
【解析】依題意，的展開通項(xiàng)公式為，其系數(shù)為，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，才能取得最小值，
又由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，是的最大項(xiàng)，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即第6項(xiàng)的系數(shù)最小.
故選：C．
【一隅三反】
1．（2022·重慶）（多選）若的展開式中第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（ ）
A．第4項(xiàng)B．第5項(xiàng)C．第6項(xiàng)D．第7項(xiàng)
【答案】BC
【解析】的展開式的通項(xiàng)為，因?yàn)檎归_式中第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，，所以，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)和第6項(xiàng)；故選：BC．
2．（2024·海南）在的二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為和，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為 ．
【答案】7
【解析】，因?yàn)橄禂?shù)最大的項(xiàng)為和，所以為奇數(shù)，
，且，解得．所以含項(xiàng)的系數(shù)為．故答案為：7
3．（2023·上海嘉定）已知的二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 ．
【答案】
【解析】設(shè)系數(shù)最大的項(xiàng)為，則，解得，
因?yàn)榍覟檎麛?shù)，所以，此時(shí)最大的項(xiàng)為.故答案為：
4．（2023·上海）二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為 ．
【答案】
【解析】展開式通項(xiàng)公式為，且為整數(shù).要想系數(shù)最大，則為偶數(shù)，
其中，，，，
顯然系數(shù)最大項(xiàng)為.故答案為：
考法六 （二項(xiàng)式）系數(shù)和--賦值法
【例6-1】（2023·廣東佛山）（多選）已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，令，則，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br>所以，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，令，則，
令，則 ，
所以，故C正確；
對(duì)于D，由選項(xiàng)B可知，，
，
所以
，故D正確.
故選：ACD.
【例6-2】（2023·廣東佛山）（多選）若，其中為實(shí)數(shù)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】令可得，A正確.
，其展開式的第三項(xiàng)是，所以，B不正確.
令可得，所以，D不正確.
令可得，與相減可得，C正確.
故選：AC
【一隅三反】
1．（2023·河北）（多選）若，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，C，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，，
所以B正確，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，
所以，D正確．
故選：BD．
2．（2023·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）（多選）的展開式中第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則以下判斷正確的是（ ）
A．第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大B．所有奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為
C．D．
【答案】AC
【解析】由題意，可得，所以，
對(duì)于A中，根據(jù)二項(xiàng)式定理的性質(zhì)，可得中間項(xiàng)第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以A正確；
對(duì)于B中，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得所有奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C中，對(duì)于C中，令，可得，
令，可得，所以，所以C正確；
對(duì)于D中，由，
可得，
即，
令，可得，所以D錯(cuò)誤.
故選：AC.
3．（2024·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）（多選）若，其中為實(shí)數(shù)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】令，則原式轉(zhuǎn)化為，
對(duì)A，令，得，故A正確；
對(duì)B，由二項(xiàng)式定理得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)CD，令，得，令，得，
所以，
所以，故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：AC
考法七 余數(shù)與小數(shù)
【例7-1】（2023下·河南鄭州·高二校聯(lián)考期中）除以所得的余數(shù)是 .
【答案】22
【解析】法一：由，前9項(xiàng)可以被整除，
而，故余數(shù)為.
法二：由，
而，故余數(shù)為.故答案為：
【例7-2】．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）將精確到0.01的近似值是 ．
【答案】0.96
【解析】因?yàn)椋?br>且將精確到0.01，故近似值為0.96故答案為：0.96
【一隅三反】
1．（2023安徽）1.028的近似值是 .(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)
【答案】1.172
【解析】由題意得：.
故答案為：1.172
2．（2023上·河北）除以1000的余數(shù)是 ．
【答案】24
【解析】因?yàn)?br>，
所以除以1000的余數(shù)是：.
故答案為：24
3．（2023下·江蘇淮安·高二江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）今天是星期日，經(jīng)過7天后還是星期日，那么經(jīng)過天后是（ ）
A．星期日B．星期一C．星期三D．星期四
【答案】B
【解析】,
因?yàn)槟鼙徽?，所以除以余?br>所以經(jīng)過天后是星期一.故選：B.
4.（2024·甘肅武威）干支紀(jì)年是中國古代的一種紀(jì)年法.分別排出十天干與十二地支如下：
天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
把天干與地支按以下方法依次配對(duì)：把第一個(gè)天干“甲”與第一個(gè)地支“子”配出“甲子”，把第二個(gè)天干“乙”與第二個(gè)地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，則再從第一個(gè)天干開始循環(huán)使用.已知2023年是癸卯年，則年以后是 年.
【答案】丙午
【解析】因?yàn)椋?br>所以年以后地支為“午”.
因?yàn)椋?br>又因?yàn)槌?0余數(shù)為3，所以年以后天干為“丙”，
故年以后是丙午年.
故答案為：丙午
考法八 楊輝三角的應(yīng)用
【例8】（2023·廣東廣州）（多選）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.該表蘊(yùn)含著許多的數(shù)學(xué)規(guī)律，下列結(jié)論正確的是（ ）
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
…… ……
A．
B．，，，
C．從左往右逐行數(shù)，第項(xiàng)在第行第個(gè)
D．第行到第行的所有數(shù)字之和為
【答案】AC
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由組合數(shù)的計(jì)算性質(zhì)，
所以，
，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，
，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，第行共有項(xiàng)，
從左往右逐行數(shù)，第行最后一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)為，
因?yàn)?，且?br>所以，從左往右逐行數(shù)，第項(xiàng)在第行第個(gè)，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，第行所有項(xiàng)之和為，
所以，第行到第行的所有數(shù)字之和為，D錯(cuò).
故選：AC.
【一隅三反】
1．（2023·山東青島·高二校聯(lián)考期中）（多選）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對(duì)楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．
B．第2023行的第1012個(gè)和第1013個(gè)數(shù)最大
C．第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第7個(gè)數(shù)
D．第34行中從左到右第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)之比為2：3
【答案】ABD
【解析】A選項(xiàng)，，，故A正確；
B選項(xiàng)，由圖可知：第行有個(gè)數(shù)字，如果是奇數(shù)，則第和第個(gè)數(shù)字最大，且這兩個(gè)數(shù)字一樣大；如果是偶數(shù)，則第個(gè)數(shù)字最大，故第2023行的第1012個(gè)和第1013個(gè)數(shù)最大，故B正確；
C選項(xiàng)，第6行，第7行，第8行的第7個(gè)數(shù)字分別為：1，7，28，其和為36；第9行第7個(gè)數(shù)字是84，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，依題意：第34行第14個(gè)數(shù)字是，第34行第15個(gè)數(shù)字是，所以，故D正確.
故選：ABD.
2．（2024上·江西·高二校聯(lián)考期末）楊輝三角（如下圖所示）是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，楊輝三角中從第2行到第2023行，每行的第3個(gè)數(shù)字之和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
,
由題意可得，第2行到第2023行，每行的第3個(gè)數(shù)字之和為
,
故選：B．
3．（2023上·湖北 ）如圖，“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早500年左右．現(xiàn)從楊輝三角第20行隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，該數(shù)大于2023的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由楊輝三角的性質(zhì)知第20行的數(shù)為，一共有21個(gè)數(shù)，
其中，
由楊輝三角的對(duì)稱性可知，第20行中大于2023的數(shù)的個(gè)數(shù)為，
故所求概率為.
故選：A.
單選題
1．（2023·四川南充）二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．B．60C．210D．
【答案】B
【解析】展開式的通項(xiàng)為，所以，
常數(shù)項(xiàng)為，故選：B.
2．（2023·河北）若，則（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】C
【解析】，
當(dāng)且時(shí)，，
因此，.故選：C.
3．（2024上海）二項(xiàng)式的展開式中，其中是有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)共有（ ）
A．4項(xiàng)B．7項(xiàng)C．5項(xiàng)D．6項(xiàng)
【答案】D
【解析】二項(xiàng)式的展開式中，通項(xiàng)公式為，
，時(shí)滿足題意，共6項(xiàng)．故選：D.
4．（2023安徽?。┰诘恼归_式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．7
【答案】D
【解析】因?yàn)樵诘恼归_式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大所以所以的展開式的通項(xiàng)令，得
所以展開式中的系數(shù)為故選：D
5．（2023安徽）展開式中的系數(shù)為（ ）
A．15B．20C．30D．35
【答案】D
【解析】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，所以展開式中含的項(xiàng)為和.
因?yàn)?，所以展開式中的系數(shù)為35.故選：D
6．（2023下·四川達(dá)州·高二統(tǒng)考期末）的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．20B．C．D．15
【答案】B
【解析】，其展開式的通項(xiàng)為：，
取得到的系數(shù)為．故選：B．
7．（2023云南）在的二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的是第（ ）項(xiàng)
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】在二項(xiàng)式的展開式中，通項(xiàng)公式為，
故第r+1項(xiàng)的系數(shù)為 ，當(dāng)時(shí)，系數(shù)為正，
因?yàn)?所以當(dāng)r＝4時(shí)，系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng).故選：C
8．（2023·江西贛州·）在的展開式中，下列說法不正確的是（ ）
A．不存在常數(shù)項(xiàng)B．所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為32
C．第3項(xiàng)和第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為1
【答案】D
【分析】根據(jù)給定的二項(xiàng)式，寫出展開式判斷A；利用二項(xiàng)式性質(zhì)判斷BC；利用賦值法計(jì)算判斷D作答.
【詳解】
，因此在的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，A正確；
的展開式的所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為，B正確；
的展開式的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等，并且最大，C正確；
當(dāng)時(shí)，的展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為，D錯(cuò)誤.故選：D
多選題
9．（2024·遼寧遼陽）若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．該展開式中共有6項(xiàng)B．各項(xiàng)系數(shù)之和為1
C．常數(shù)項(xiàng)為D．只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
【答案】BD
【解析】因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)之和為64，即有，所以，
則該展開式中共有7項(xiàng)，A錯(cuò)誤；
令，得該展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1，B正確；
通項(xiàng)，
令，得，，C錯(cuò)誤；
二項(xiàng)式系數(shù)最大的是，它是第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，D正確．
故選：BD.
10．（2023·遼寧朝陽）已知2，n，8成等差數(shù)列，則在的展開式中，下列說法正確的是（ ）
A．二項(xiàng)式系數(shù)之和為32B．各項(xiàng)系數(shù)之和為1
C．常數(shù)項(xiàng)為40D．展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為80x
【答案】ABD
【解析】由題意可得：，則，
對(duì)于選項(xiàng)A：二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：令，可得各項(xiàng)系數(shù)之和為，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C、D：因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為：
，
所以，
展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；
展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為80x，故D正確；
故選：ABD.
11．（2022上·遼寧本溪·高二校考期末）若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】由題意，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，A正確；
當(dāng)時(shí)，，
所以，，B，C錯(cuò)誤；
，
當(dāng)時(shí)，，
所以，D正確.
故選：AD．
12．（2023下·河北滄州·高二統(tǒng)考期中）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】因?yàn)椋?br>令可得，
令可得①，
所以，故A正確；
令可得②，
①②得，故B錯(cuò)誤；
①②得，
又展開式的通項(xiàng)為（且），
所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)展開式系數(shù)為負(fù)數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)展開式系數(shù)為正數(shù)，
即，，
所以
，故C正確；
將兩邊對(duì)求導(dǎo)可得：
，
再令可得，故D正確；
故選：ACD
填空題
13．（2023下·安徽合肥·高二統(tǒng)考期末）已知，則的值為 ．
【答案】
【解析】由，
可得
則，即，解得．
故答案為：.
14．（2023下·山西呂梁·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）被4除的余數(shù)為 .
【答案】1
【解析】因?yàn)?，?024可以被4整除，所以余數(shù)為1.故答案為：1.
15．（2023·北京）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 ．（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】的展開式的通項(xiàng)（，1，2，…，8）．
當(dāng)時(shí)，其展開式的常數(shù)項(xiàng)為；
當(dāng)時(shí)，其展開式中的系數(shù)為，
則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．
故答案為：
16．（2023上·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）展開式中各項(xiàng)的系數(shù)可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角，其性質(zhì)是以下各行每個(gè)數(shù)是它正上方和左?右兩邊三個(gè)數(shù)的和（不足3個(gè)數(shù)時(shí)，用0補(bǔ)上），則的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為 .
【答案】
【解析】根據(jù)題意，可得廣義楊輝三角如圖所示，
可知的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為項(xiàng)的系數(shù)為30，
所以的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：
解答題
17．（2023·廣東梅州）在二項(xiàng)式的展開式中，求：
(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和；
(2)各項(xiàng)系數(shù)之和；
(3)所有偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和；
(4)系數(shù)絕對(duì)值之和.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】（1）設(shè)
二項(xiàng)式系數(shù)之和為
（2）設(shè)，
則各項(xiàng)系數(shù)之和為，
令得
（3）由（2）知令可得:
將兩式相減,可得:，
故所有偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為.
（4）方法一:
令則
方法二:即為 展開式中各項(xiàng)系數(shù)和，
令得
故系數(shù)絕對(duì)值之和為.
18．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）（1）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；
（2）若的展開式中的系數(shù)為，求a的值；
（3）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；
（4）若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，求展開式中的系數(shù)．
【答案】答案見詳解
【解析】（1）設(shè)的展開式通項(xiàng)為： ，
則，
當(dāng)時(shí)，；
故的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為672；
（2）設(shè)的展開式通項(xiàng)為： ，
則，
當(dāng)時(shí)，結(jié)合題意知此時(shí)；
故a的值為2；
（3）設(shè)的展開式通項(xiàng)分別為： ，
則，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
故的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為；
（4）令，則由題意可知，
設(shè)的展開式通項(xiàng)為，則，
當(dāng)時(shí)，，故展開式中的系數(shù)為21.
19．（2023上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）從①第4項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)的系數(shù)之比是；②第3項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為36；這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，再解決補(bǔ)充完整的題目．
已知（），且的二項(xiàng)展開式中，____．
(1)求的值；
(2)①求二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)；
②求的值．
【答案】(1)條件選擇見解析，
(2)①；②．
【解析】（1）若選擇①第4項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)的系數(shù)之比是，
則有，
化簡可得，求得或（舍去）．
若選擇②第3項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為36，
則有，
化簡可得，求得或（舍去）．
（2）由（1）可得，
①的二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)為．
②二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，
所以、、、、為正數(shù)，、、、為負(fù)數(shù)．
在中，令．
再令，可得，
∴．
20．（2023下·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）在的展開式中，把叫做三項(xiàng)式的次系數(shù)列．
(1)求的值；
(2)根據(jù)二項(xiàng)式定理，將等式的兩邊分別展開，可得左右兩邊的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，如，利用上述思想方法，求的值．
【答案】(1)14
(2)0
【解析】（1）
令得： ①
令得： ②
①+②得：，
所以.
（2）因?yàn)?br>所以，
右邊展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為
，
而展開式中左邊含項(xiàng)的系數(shù)為0，
所以.
21．（2023北京）在中，把叫做三項(xiàng)式系數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，寫出三項(xiàng)式系數(shù)的值；
（2）的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)可用楊輝三角表示，如圖：
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
…… ……
當(dāng)，時(shí)，類比楊輝三角，請(qǐng)列出三項(xiàng)式系數(shù)表；
（3）求的值（可用組合數(shù)作答）．
【答案】（1），，，，；（2）系數(shù)表見解析；（3）.
【解析】（1）因?yàn)椋?，，，，?br>（2）當(dāng)，時(shí)，三項(xiàng)式系數(shù)表如下：
第1行 1 1 1
第2行 1 2 3 2 1
第3行 1 3 6 7 6 3 1
第4行 1 4 10 16 19 16 10 4 1
（3）
，
其中含項(xiàng)的系數(shù)為，
又，的展開式中的第項(xiàng)為，
令，解得，
所以含項(xiàng)的系數(shù)為；
所以．
22．（2023上·上海松江·高二上海市松江二中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，滿足：①對(duì)任意，都有；②對(duì)任意都有.
(1)試證明：為上的嚴(yán)格增函數(shù)；
(2)求；
(3)令，，試證明：.
【答案】(1)證明見解析
(2)66
(3)證明見解析
【解析】（1）由①可知：對(duì)任意，，
整理得，
不妨設(shè)，則，從而，
所以函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù).
（2）令，則，顯然，否則，與矛盾.
從而，而由，即得.
又由（1）知，即.
于是得，且，從而，即.
由知.
于是，
，，
，，
， 由于，
而且由（1）知，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，因此.
從而.
（3），
，.
即數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.
∴
于是，顯然，
另一方面，
從而.
綜上所述，.

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6.3 二項(xiàng)式定理

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